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零是不是一位数 精选

已有 2768 次阅读 2019-6-4 10:48 |个人分类:其他|系统分类:科普集锦

 

零是不是一位数

 

XX先生,

您几次来信同我讨论“0是不是一位数”这个问题。您是我清华学长,您的认真劲让我佩服。这次我想静下心来,将您的问题就我所知作一回答。

  1. 首先,要回答这个问题,就必须先对“K位数”做一个严格定义。如果不知道什么是“一位数”,那么,“0”是不是一位数就无从谈起。下面,我给一个定义:K个数字组成,且首位不为0的数称为K位数。

    这个定义跟邱老师的说法是一致的。所有的自然数(不含零)用这个定义检验都对。根据这个定义“0”显然不是一位数。

  2. 那么,到底“0”是几位数? 用上述定义无法检验。如果你能给出一个定义,它对所有自然数都对,对“0”也对,那是很有说服力的。但就我所知,这是很困难的。因此,我认为,这个问题没有意义,或者说,要人为地单独规定,因此,就无所谓对错了。其实,“0”是一个很特殊的数。它的引入一点也不自然。我看过一本数学史书,指出:“0”是印度人发明的,它的引进是对数学的一大贡献。你现在认为“0”和“1”一样自然,小孩数数应从“0”开始。 其实,这是个错觉,接受“0”要比接受“1”困难得多。

  3. 我们当然可以规定“0”是一位数。 但这个规定不是很合理。如果不认为“0”是一位数,那么,我们有 9 个一位数, 90 个二位数,900 个三位数,这是一种数学和谐的美。它有自己合理的内涵。

  4. 其实,对“0”进行特殊处理在数学中很常见,例如,中学学过,“0=1”。 这是很难理解的。但是,如果考虑到它在排列组合,或者二项式定理等中的作用,就会知道这个规定是何等的正确。

  5. 你的孙子不必纠缠于这个问题。当他长大之后,如果他对数学有兴趣,他会知道,自然数对加法构成一个半群。这个半群没有单位元。如果加上一个单位元,这个单位元就是“0”。对“0”的这种理解,远比将零归类于“几位数”自然而深刻。

    这让我想起一件事,在美国时我教过近世代数,在课堂上讲到,对加法群“0”的逆是“0”时,一位学生站起来反驳:“0”怎么会有逆? 其实,他说的是乘法,从小学开始,老师就教他:“0”没有逆。 在学生学习的某个阶段有时不必太纠结于一些细节。将来,当你的知识和视野开阔了以后,回过头来,会对学过的知识有更清晰的理解。

    谢谢您的来信, 希望这封信回答了你的问题。

     

    程代展,201964.

     



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