[注：下文是群邮件的内容，标题是另拟的。]

当遇到一个对象时首先要透彻研究它的诸元素。

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今天读了 Edwards 的第40节(S40)，内容是 subgroup。忽然发现我理解的置换和书上的置换不太一样！这厢是位置的交换，那厢是符号的交换。

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a  b  c       c  b  a

b  c  a       b  a  c

c  a  b       a  c  b

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上面是书上举的一个例子(正规子群)。规则是：从一个排列组到另一个排列组只差一个单个置换。比如 a <~> c 作为置换，作用到左边第一行，就得到右边第一行。第二、三行也同样。这是眼睛盯着字母的置换（即符号的交换）。

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再来看下位置的交换。由 a b c 到 c b a，在我看来是 1  3 两个位置上的符号交换（眼睛盯着位置）。再看第一组第二行：b c a 按 1  3 位置交换得到 a c b (第二组第三行)。再看第一组第三行： c a b 按 1  3 位置交换得到 b a c (第二组第二行)。注：对应到第几行并不要紧，两个组的诸行通过单个置换达成一一对应即可。注：这里 1 3 位置交换也可以看作(行的)反射。

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以上检查表明，对于上面的例子而言，两种理解都行得通！（之前在脑子里算的时候没看出来~）。不过在我看来，上面的两个组意味着两个循环群（明明就是），可是书上的观点是这两个组代表一个子群！（这是独立思考的好处：“歧路” 也可能是新路）。

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a b c d    a c d b    a d b c

b a d c    c a b d    d a c b

c d a b    d b a c    b c a d

d c b a    b d c a    c b d a

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上面是四元置换的例子(正规子群)。按书上的观点，可取置换 b <~> c, b <~> d。它作用于第一组第一行，得到第二组第一行。同样的置换作用于第二组第一行，得到第三组第一行。可以验证，各组后面的诸行都是这样。

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尝试按照位置来做。2 ~ 3, 3 ~ 4。作用于第一组第一行，得到第二组第一行。同样的置换作用于第二组第一行，得到第三组第一行。（第一行的情况与上面一样）。现在，作用到第一组第二行，得到第二组第四行，继续作用得到第三组第三行。记作：[2, 4, 3] 方括号内是各组对应的行。后面有：[3, 2, 4] 和 [4, 3, 2]。

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其实在这个例子中，按位置的观点，对各组的诸行按首位字母检索即可。固定首字母，对应的诸行是三元循环的关系。

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经过以上验证，两种观点都行得通 (具体的对应情况并不一致)。