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关于“五次方程到底有没有根式解?”的几点注释 精选

已有 16558 次阅读 2013-3-15 11:14 |个人分类:其他|系统分类:科普集锦

关于“五次方程到底有没有根式解”一文引起的争论,被行仁兄戏称作“程吴之争”。我已对此表态,贴出“声明”:“吴老师:您对,我错了。给您赔礼道歉!您老也别生气了。我已经投降了,许多有兴趣的读者也看明白了。系列论文就不必了吧?请吴老师多保重!”所以,这场所谓争论已经以本人完败结束,不会再有争论了。
 
但有朋友对我说:“你的声明将来会被其他‘非专业人士’引用的。”所以要做个补充“声明”:“上述声明是专门给吴老师的,本人保留版权,外人引用一律无效。”当然,本文不会无聊到只为发这么一个声明。个人觉得:对那些对这个问题有兴趣的非数学专业的年轻学者,自己欠着一个对这个问题一些相关概念的解释。因此,这篇博文是给他们写的,与所谓“程吴之争”无关。敬请吴老师不要读,也不要评论!
 
1. 什么是“五次方程根式解问题”?
 
我们讨论的方程是:$x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$,这里$a,b,c,d,e\in Q$。($Q$是有理数集)。也就是讨论系数为有理数的五次方程。一个简单线性变换:$y=x-a/5$就可以把它变成$x^5+ax^3+bx^2+cx+d=0$。因此,可以只讨论后者。
 
(a) 什么叫根式解?我把解方程的故事的参考文献[5]中的定义抄在这里(这也是我文中的定义):
 
可解:A polynomial a(x) is solvable by radicals if there is a radical expression giving its roots in terms of its coefficients. (一个多项式$a(x)$是根式可解的,如果它所有的根都可以用根式表达式表示出来。)
 
根式表达式:Radical expression is built up from the coefficients of the given polynomials by repeated addition, subtraction, multiplication, division, and taking roots. (根式表达式是由所给多项式的系数,通过有限次加、减、乘、除及开方而得到的。)
 
[5]是美国比较通用的一本数学大学本科教材。本人曾在美国某大学教过这门课,所以熟悉这本教材。有兴趣的读者可以找其他任何教材或参考书,相信定义不会不一样。
 
(b) 根式解要讨论的是什么问题?根式解是讨论“是否所有上述形式的五次方程的解都能用根式表出?”信手写一个:$(x-1)^5=0$,它五个根都是$1$,当然可以。问题是,是不是所有的都可以?这个问题是十九世纪激烈争论的问题。最早是阿贝尔给出回答:“五次方程不可以!”然后是伽罗华,伽罗华回答了“任意次方程什么时候可以,什么时候不可以”这个问题。“非专业人士不懂这段历史,更不懂伽罗华理论,所以随心所欲,乱解释伽罗华理论。
 
2. 什么是可约、不可约?
 
抽象谈一个多项式“可约”或“不可约”是没有意义的,非专业人士不明白这一点,所以说不清所谓有“根式实数”解算不算根式解的问题。可约性依赖于“数域”,也就是说,要明确指出:因式分解是在那个数域里进行。
 
例如,$x^5-2$在有理数域是不可约的,即它不能分成以有理数为系数的多项式的乘积。但它在实数域是可约的,因为它有$(x-(2)^{1/5})$因子。
 
如果在复数域,任何一个$n$次多项式都可分解成$n$个一次多项式$(x-x_i)$的乘积,这里,$x_i$就是它的零点。这就叫“代数基本定理”。行仁兄也明确指出过这一点。
 
由于熟知的:“实系数方程虚根成对”,任何有理五次方程必至少有一实根,换言之,任一有理五次方程在实数域都可约。所以,在我们讨论的问题里,只有在有理数域的可约性才有意义。
 
3. 关于根的参数表达问题
 
其实,我应当给吴老师一个道歉。我的前一篇博文中有两处错误:
(a)
$a=(-1-i*\sqrt{3})/2$, $b=(-1-i*\sqrt{3})/2$。这里,应当是$b=(-1+i*\sqrt{3})/2$;
(b) 线性方程式
$y_1=z_1+z_2+z_3+z_4$,
$y_2=az_1+az_2+bz_3+bz_4$,
$y_3=az_1+bz_2+az_3+bz_4$,
$y_4=bz_1+az_2+bz_3+az_4$,
$y_5=bz_1+az_2+bz_3+az_4$.
应当是
$y_1=z_1+z_2+z_3+z_4$,
$y_2=az_1+az_2+bz_3+bz_4$,
$y_3=bz_1+bz_2+az_3+az_4$,
$y_4=az_1+bz_2+az_3+bz_4$,
$y_5=bz_1+az_2+bz_3+az_4$.
这是我写博文时马虎所致。但我在计算时程序并没有写错,所以,前文中所有讨论都是对的。这在MatLab只是4、5行的程序,每个人都可以去检验一下后者(正确方程)的系数阵秩是不是$3$。
 
再说能不能这么表达的问题,我用了$y^5-y^3$,主要是为了根好解。我之所以不在意可约不可约,是因为所谓根式解就是一般解法。或解公式。世界上有这样解公式,它只对不可约方程成立,而对可约方程不成立,这样的公式你信吗?况且,任一可约多项式的任意小邻域都有不可约多项式。
 
如果这些你都不信,我可以換一个例子:$x^5-5x-2$。它不可约,其解为:$y_1=1.582038$, $y_2=-1.371882$, $y_3=-0.402102$, $y_4=0.095974-i*1.510795$, $y_5=0.095974+i*1.510795$。代入增广阵秩就是4。也就是说:它的根就不能用上式表示。其实,你随便找一个不可约五次方程,用MatLab把解写出来,代入增广阵,如果算出秩是3,你比中彩票头等奖还幸运,这就是“几乎所有五次方程解都不能用该方法表示”的意思。

4. 写给所有想用根式求解五次方程的朋友
 
阿贝尔当初将其解五次方程的论文寄到法国科学院。由于公式复杂,审稿人让他给出例子,在计算例子的过程中他发现自己错了,这导致他最后得到正确结论:“一般五次方程无根式解”。
 
$x^5-5x-2$是教科书中的典型例子。凡自称能用根式解五次方程的非专业人士,都可以把它做例子。只要能用根式把它的解表示出来,一定轰动世界。一些非专业人士号称自己对所有五次方程都能解,但就是解不了一个例子。这在逻辑上说得通吗?
 
这次争论让我很伤心,我在一位朋友的留言里回答:“I hate this discussion. It is nonsense!”


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