上篇博文“一知半解漫说数”本意也是想介绍代数数与方程可解性（伽罗华理论）。后来还没到这里就已太长了，只好忍痛割爱。这篇就算其续篇吧。

1. 代数方程

    解代数方程是最古老的数学问题之一，也曾经是对人类智力最富挑战性的一个数学问题。代数方程依赖于两个因素：“元”和“次”。元是变量个数，次指变量最高幂次。所以最简单的是一元一次方程。当元增加时，就有多元一次方程组；当次增加时就有二次、三次或更高次方程；如果元和次都增加，就有多元高次方程组。

    多元一次方程组可用矩阵记成$Ax=b$，这里$A$可以是$m\times n$矩阵，$x=(x_1,\cdots,x_n)^T$，$b\in R^m$。如果系数阵与增广阵同秩，即$rank[A,b]=rank[A]$，方程就有解，否则就没有解。更详细的结果，可参见任意一本线性代数书，这不是本文的重点，就不多讲了。值得一提的是，我国在公元前一世纪出的《九章算术》中已经会解这类方程了。并且，是将系数排成方阵来解的。这就是矩阵的雏形，也是中国人称其为“方程”的原因。

    线性方程组解常常不唯一，于是通解可分为两部分：齐次方程的通解$+$非齐次方程的特解。这种思想很重要，寻找线性微分或差分方程的一般解，思路是完全类似的。

    还有一类有趣的问题，称“不定方程的整数解”。中国古代数学家就讨论过许多这种问题，例如东汉《孙子算经》中有：“今有物不知数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”还有著名的“百鸡百元”问题：“公鸡5元1只，母鸡3元1只，小鸡3只1元，今花百元购得百鸡，问公、母、小鸡各几只？”此题载于公元5-6世纪成书的《张邱建算经》，书中的解答开创了一题多解的先例。

    多元高次方程组解的讨论是一个极其困难的问题。有一个专门的数学分支研究它，称为“代数几何”。本人在华盛顿大学时修过数学系博士生的代数几何课，当时SSM系修到此课的只有我一人，可见我对数学的痴迷。自己感觉它是修过的数学课中最艰深的，而本人该科成绩为“A+”。应行仁兄后来选了许多计算机的课，成了计算机专家，也就与我分道扬镳了。

    本文主要是谈一元高次方程。初中生都知道一元二次方程的解公式。它是公元八、九世纪阿拉伯数学家花拉子米给出的。其实，《九章算术》中也给出了二次方程的数值解法，但本文只对解的封闭形式 (Closed Form Solution) 感兴趣。即只用系数的有限次加、减、乘、除、开方表示的解。

2. 三次、四次方程的解

    三次方程解曾经是十六世纪最富挑战性的问题，现在通常把三次方程解公式叫做卡当公式。那么，三次方程解是卡当 (Jerome Cardan, 1501-1576) 发现的吗？也是也不是。此话怎讲？且听我慢慢道来。

    卡当生于意大利，是一位法官与一位寡妇的私生子。那位法官博学多才，这影响了他。但因是私生子，他自幼受到歧视和虐待，长大后也因此在事业上屡遭排斥。坎坷的经历让他性格怪异。他在数学、哲学、物理学和医学中均有相当成就，但也醉心于占星术与赌博。他的自传《我的生平》，用批评的口吻剖析了自己的一生。

    回到三次方程，早在1510年左右，波伦亚大学教授费罗就发现了缺二次项的三次方程$x^3+px=q$的解法。他死前传给他的学生菲奥尔。1530年，另一位意大利数学教师塔尔塔利亚得到缺一次项的三次方程的解法。1535年，年轻气盛的菲奥尔听说塔尔塔利亚也会解三次方程，他不信，就向塔尔塔利亚提出挑战。塔尔塔利亚潜心研究，终于在比赛前掌握了缺二次项的三次方程的解法。于是，在比赛中塔尔塔利亚完胜。

    当时卡当正在写一本代数专著，听到这消息后就邀请塔尔塔利亚前来做客。塔来后，卡当当面再三恳求并发誓对此保密后，塔将解法告诉了他。卡当经研究，给出了三次方程一般解及其证明。卡当后来在《大术》一书中发表了这些结果，这导致他以及他的学生与塔的长期论争。

    现在看，解三次方程$z^3+az^2+bz=c$其实很容易：设$z=x-a/3$，则得到缺二次项的三次方程$x^3+px=q$。然后，设$x=u+v$，就可得$3uv=-p$，$u^3+v^3=-q$。于是可解出$u^3$及$v^3$，也就可得$u$及$v$。从而解出$x=u+v\leftrightarrow z=x-a/3$。

    任何一本数学手册都能找到卡当公式，比如[1]。在使用卡当公式时，会遇到一个实数解却要用负数开平方$\sqrt{-a}$来表示的情况，这时，卡当勇敢地使用了虚数及复数运算，因此，有些书说虚数是解三次方程时引入的，指的就是卡当的工作。

