daizhancheng的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/daizhancheng

博文

解方程的故事 精选

已有 25151 次阅读 2013-3-10 14:34 |个人分类:其他|系统分类:科普集锦|关键词:数学史,解方程| 数学史, 解方程

 

    上篇博文一知半解漫说数本意也是想介绍代数数与方程可解性伽罗华理论)。后来还没到这里就已太长了只好忍痛割爱这篇就算其续篇吧。

1. 代数方程

    解代数方程是最古老的数学问题之一也曾经是对人类智力最富挑战性的一个数学问题代数方程依赖于两个因素:“”。元是变量个数次指变量最高所以最简单的是一元一次方程当元增加时就有多元一次方程组当次增加时就有二次、三次或更高次方程如果元和次都增加就有多元高次方程组

    多元一次方程组可用矩阵记成$Ax=b$这里$A$可以是$m\times n$矩阵,$x=(x_1,\cdots,x_n)^T$$b\in R^m$如果系数阵与增广阵同秩即$rank[A,b]=rank[A]$方程就有解否则就没有解更详细的结果可参见任意一本线性代数书这不是本文的重点就不多讲了值得一提的是我国在公元前一世纪出的《九章算术》中已经会解这类方程了并且是将系数排成方阵来解的这就是矩阵的雏形也是中国人称其为方程的原因

    线性方程组解常常不唯一于是通解可分为两部分齐次方程的通解$+$非齐次方程的特解这种思想很重要寻找线性微分或差分方程的一般解思路是完全类似的

    还有一类有趣的问题不定方程的整数解”。中国古代数学家就讨论过许多这种问题例如东汉《孙子算经》中有:“今有物不知数三三数之余二五五数之余三七七数之余二问物几何?”还有著名的百鸡百元问题:“公鸡51母鸡31小鸡31今花百元购得百鸡问公小鸡各几只?”此题载于公元5-6世纪成书的《张邱建算经》书中的解答开创了一题多解的先例

    多元高次方程组解的讨论是一个极其困难的问题有一个专门的数学分支研究它称为代数几何”。本人在华盛顿大学时修过数学系博士生的代数几何课当时SSM系修到此课的只有我一人可见我对数学的痴迷自己感觉它是修过的数学课中最艰深的而本人该科成绩为A+”。应行仁兄后来选了许多计算机的课成了计算机专家也就与我分道扬镳了

    本文主要是谈一元高次方程初中生都知道一元二次方程的解公式它是公元八、九世纪阿拉伯数学家花拉子米给出的其实《九章算》中也给出了二次方程的数值解法但本文只对解的封闭形式 (Closed Form Solution) 感兴趣即只用系数的有限次加、减、乘、除、开方表示的解

2. 三次、四次方程的解

    三次方程解曾经是十六世纪最富挑战性的问题现在通常把三次方程解公式叫做卡当公式那么三次方程解是卡当 (Jerome Cardan, 1501-1576) 发现的吗也是也不是此话怎讲且听我慢慢道来

    卡当生于意大利是一位法官与一位寡妇的私生子那位法官博学多才这影响了他但因是私生子他自幼受到歧视和虐待长大后也因此在事业上屡遭排斥坎坷的经历让他性格怪异他在数学、哲学、物理学和医学中均有相当成就但也醉心于占星术与赌博他的自传《我的生平》用批评的口吻剖析了自己的一生

    回到三次方程早在1510年左右波伦亚大学教授费罗就发现了缺二次项的三次方程$x^3+px=q$的解法他死前传给他的学菲奥尔1530另一位意大利数学教师塔尔塔利亚得到缺一次项的三次方程的解法1535年轻气盛的菲奥尔听说塔尔塔利亚也会解三次方程他不信就向塔尔塔利亚提出挑战塔尔塔利亚潜心研究终于在比赛前掌握了缺二次项的三次方程的解法于是在比赛中塔尔塔利亚完胜

    当时卡当正在写一本代数专著听到这消息后就邀请塔尔塔利亚前来做客塔来后卡当当面再三恳求并发誓对此保密后塔将解法告诉了他卡当经研究给出了三次方程一般解及其证明卡当后来在《大术》一书中发表了这些结果这导致他以及他的学生与塔的长期论争

