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回到最简单的情形

已有 687 次阅读 2020-7-15 13:38 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记| 排列

[注:下文是群邮件的内容,标题是抬头。]

回到最简单的情形。

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考虑两个符号 a 和 b。两物并立曰 “方”。为了往前走,就得有个 “法”。在 “顺序” 的上下文里,只能交换两者的位置:a  b ~> b  a。此处置换扮演 “法则” 的角色(尽管这里看不出“去除不直”,但够得上简单直接)。注:“法” 似乎总是联系着某种 “运动” 或 “变化”。

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从“几何”角度看,二元置换相当于做一个(镜面) 反射,记作 R。从另一个角度看,从 a  b 到 b  a 构成一个(二元) 循环,记作 C。换句话说,在二元置换中 R = C。这两个操作都有 “整体性”,即所有元素都离开了原本的位置。

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关于二元置换只能 “挖掘” 这么多?应该还看到,这里面没有多余的东西,但已经涵盖了 “方” 和 “法”!这是否预示着二元置换 “涵盖”* 了多元置换?回答是否定的!(注:星号是指用 R 和 C 得到多元置换的全部排列)。 

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考虑三个符号 a, b, c。之前已经分析了三元置换:从任何一个三元排列出发,先做一个反射,然后各自做循环,这样就可以得到三元置换的全部排列(6个)。从表面上看,的确只用 R 和 C 就得到了全部的排列。但是在三元置换中,R 的整体性存在“缺陷”:位于中间的符号没有离开原本的位置!换句话说,这里似乎有个奇偶性的问题。又或者,三元置换的反射,隐含了一个“固定” 的操作,记作 F。

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现在考虑如何得到四元置换的全部排列(24个)。先做一个反射,再各自做循环,这样只得到 8 个排列。从这里去除互相反射的两个排列,余下的6个排列各自做一个反射,得到6个排列。此时共有 14 个排列。新得的6个排列,各自循环,可派生出 24个排列。此时的计数为 8 + 24 = 32。其中有重复的排列...

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不妨具体考察一下。

R: a b c d ~> d c b a

C: a b c d ~> b c d a ~> c d a b ~> d a b c

C: d c b a ~> c b a d ~> b a d c ~> a d c b

以上是第一轮 RC 操作(一个R两个C)。

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仔细观察:两个C 序列中,互为反射的有两组(4个排列)!排除两个C序列的奇数组,余下的4个排列各自做一个反射:

R: b c d a ~> a d c b; d a b c ~> c b a d

R: c b a d ~> d a b c; a d c b ~> b c d a

仔细观察可知,以上两个 R组 的输出端分别是对方组的输入端!换句话说,产生的排列没有跑出第一轮的RC操作。一方面,这体现出 RC 操作形成了一个封闭的系统 (这是有意思的地方);另一方面,这体现出 RC 操作不足以得到四元置换的全部排列。

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好在三元置换提示,还有个“固定”操作。经过演算发现,可以在三元置换的基础上,通过迭代获得四元置换的全部排列。一般地,对于 n 元置换,通过嵌套的 RCF 操作,即可获得其全部排列。(具体算法保留 :)

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关于置换暂时就探索到这里。这里的启发是:全排列的数量非常庞大,每个排列中元素的位置完全随意,可是全部的排列却是有结构的




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