    随后，在他的一个学生L. Ferrari的帮助下，卡当进而得到四次方程解。考虑$x^4+px^2+qx+r=0$（如有三次项$ax^3$，设$x=z-a/4$就可将三次项去掉），在$x^4=-px^2-qx-r$两边加$2zx^2+z^2$，则左边成完全平方。右边是$(2z-p)x^2-qx+(z^2-r)$。要让右边也成平方数，令$2\sqrt{2z-p}\sqrt{z^2-r}=-q$ (*)，则右边也成完全平方，于是就可解出$x$（含参数$z$）。(*)可化简为一个关于$z$的三次方程，称为预解方程。解出$z$，也就得到真正的$x$了。详细介绍可见[6]。

    据说，卡当为了证明自己的巫术，在预言自己的死亡之日自杀了。虽然可悲，但他没有白活，因为他的名字已经被历史记住了。

3. 五次方程有公式解吗？

    中国学人大概都知道，华罗庚先生在20岁时（1930年）以一篇论文《苏家驹的五次方程式解法不能成立之理由》崭露头角，被熊庆来破格引进清华，开始了他的数学家生涯。苏家驹不知道，“五次方程没有公式解”在他苦思冥想之前的一百年，都已经被证明了。

    中国至今还有许多人在做规矩三等分任意角，在寻找五次方程公式解（我在海淀图书城还见过号称解决了五次方程这个国际难题的正式出版的书），就因为他们缺少这些常识。前几天还有个“民间数学家”，拿了一摞手稿，到我办公室，说他知道怎么三等分一个角。我告诉他这是不可能的。他可怜兮兮地说：“我研究了近20年，才得到这个结果。你无论如何帮我看看 ……”搞得我哭笑不得。不知这篇文章会不会有助于减少一、两个痴迷的“民数”。

    现在一提起五次方程没有公式解，就会想到伽罗华。其实，最早证明这个结果的是阿贝尔。阿贝尔与伽罗华一样，也是一个英年早逝的数学天才，他的数学贡献，很晚才被人完全发现。他长期找不到工作，27岁时在贫困与疾病的交逼下忧伤而死。他死后两天，柏林大学数学教授的聘书才寄到，令人扼腕。

    伽罗华得到的是一般的代数方程有解的判定定理。用伽罗华理论，不仅能证明五次方程没有公式解，还可以证明古希腊的三大数学难题同样无解。这些问题是：(1) 规矩三等分任意角；(2) 化圆为方：即做一正方形，使其与己知圆等面积；(3) 倍立方：做一个立方体，其体积为已知立方体两倍。

4. 伽罗华的故事

    伽罗华父亲是法国资产阶级革命的支持者，在拿破仑“百日政变”时期担任过皇后市自由派市长。其母亲是一位法官的女儿，聪明且受过良好教育，但性格孤僻，行事古怪。

    伽罗华出生于1811年。早年由他母亲自行授课。11岁进入路易皇家中学学习，成绩优异。十四岁时碰上一个优秀的数学老师，从此疯狂地爱上了数学。十五岁就开始阅读拉格朗日的原著。偏科使他总成绩下降。学校对他的评价是：“奇特、怪异，有原创力又封闭。”

    1828年，与阿贝尔一样，伽罗华一度认为自己找到了五次方程解。但不久，他就找出错误并证明了其不可能性。他的关于群的论文被呈送法国科学院，由柯西主审。这年，他才17岁。由于文章过于简略，柯西建议修改。

    1831年，他修改后的论文被送交泊松审查。泊松认真审阅后，结论是“不可理解”。他在给科学院的报告中说：“我们已经尽了最大努力来研究伽罗华的证明，他的推理显得很不清楚。我们甚至不能弄清他的证明思想。”他超越了他的时代，而时代也背弃了他。

    也许受到其父亲因政治迫害而自杀的影响，伽罗华是一名激进的共和主义战士。因为抨击校长，他被学校开除。因为嘲讽国王和率众游行，他两次被捕入狱。1832年3月，由于霍乱流行，伽罗华被转移到一家私人医院中服刑，在那里，他爱上了医生的女儿。一个月后他获释。

    医生女儿的前男友提出要和他决斗，他明知此人枪法甚好，但不知为了爱情还是为了荣誉，他接受了挑战。决斗的头一天晚上，他自知必死，彻夜整理自己的手稿，手稿边上多次出现：“我没有时间了”的字样。

    1832年5月30日，他在决斗中中弹致伤，许久后他的兄弟才闻讯赶到，将其送进医院。但终因失血过多，他于第二天与世长辞。一代旷世的数学奇才，死时还未满21周岁。

    伽罗瓦的成就是提出群的概念，并用群论彻底解决了代数方程可解性问题。他的开创性工作，今天被称为伽罗华理论，但当的并未得到同时代人的充分赏识和理解，他的思想太超前了，以至柯西、泊松等同辈数学大家都无法理解他。后来，经刘维尔等人的努力，直到1870年，若当出版了《置换和代数方程专论》一书，全面介绍了伽罗华的工作，才使伽罗华理论融入了主流数学。