    现在看解三次方程$z^3+az^2+bz=c$其实很容易$z=x-a/3$则得到缺二次项的三次方程$x^3+px=q$然后$x=u+v$就可得$3uv=-p$$u^3+v^3=-q$于是可解出$u^3$$v^3$也就可得$u$$v$从而解出$x=u+v\leftrightarrow z=x-a/3$

    任何一本数学手册都能找到卡当公式比如[1]在使用卡当公式时会遇到一个实数解却要用负数开平方$\sqrt{-a}$来表示的情况这时卡当勇敢地使用了虚数及复数运算因此有些书说虚数是解三次方程时引入的指的就是卡当的工作

    随后在他的一个学生LFerrari的帮助下卡当进而得到四次方程解考虑$x^4+px^2+qx+r=0$如有三次项$ax^3$$x=z-a/4$就可将三次项去掉),$x^4=-px^2-qx-r$两边加$2zx^2+z^2$则左边成完全平方右边是$(2z-p)x^2-qx+(z^2-r)$要让右边也成平方数$2\sqrt{2z-p}\sqrt{z^2-r}=-q$ (*)则右边也成完全平方于是就可解出$x$含参数$z$)。(*)可化简为一个关于$z$的三次方程称为预解方程解出$z$也就得到真正的$x$详细介绍可见[6]

    据说卡当为了证明自己的巫术在预言自己的死亡之日自杀了虽然可悲但他没有白活因为他的名字已经被历史记住了

3. 五次方程有公式解吗

    中国学人大概都知道华罗庚先生在20岁时1930以一篇论文《苏家驹的五次方程式解法不能成立之理由》崭露头角被熊庆来破格引进清华开始了他的数学家生涯苏家驹不知道,“五次方程没有公式解在他苦思冥想之前的一百年都已经被证明了

    中国至今还有许多人在做规矩三等分任意角在寻找五次方程公式解我在海淀图书城还见过号称解决了五次方程这个国际难题的正式出版的书),就因为他们缺少这些常识前几天还有个民间数学家”,拿了一摞手稿到我办公室说他知道怎么三等分一个角我告诉他这是不可能的他可怜兮兮地说:“我研究了近20才得到这个结果你无论如何帮我看看 ……搞得我哭笑不得不知这篇文章会不会有助于减少一、两个痴迷的民数”。

    现在一提起五次方程没有公式解就会想到伽罗华其实最早证明这个结果的是阿贝尔阿贝尔与伽罗华一样也是一个英年早逝的数学天才他的数学贡献很晚才被人完全发现他长期找不到工作27岁时在贫困与疾病的交逼下忧伤而死他死后两天柏林大学数学教授的聘书才寄到令人扼腕

    伽罗华得到的是一般的代数方程有解的判定定理用伽罗华理论不仅能证明五次方程没有公式解还可以证明古希腊的三大数学难题同样无解这些问题是(1) 规矩三等分任意角(2) 化圆为方即做一正方形使其与己知圆等面积(3) 倍立方做一个立方体其体积为已知立方体两倍

4. 伽罗华的故事

    伽罗华父亲是法国资产阶级革命的支持者在拿破仑百日政变时期担任过皇后市自由派市长其母亲是一位法官的女儿聪明且受过良好教育但性格孤僻行事古怪

    伽罗华出生于1811早年由他母亲自行授课11岁进入路易皇家中学学习成绩优异十四岁时碰上一个优秀的数学老师从此疯狂地爱上了数学十五岁就开始阅读拉格朗日的原著偏科使他总成绩下降学校对他的评价是:“奇特、怪异有原创力又封闭。”

    1828与阿贝尔一样伽罗华一度认为自己找到了五次方程解但不久他就找出错误并证明了其不可能性他的关于群的论文被呈送法国科学院由柯西主审这年他才17由于文章过于简略柯西建议修改

    1831他修改后的论文被送交泊松审查泊松认真审阅后结论是不可理解”。他在给科学院的报告中说:“我们已经尽了最大努力来研究伽罗华的证明他的推理显得很不清楚我们甚至不能弄清他的证明思想。”他超越了他的时代而时代也背弃了他

    也许受到其父亲因政治迫害而自杀的影响伽罗华是一名激进的共和主义战士因为抨击校长他被学校开除因为嘲讽国王和率众游行他两次被捕入狱18323由于霍乱流行伽罗华被转移到一家私人医院中服刑在那里他爱上了医生的女儿一个月后他获释

