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【心路33】世界谐和

已有 1043 次阅读 2017-11-21 21:32 |个人分类:心路|系统分类:科研笔记

继续往前走...
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阅读原著时,不能一味陷入自己的思考,也不能一味地让作者拖着跑。两者要结合起来。折腾了近两个月的时间,有时会想“划算吗?”。如果这些天做了自己的研究,肯定有所进展。没办法,正如歌德说的:人不能同时骑上两匹马。我在做这件事情的时候,也警告自己,不要让这东西“迷住”。
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可以想见,100多年来,势必已经派生出很多文章。这几年的统计,一年内大约有2000(?)篇涉及相对论的文章发表出来,不大可能全部阅读。假使我在阅读的时候,真的产生了全新的idea,也不大可能确切地知道它就是全新的;若打算做文章,又得阅读一大堆文章,有的还不见得找得着。
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这种情况下怎么办?也许,应该找一篇最高引用的文章,同时还得“抓活的”(作者健在),确定少许头面人物及其代表文章。或者,每10年作为一个阶段,每个阶段取一个(引用)最大值文章。另外,再加几篇综述文章,特别是最新的。总之,要想打入这种领域,风险很大。规避风险的办法,最简单的,只能是引入“生僻”的东西,或“我”熟悉,“他们”都不熟悉的东西。否则,不可轻动。
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言归正传。按之前的分析和理解,洛伦兹变换的两端,一端作为真实时间,则另一端是“表观时间”;一端作为真实空间位置,则另一端是“表观位置”。然后,继续学习原著第5节(1905,中译本):速度的加法定理
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在以速度v沿K系的X轴运动着的k系中,设有一个点依照下面的方程运动:
xi=w[xi]tau,
eta=w[eta]tau,
zeta=0,
此处w[xi]和w[xi]都表示常量。
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上面用方括号表示下标。显然,w表示速度,它有两个分量。上面的三个运动方程只涉及动系坐标,这种情况下所有的坐标都是真实坐标;特别地,动系各处的钟都是同步的(否则就无法象通常那样描述匀速运动了)。作者提出“求这个点相对于K系的运动”。怎么求解呢?作者是这样说的:
借助于第3节中得出的变换方程,把x,y,z,t这些量引入该点的运动方程,我们就得到:
x=(w[xi]+v)/(1+vw[xi]/V^2)t,
y=sqrt[1-(v/V)^2]/(1+vw[xi]/V^2)w[eta]t
z=0.
这样,依照我们的理论,速度的矢量加法只在第一级近似范围内才有效。
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显然,上述高亮的公式就是这一节的主要“定理”(速度叠加定理)。这里面似乎隐含着矛盾。因为使用洛伦兹变换,就得分清楚真实时间(本系时间)和表观时间(本系时间在它系的投影)。为了检查是否出现这类矛盾,还得列出那四个“算式”。。慢着,也许可以把高亮的公式看着“动系运动在静系中的表观形式”(?)。我想到另一种推导办法(更笨但也许物理意义更清楚),回头再说。先列出洛伦兹变换,按作者思路推导。
τ=β·(t-v/V^2·x),
  ξ =β·(x-vt),
  η=y,
  ζ=z.
  其中,
  β=1/sqrt(1-v^2/V^2).
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把动系的运动方程xi=w[xi]tau代入第二个算式左侧,得:
w[xi]τβ·(x-vt).
由于τ是动系真实时间,则 t 是τ在静系的表观时间(从动系观察)。这个式子跟第一个算式做个比值,约掉τ,得:
w[xi]=(x-vt)/(t-v/V^2·x) => 
w[xi]·(t-v/V^2·x)=(x-vt) =>
w[xi]·t-w[xi]·v/V^2·x=x-vt =>
(w[xi]+v)·t=(1+w[xi]·v/V^2)·x   (☆)
最后这个式子有点意思了,等式两边同时乘以beta,就把 x 和 t 恢复到静系的真实坐标和真实时间了——“为了方便,我引入四个时间符号:t(真)、t(表)、τ(真)、τ(表)。其中,t(真)=τ(真);τ(表)=‘t(真)在动系的表观时间’=‘从静系观测到的动系时间’;t(表)=‘τ(真)在静系的表观时间’=‘从动系观测到的静系时间’. 这样,对于ξ=0τ(表)= t(真)/β*。上面的式子(☆)中的 t 是t(表),而t(表)=τ(表),这个表达式之前我没有明显写出,但从对称的角度一眼就看得出。同样,上面的式子(☆)中的 x 是 x(表)。
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严格地,式子(☆)应该写成这样:
(w[xi]+v)·t(表)=(1+w[xi]·v/V^2)·x(表)   
该式两端同时乘以β,得:
