博文
【心路33】世界谐和
||
继续往前走...
* * *
.
阅读原著时，不能一味陷入自己的思考，也不能一味地让作者拖着跑。两者要结合起来。折腾了近两个月的时间，有时会想“划算吗？”。如果这些天做了自己的研究，肯定有所进展。没办法，正如歌德说的：人不能同时骑上两匹马。我在做这件事情的时候，也警告自己，不要让这东西“迷住”。
.
可以想见，100多年来，势必已经派生出很多文章。这几年的统计，一年内大约有2000(?)篇涉及相对论的文章发表出来，不大可能全部阅读。假使我在阅读的时候，真的产生了全新的idea，也不大可能确切地知道它就是全新的；若打算做文章，又得阅读一大堆文章，有的还不见得找得着。
.
这种情况下怎么办？也许，应该找一篇最高引用的文章，同时还得“抓活的”（作者健在），确定少许头面人物及其代表文章。或者，每10年作为一个阶段，每个阶段取一个(引用)最大值文章。另外，再加几篇综述文章，特别是最新的。总之，要想打入这种领域，风险很大。规避风险的办法，最简单的，只能是引入“生僻”的东西，或“我”熟悉，“他们”都不熟悉的东西。否则，不可轻动。
.
言归正传。按之前的分析和理解，洛伦兹变换的两端，一端作为真实时间，则另一端是“表观时间”；一端作为真实空间位置，则另一端是“表观位置”。然后，继续学习原著第5节（1905，中译本）：速度的加法定理。
.
“在以速度v沿K系的X轴运动着的k系中，设有一个点依照下面的方程运动：
xi=w[xi]tau,
eta=w[eta]tau,
zeta=0,
此处w[xi]和w[xi]都表示常量。”
.
上面用方括号表示下标。显然，w表示速度，它有两个分量。上面的三个运动方程只涉及动系坐标，这种情况下所有的坐标都是真实坐标；特别地，动系各处的钟都是同步的（否则就无法象通常那样描述匀速运动了）。作者提出“求这个点相对于K系的运动”。怎么求解呢？作者是这样说的：
“借助于第3节中得出的变换方程，把x,y,z,t这些量引入该点的运动方程，我们就得到：
x=(w[xi]+v)/(1+vw[xi]/V^2)t,
y=sqrt[1-(v/V)^2]/(1+vw[xi]/V^2)w[eta]t
z=0.
这样，依照我们的理论，速度的矢量加法只在第一级近似范围内才有效。”
.
显然，上述高亮的公式就是这一节的主要“定理”（速度叠加定理）。这里面似乎隐含着矛盾。因为使用洛伦兹变换，就得分清楚真实时间（本系时间）和表观时间（本系时间在它系的投影）。为了检查是否出现这类矛盾，还得列出那四个“算式”。。慢着，也许可以把高亮的公式看着“动系运动在静系中的表观形式”（？）。我想到另一种推导办法（更笨但也许物理意义更清楚），回头再说。先列出洛伦兹变换，按作者思路推导。
τ=β·(t-v/V^2·x),
ξ =β·(x-vt),
η=y,
ζ=z.
其中，
β=1/sqrt(1-v^2/V^2).
.
把动系的运动方程xi=w[xi]tau代入第二个算式左侧，得：
w[xi]τ= β·(x-vt).
由于τ是动系真实时间，则 t 是τ在静系的表观时间（从动系观察）。这个式子跟第一个算式做个比值，约掉τ，得：
w[xi]=(x-vt)/(t-v/V^2·x) =>
w[xi]·(t-v/V^2·x)=(x-vt) =>
w[xi]·t-w[xi]·v/V^2·x=x-vt =>
(w[xi]+v)·t=(1+w[xi]·v/V^2)·x （☆）
最后这个式子有点意思了，等式两边同时乘以beta，就把 x 和 t 恢复到静系的真实坐标和真实时间了——“为了方便，我引入四个时间符号：t(真)、t(表)、τ(真)、τ(表)。其中，t(真)=τ(真)；τ(表)=‘t(真)在动系的表观时间’=‘从静系观测到的动系时间’；t(表)=‘τ(真)在静系的表观时间’=‘从动系观测到的静系时间’. 这样，对于ξ=0有：τ(表)= t(真)/β”*。上面的式子（☆）中的 t 是t(表)，而t(表)=τ(表)，这个表达式之前我没有明显写出，但从对称的角度一眼就看得出。同样，上面的式子（☆）中的 x 是 x(表)。
.