    医生女儿的前男友提出要和他决斗他明知此人枪法甚好但不知为了爱情还是为了荣誉他接受了挑战决斗的头一天晚上他自知必死彻夜整理自己的手稿手稿边上多次出现:“我没有时间了的字样

    1832530他在决斗中中弹致伤许久后他的兄弟才闻讯赶到将其送进医院但终因失血过多他于第二天与世长辞一代旷世的数学奇才死时还未满21周岁

    伽罗瓦的成就是提出群的概念并用群论彻底解决了代数方程可解性问题他的开创性工作今天被称为伽罗华理论但当的并未得到同时代人的充分赏识和理解他的思想太超前了以至柯西、泊松等同辈数学大家都无法理解他后来经刘维尔等人的努力直到1870若当出版了《置换和代数方程专论》一书全面介绍了伽罗华的工作才使伽罗华理论融入了主流数学

5. 域的扩张与古希腊三大难题

    上篇博文提到群和域这一节只给还记得这些概念的朋友写的从有理数域$Q$出发如果添加一个代数数$\sqrt{2}$那么容易证明

$E_1=Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in Q\}$

是一个域这就叫域的添加如果把$Q$当一维空间$E_1$就是2维空间记相对阶(degree)作$[E_1:Q]=2$如果添加$2^{1/3}$那么

$E_2=Q(2^{1/3})=\{a+b 2^{1/3}+c 2^{2/3}|a,b,c\in Q\}$

也是一个域并且$[E_2:Q]=3$相对阶其实就是添加元满足的最低次数有理系数多项式零点

    回到尺规作图问题在平面上建一直角坐标如果$(p,q)$是有理数则$(p,q)$点可用尺规作图找到这是熟知的从有理点出发尺规作图能走多远呢实际我们能找到三类点(1) 直线与直线相交(2) 直线与圆相交(3) 圆与圆相交

    如果两直线都是过两个有理点画出来的交点也是有理点所以不会增加新点后两种情况由于圆满足二次方程容易看出新的点$(p,q)$满足

$p,q\in F,~~~~[F:Q]=2.$

即$(p,q)$只能在相对阶为$2$的域里实际上相对阶为2的数域里的数都能做出来从这些点出发只有相对阶为4的数能做出来如此等等于是容易知道一个数$r$能由尺规做出来当且仅当

$[Q(r):Q]=2^k.$

    回头看古希腊三大难题

    (1) 倍立方

    设原立方体边长为1则新立方体边长为$2^{1/3}$因为$[Q(2^{1/3}):Q]=3$则显然尺规做不出这个数

    (2) 化圆为方:

设圆半径为1则正方形边长为$\sqrt{\pi}$因为$\sqrt{\pi}$是超越数$[Q(\sqrt{\pi}):Q]=\infty$显然尺规也做不出这个数

    (3) 三等分任意角:

    只要证明某个特定角不能三等分即可$60^o$$x=\cos(20^o)$$\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$可知$x$满足的最小化零多项式为

$P(x)=x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}$

    因此

$[Q(\cos(20^o)):Q]=3$

    显然尺规也做不出这个数$60^o$不能用尺规三等分

6. 伽罗华理论这一节是为非数学专业的数学爱好者写的要求一定数学基础例如线性代数教材通常会介绍一点群和正规子群等

    $F_1$$F_2$为两个域如果存在一个映射$\pi:F_1\rightarrow F_2$它是一一对应的并且保持加、乘运算关系$\pi(a*b)=\pi(a)*\pi(b)$这里$*$表加法或乘法),则称$F_1$$F_2$同构$\pi$$F_1$$F_2$的一个同构映射如果$F_2=F_1$则称$\pi$$F_1$上的自同构映射)。容易看出自同构关于复合运算构成一个群称为自同构群

    给定一个域$F$例如$F=Q$$F$上的一个多项式$a(x)$$a(x)$的根都添加到$F$作扩张得到一个扩张域$K$称为$F$的关于$a(x)$的根域$K$上的所有使$F$不动的自同构形成$K$的自同构群的一个子群称为$K$$F$上的伽罗华群记作$Gal(K:F)$