(w[xi]+v)·t(表)·β=(1+w[xi]·v/V^2)·x(表)·β =>
(w[xi]+v)·t(真)=(1+w[xi]·v/V^2)·x(真)  (★)
或整理上式,得:
x=(w[xi]+v)/(1+w[xi]·v/V^2)·t  ★)
这就是作者给出的形式(为了简便,去掉了“示性符”),x 和 t 是静系真实坐标和真实时间(注:(☆)★)形式上完全等价,但含义有微妙区分)。注意,w[xi]是动系里观测到的X轴向的速度,v是动系相对于静系的速度(静系里观测)。需要注意的是,蓝色高亮公式是有条件的。目前,式子 (★)表达的运动只在静系坐标原点有意义(除非有进一步的论证)。也许等到第二轮学习的时候再说。
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上面的推导进一步确认了引入“示性符”的必要性和正确性。就是说,(狭义)相对论里实际上有两套时空,即“绝对时空”和“相对时空”(两者套在一起),而后者仅是表观存在——这种情况加上符号的“一字二用”很容易引起混淆和恍惚。回头我也可以构造一个“玩具相对论”,里面也有绝对时空和另一种相对时空(不是狭义相对论意义上的),或许可以帮助理解和教学,增进学生头脑的灵活性。创造性学习啊,应该是学完了以后,也能够自己捏几个泥娃娃,不要跟书上一样的。你看啊,教学中有时会鼓励学生,对他们说“没有标准答案”;但哪个老师要是做个不标准的出来,其他老师很可能会不乐意 。这不是很奇怪吗?
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最上面高亮的第二个公式怎么推出来的?好像不是那么显然的。先写出变换中的第三个“算式”和动系第二个运动方程:
 η=y,
eta=w[eta]tau,
把后者代入前者,得:
w[eta]·tau=y.
又要用到变换中的第一个“算式”:
τ=β·(t-v/V^2·x)
把这个式子代入前式,得:
w[eta]·β·(t-v/V^2·x)=y
目前这个式子里的x,y和t都按表观坐标看待。
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为了得到 y 关于 t 的函数,式子里不能明显出现 x。刚好,x 刚才已经算出来了。这里要按照(☆)的意义代入x的表达式:
w[eta]·β·[t-v/V^2·(w[xi]+v)/(1+w[xi]·v/V^2)·t]=y => (左边提出 t)
w[eta]·β·[1-v/V^2·(w[xi]+v)/(1+w[xi]·v/V^2)]·t =y => (方括号内部做整理:用(1+w[xi]·v/V^2)通分)
w[eta]·β·[β^{-2}/(1+w[xi]·v/V^2)]·t =y => (稍微整理)
y=sqrt(1-v^2/V^2)/(1+w[xi]·v/V^2)w[eta]·t   (☆
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这个式子就是作者给出的形式(最上面第二个橙色高亮)。这里的 t 仍然是t(表),但 y 需要分析。应该说,动系相对于静系在Y轴方向没有运动。可是,为了把t(表)转换为t(真),上式两端需要乘以β。为了跟 x 的情况达成协调一致,必须引入“方向乘法”:β·y(表)=y(真)。这里恰好y(表)=y(真)=y,意味着βy=y,即β相当于恒等变换。就是说,Y轴方向没有相对运动,此时规定β不起作用。换句话说,这个β不是随便的乘法,而应该看做一个变换:坐标轴方向与相对运动方向平行,则用普通乘法;坐标轴方向与相对运动方向垂直,则不起作用(相当于乘以1)。因为狭义相对论是从无到有创立出来的理论,这样规定不会引起矛盾(就像给负数开方只是个规定一样,不会占用已有的“坑”,没有利害冲突)。
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好了,按照对β因子的最新规定,上式两端同乘以β,得:
β·y(表)=sqrt(1-v^2/V^2)/(1+w[xi]·v/V^2)w[eta]·t(表)·β   
或整理上式(βy=y, t(真)=t(表)·β),得:
y(真)=sqrt(1-v^2/V^2)/(1+w[xi]·v/V^2)w[eta]·t(真)     
简单地,也可以去除示性符“(真)”,知道含义即可。我满意这个处理,形式上与原作者保持一致,含义上也是协调的。类似于x的情况, (☆形式完全等价,含义有微妙区分。
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这样,原著第5节的“速度叠加定理”推导完毕,“示性符”小试牛刀。观念上,绝对时空和相对时空并存(两者套在一起),而这个观点与原著没有任何冲突。作者在后文还讨论了几个小性质,留待下回推导。
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听首和谐之歌吧~Oh Yeah Yeah

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注:上文首发云群邮件[Graduate Gate..Tuesday],原标题“论和谐”。



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2 宁利中 张云

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