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教科书好比乡下环境，培养不出上智人才。
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······环境式学习(contextual learning)。也许已经
有这类概念了。好比乡下来的年轻人，忽然有了
海外亲戚，而且还在上流社会。若把他接到那个
圈子里，只要环境支持，要不了多久，他也就成
了其中的一员。若此，也就完全跳过了上流亲戚
自下而上的几十年奋斗。学习也一样。教科书好
比乡下环境，培养不出上智人才。直接进入顶级
作品，相当于进入了上智环境。而年轻与否并不
重要，关键在于是否保持了可塑性。
······注：调整了边框的宽度.
* * *
学习笔记(接前)。引言部分，1.7。
Theorem 1.7. There is natural equivalence of categories, called the tilting equivalence, between the category of perfectoid K -algebras and the category of perfectoid Kᵇ -algebras. Here a perfectoid K -algebra R is sent to the perfectoid Kᵇ -algebra Rᵇ = lim<R (x ↦x^p).
---- 在完域K-代数类和完域Kᵇ-代数类之间存在自然的倾斜等价. 这里完域K-代数 R 被发送到完域Kᵇ-代数 Rᵇ=lim<R (x ↦x^p).
---- category 的正式中译大概是“范畴”，这里简译为“类”. tilting 简译为 “倾斜”.
---- 若完域K-代数记作 R(K)，则完域Kᵇ-代数该记作 R(Kᵇ).
---- 简单起见，R(K) 略作 R，而R(Kᵇ) 略作 Rᵇ.
---- 仿此，若 完域K-代数类 记作 C(R), 则 完域Kᵇ-代数类 可记作C(Rᵇ). 两者可分别略作 C 和 Cᵇ.
评论：简略地，1). C ≌ Cᵇ. 2). Rᵇ=lim<R (x ↦x^p).
.
We note in particular that for perfectoid K -algebras R, we still have a map Rᵇ --> R, f ↦f#.
---- 对于完域K-代数，仍有映射 Rᵇ --> R, f ↦f#.
---- 映射表达为： 集合 --> 集合, 元素 ↦元素.
.
An example of a perfectoid K -algebra is the algebra R = K<T^δ> for which Rᵒ = Kᵒ<T^δ> is the p-adic completion of K[T^δ].
---- 完域K-代数的例子如：代数 R = K<T^δ> , 它的 Rᵒ = Kᵒ<T^δ> 是 K[T^δ] 的 p-adic 补.
.
This is the completion of an algebra that appears on the right-hand side of Theorem 1.5.
---- 这是出现在Th1.5右端的代数的补.
---- 即 R = K<T^δ> 是 lim<|(A¹K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ) 的补.(?)
.
Its tilt is given by Rᵇ = Kᵇ<T^δ>, which is the completed perfection of an algebra that appears on the left-hand side of Theorem 1.5.
---- 上述例子的倾斜由 Rᵇ = Kᵇ<T^δ> 给出，它是出现在Th1.5左端的代数的完全完美化.
---- 即 Rᵇ = Kᵇ<T^δ> 是 |(A¹Kᵇ )ᵃᵈ| 的完全完美化.(?)
.
小结:1. Th1.7的内容: 1). C ≌ Cᵇ. 2). Rᵇ=lim<R (x ↦x^p).
2. Th1.7的注记: 1). 存在映射 Rᵇ --> R, f ↦f#.
2).. 例子 R = K<T^δ> ~ Rᵒ = Kᵒ<T^δ> ~ K[T^δ] 的 p-adic 补.
3)........Rᵇ = Kᵇ<T^δ>.
*
温习：1.6
完域 K-代数 R(K) 是指：Banach K-代数，Rᵒ 有界，(Φ) = Rᵒ/p.
浓缩：
---- K°/p ≌ Kᵇ°/p.(para.3a)
---- Kᵇ = lim<K, x ↦x^p.(para.3b)
---- (x)d --> (x#)d
.........↑..分裂域..↓
[Kᵇ] ~> [K]c
注： x:=ak^δn.(para.3c)
---- ndv(1)~K~(Φ)=Kᵒ/p.(Def.1.2)
---- Kᵇ(p)~Fontaine~K.
---- {K} ≌ {Kᵇ}. (Th1.3)
---- A¹Kᵇ ≌ lim<A¹K (T↦Tᵖ). (Claim1.4)
---- X(K)~Xᵃᵈ(K)~|Xᵃᵈ|.
---- |(A¹Kᵇ )ᵃᵈ| ≌ lim<|(A¹K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ).
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