    $G$为一个群$H$为其子群如果对任何$g\in G$$gH=Hg$则称$H$$G$的正规子群记作$H\vartriangleleft G$显然如果$G$是阿贝尔群任一子群都是正规的

    一个群$G$称为可解的如果存在子群$H_i$, $i=1,2,\cdots,m$使得

$e = H_0\vartriangleleft H_1 \vartriangleleft H_2 \vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_m = G$

并且商群$H_{k+1}/H_k$,$k=0,1,\cdots,m-1$为阿贝尔群

    伽罗华的基本理论是多项式$a(x)\in F(x)$的根用根式等可解当且仅当其伽罗华群可解

    现在找一个五次多项式$p(x)=x^5-5x-2$$K=Q(p(x))$为其根域容易证明,$Gal(K,Q)$与五阶置换Permutation Group$S_5$同构不难证明$S_5$不可解故伽罗华群$Gal(K,Q)$不可解从而证明$x^5-5x-2=0$的根不都能用根式等表出

    欲知其详可参见[5,7]

7. 后记

    2006时任自动化学会教材委员会秘书长、清华大学萧德云教授来访邀我写一本向工科学生介绍近代数学的书被他的热情和构想所感动就写了[7]其目的在书封底本书特色做了说明,摘抄如下

    本书的目的是向自动化及相关学科的研究生、青年教师及科研人员介绍近代数学选材以与系统控制关系密切的分析、代数及几何知识为主线兼顾数学自身的内在逻辑与严谨性内容包括勒贝格测度与积分泛函分析、点集拓扑抽象代数、代数拓扑、微分流形、李群与李代数、张量场、黎曼几何、辛几何、代数几何等近代数学的主要分支作者希望本书能使仅具有工程数学基础的青年学者迅速掌握近代数学的工具以满足阅读相关文献和从事自动化理论研究的需要

    除密切联系自动化学科的需求外本书也注意为读者展示数学的百花园例如证明用尺规三等分任意角是不可能的证明五次方程没有公式解介绍什么是选择公理、Zorn引理、超限归纳法连续统假定、罗素悖论、四色问题、费马大定理与椭圆曲线、庞加莱猜想、黎曼猜想……

    读完本书你或许会发现你登上了一个新的高度有一个新的视野看世界……

    自己很赞同萧教授及自动化学会教材委员会的想法中国研究生的一个普遍弱点是基础不足急于做研究、出文章要想提高研究生水平要从加强基础理论的学习和训练做起这本书是这种努力的一次尝试也许不是很成功因为有多位读者反映难懂502所一位清华老学长陆先生几次来电话鼓励我说写这本书是功德无量”。现在我在研究工作之余抽空在写第二版并增加随机部分但愿能改得通俗易懂一点

参考文献

[1] 叶其孝沈永欢《实用数学手册》2科学出版社2006.

[2] 李文林《数学史教程》高等教育出版社北京2000.

[3] V.JKatzA History of MathematicsReprinted by China Machine Press2004.

[4]  吴文俊(主编), 世界著名数学家传记科学出版社1995.

[5] C.CPinterA Book of Abstract Algebra2nd Ed., McGraw-Hill Publishing Comp., 1990.

[6] JBewersdorffGalois Theory for BeginnersAMSRhode Island2006.

[7] 程代展《系统与控制中的近代数学基础》清华大学出版社2007.



http://blog.sciencenet.cn/blog-660333-668963.html

上一篇:一知半解漫说“数”
下一篇:五次方程到底有没有根式解?

62 曹聪 占礼葵 陆俊茜 陈国文 袁海涛 王国强 雷锦志 陈龙珠 张南希 陈安 孙学军 龙涛 王春艳 韦鵾 徐传胜 田云川 长龙 武夷山 王善勇 闵应骅 王伟 马磊 王志坚 黄晓磊 林涛 张能立 陈杰 孟凡 王浩 韦玉程 李志军 陈学雷 梁建华 鲍得海 吴明火 陈冬生 应行仁 鲍海飞 张士伟 张洁 胡熙浩 何宏 吉宗祥 熊军林 吴中祥 李学宽 罗春元 翟自洋 李宇斌 李建雄 刘洋 闫钟峰 陈桂华 张卫 肖重发 周洪伟 文克玲 shengjianguo htli guoyanghuawu clp286 biofans

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (113 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-6-17 18:59

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部