严格地，式子（☆）应该写成这样：
(w[xi]+v)·t(表)=(1+w[xi]·v/V^2)·x(表)
该式两端同时乘以β，得：
(w[xi]+v)·t(表)·β=(1+w[xi]·v/V^2)·x(表)·β =>
(w[xi]+v)·t(真)=(1+w[xi]·v/V^2)·x(真) （★）
或整理上式，得：
x=(w[xi]+v)/(1+w[xi]·v/V^2)·t （★）
这就是作者给出的形式（为了简便，去掉了“示性符”），x 和 t 是静系真实坐标和真实时间（注：（☆）和（★）形式上完全等价，但含义有微妙区分）。注意，w[xi]是动系里观测到的X轴向的速度，v是动系相对于静系的速度（静系里观测）。需要注意的是，蓝色高亮公式是有条件的。目前，式子 （★）表达的运动只在静系坐标原点有意义（除非有进一步的论证）。也许等到第二轮学习的时候再说。
.
上面的推导进一步确认了引入“示性符”的必要性和正确性。就是说，（狭义）相对论里实际上有两套时空，即“绝对时空”和“相对时空”（两者套在一起），而后者仅是表观存在——这种情况加上符号的“一字二用”很容易引起混淆和恍惚。回头我也可以构造一个“玩具相对论”，里面也有绝对时空和另一种相对时空（不是狭义相对论意义上的），或许可以帮助理解和教学，增进学生头脑的灵活性。创造性学习啊，应该是学完了以后，也能够自己捏几个泥娃娃，不要跟书上一样的。你看啊，教学中有时会鼓励学生，对他们说“没有标准答案”；但哪个老师要是做个不标准的出来，其他老师很可能会不乐意 。这不是很奇怪吗？
.
最上面高亮的第二个公式怎么推出来的？好像不是那么显然的。先写出变换中的第三个“算式”和动系第二个运动方程：
η=y,
eta=w[eta]tau，
把后者代入前者，得：
w[eta]·tau=y.
又要用到变换中的第一个“算式”：
τ=β·(t-v/V^2·x)
把这个式子代入前式，得：
w[eta]·β·(t-v/V^2·x)=y
目前这个式子里的x,y和t都按表观坐标看待。
.
为了得到 y 关于 t 的函数，式子里不能明显出现 x。刚好，x 刚才已经算出来了。这里要按照（☆）的意义代入x的表达式：
w[eta]·β·[t-v/V^2·(w[xi]+v)/(1+w[xi]·v/V^2)·t]=y => (左边提出 t)
w[eta]·β·[1-v/V^2·(w[xi]+v)/(1+w[xi]·v/V^2)]·t =y => (方括号内部做整理：用(1+w[xi]·v/V^2)通分)
w[eta]·β·[β^{-2}/(1+w[xi]·v/V^2)]·t =y => (稍微整理)
y=sqrt(1-v^2/V^2)/(1+w[xi]·v/V^2)w[eta]·t （☆☆）
.
这个式子就是作者给出的形式（最上面第二个橙色高亮）。这里的 t 仍然是t(表)，但 y 需要分析。应该说，动系相对于静系在Y轴方向没有运动。可是，为了把t(表)转换为t(真)，上式两端需要乘以β。为了跟 x 的情况达成协调一致，必须引入“方向乘法”：β·y(表)=y(真)。这里恰好y(表)=y(真)=y，意味着βy=y，即β相当于恒等变换。就是说，Y轴方向没有相对运动，此时规定β不起作用。换句话说，这个β不是随便的乘法，而应该看做一个变换：坐标轴方向与相对运动方向平行，则用普通乘法；坐标轴方向与相对运动方向垂直，则不起作用（相当于乘以1）。因为狭义相对论是从无到有创立出来的理论，这样规定不会引起矛盾（就像给负数开方只是个规定一样，不会占用已有的“坑”，没有利害冲突）。
.
好了，按照对β因子的最新规定，上式两端同乘以β，得：
β·y(表)=sqrt(1-v^2/V^2)/(1+w[xi]·v/V^2)w[eta]·t(表)·β
或整理上式（βy=y, t(真)=t(表)·β），得：
y(真)=sqrt(1-v^2/V^2)/(1+w[xi]·v/V^2)w[eta]·t(真) （★★）
简单地，也可以去除示性符“(真)”，知道含义即可。我满意这个处理，形式上与原作者保持一致，含义上也是协调的。类似于x的情况， （☆☆）和（★★）形式完全等价，含义有微妙区分。
.
这样，原著第5节的“速度叠加定理”推导完毕，“示性符”小试牛刀。观念上，绝对时空和相对时空并存（两者套在一起），而这个观点与原著没有任何冲突。作者在后文还讨论了几个小性质，留待下回推导。
.
听首和谐之歌吧~Oh Yeah Yeah
.
注：上文首发云群邮件[Graduate Gate..Tuesday]，原标题“论和谐”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1086241.html
上一篇：【心路32】万能密码
下一篇：【心路34】坠落之福
