Let A be a n x n Hermitian matrix with eigenvalues λi(A) and normed eigenvectors vi.
---- 令 A 为 n 阶 厄米特矩阵, 带有特征值 λi(A) 及 normed 特征向量 vi.
---- A 的元素可以有复数吗 ?
---- 此处的 “normed” 是何意 ?
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The elements of each eigenvector are denoted vi,j.
---- 每个特征向量的元素记作 vi,j.
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Let Mj be the n - 1 x n - 1 submatrix of A that results from deleting the jth column and the jth row, with eigenvalues λk(Mj).
---- 令 Mj 为 n - 1 x n - 1 阶的 A 的子矩阵, 得自于删除第 j 列 和 第j 行, 其特征值为 λk(Mj).
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小结: 第一段说明了一组记号(共6个).
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Para.2
First we prove a useful Cauchy-Binet type formula.
---- 首先, 证明一个有用的柯西-博奈型公式.
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Lemma 1. Let one eigenvalue of A be zero, WLOG we can set λn(A) = 0. Then, (1) Π_{i=1}^{n - 1}λi(A)|det (B vn)|^2 = det(B* A B), for any n x n - 1 matrix B.
---- 令 A 的一个特征值为零, 不失一般性, 设 λn(A) = 0. 则 (1) Π_{i=1}^{n - 1}λi(A)|det (B vn)|^2 = det(B* A B), 对任何 n x n - 1 阶矩阵 B.
---| 公式(1) 左端系连乘, 通项 λi(A)|det (B vn)|^2.
---- 涉及到 λi(A), 即 A 的特征值, 以及..
---- |det (B vn)|^2. 这里头有问题...
---- B 是 n 阶“亏列”矩阵,简称亏, vn 是 n 维向量.
---- 如何做乘法 B vn ?
----明白了! (B vn) 表示用 vn 补充一列!
---- 不妨将 (B vn) 称作 “亏补”矩阵.
---- 这个构造本身就超乎想象!
---- 不妨将 |det (B vn)|^2 称作 “亏补方”.
---- 怎么会想到这个构造 ? 起源是什么 ?
(新闻报道中涉提及物理背景, 待细考).
---| 公式的右端, det(B* A B) 是个 n-1阶矩阵的行列式.
---- 星号该是指“共轭转置” ?
---- B* A B 不妨称作 A 的亏矩阵.
---- det(B* A B) 不妨称作 A的“亏值”.
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评论: A 的前 n - 1 个特征值连乘(称作“缺值”), 再乘以 “亏补方”, 等于A的“亏值”.
---- 简记: 亏补方·缺值 = 亏值.
---- “亏补方” 可看做尺度因子.
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Proof.(暂略)
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Para.3
Now we are prepared to state and prove our main result.
---- 至此已经做好描述和证明主要结果的准备.
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Lemma 2. The norm squared of the elements of the eigenvectors are related to the eigenvalues and the submatrix eigenvalues, (2) |vi,j|^2 Π_{k≠i} (λi(A) - λk(A)) = Π_{k=1~n-1}(λi(A) - λk(Mj)).