5. 域的扩张与古希腊三大难题

    上篇博文提到群和域，这一节只给还记得这些概念的朋友写的。从有理数域$Q$出发，如果添加一个代数数$\sqrt{2}$，那么，容易证明

$E_1=Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in Q\}$

是一个域，这就叫域的添加。如果把$Q$当一维空间，$E_1$就是2维空间，记相对阶(degree)作$[E_1:Q]=2$。如果添加$2^{1/3}$，那么

$E_2=Q(2^{1/3})=\{a+b 2^{1/3}+c 2^{2/3}|a,b,c\in Q\}$

也是一个域，并且$[E_2:Q]=3$。相对阶其实就是添加元满足的最低次数有理系数多项式零点。

    回到尺规作图问题，在平面上建一直角坐标，如果$(p,q)$是有理数，则$(p,q)$点可用尺规作图找到，这是熟知的。从有理点出发，尺规作图能走多远呢？实际我们能找到三类点：(1) 直线与直线相交；(2) 直线与圆相交，(3) 圆与圆相交。

    如果两直线都是过两个有理点画出来的，交点也是有理点，所以不会增加新点；后两种情况，由于圆满足二次方程，容易看出，新的点$(p,q)$满足：

$p,q\in F,~~~~[F:Q]=2.$

即$(p,q)$只能在相对阶为$2$的域里。实际上，相对阶为2的数域里的数都能做出来。从这些点出发，只有相对阶为4的数能做出来。如此等等。于是，容易知道：一个数$r$能由尺规做出来，当且仅当

$[Q(r):Q]=2^k.$

    回头看古希腊三大难题：

    (1) 倍立方：

    设原立方体边长为1，则新立方体边长为$2^{1/3}$。因为$[Q(2^{1/3}):Q]=3$，则显然尺规做不出这个数。

    (2) 化圆为方:

设圆半径为1，则正方形边长为$\sqrt{\pi}$。因为$\sqrt{\pi}$是超越数$[Q(\sqrt{\pi}):Q]=\infty$，显然尺规也做不出这个数。

    (3) 三等分任意角:

    只要证明某个特定角不能三等分即可。选$60^o$角。设$x=\cos(20^o)$，由$\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$可知$x$满足的最小化零多项式为

$P(x)=x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}$

    因此

$[Q(\cos(20^o)):Q]=3$

    显然尺规也做不出这个数，故$60^o$不能用尺规三等分。

6. 伽罗华理论（这一节是为非数学专业的数学爱好者写的，要求一定数学基础，例如，线性代数教材通常会介绍一点群和正规子群等）

    设$F_1$与$F_2$为两个域，如果存在一个映射$\pi:F_1\rightarrow F_2$，它是一一对应的，并且保持加、乘运算关系（即$\pi(a*b)=\pi(a)*\pi(b)$，这里$*$表加法或乘法，等），则称$F_1$与$F_2$同构；$\pi$为$F_1$与$F_2$的一个同构映射。如果$F_2=F_1$，则称$\pi$为$F_1$上的自同构（映射）。容易看出，自同构关于复合运算构成一个群，称为自同构群。

    给定一个域$F$（例如$F=Q$）和$F$上的一个多项式$a(x)$，将$a(x)$的根都添加到$F$上，作扩张，得到一个扩张域$K$，称为$F$的关于$a(x)$的根域。$K$上的所有使$F$不动的自同构，形成$K$的自同构群的一个子群，称为$K$在$F$上的伽罗华群，记作$Gal(K:F)$。

    设$G$为一个群，$H$为其子群，如果对任何$g\in G$，有$gH=Hg$，则称$H$为$G$的正规子群，记作$H\vartriangleleft G$。显然，如果$G$是阿贝尔群，任一子群都是正规的。

    一个群$G$称为可解的，如果存在子群$H_i$, $i=1,2,\cdots,m$，使得

$e = H_0\vartriangleleft H_1 \vartriangleleft H_2 \vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_m = G$

并且，商群$H_{k+1}/H_k$，$k=0,1,\cdots,m-1$为阿贝尔群。

    伽罗华的基本理论是：多项式$a(x)\in F(x)$的根（用根式等）可解，当且仅当，其伽罗华群可解。

    现在，找一个五次多项式$p(x)=x^5-5x-2$，记$K=Q(p(x))$为其根域，容易证明，$Gal(K,Q)$与五阶置换群（Permutation Group）$S_5$同构。不难证明$S_5$不可解，故伽罗华群$Gal(K,Q)$不可解。从而证明$x^5-5x-2=0$的根不都能用根式等表出。

    欲知其详，可参见[5,7]。

7. 后记

    2006年，时任自动化学会教材委员会秘书长、清华大学萧德云教授来访，邀我写一本向工科学生介绍近代数学的书。被他的热情和构想所感动，就写了[7]。其目的在书封底“本书特色”做了说明，摘抄如下：

    “本书的目的是向自动化及相关学科的研究生、青年教师及科研人员介绍近代数学。选材以与系统控制关系密切的分析、代数及几何知识为主线，兼顾数学自身的内在逻辑与严谨性。内容包括：勒贝格测度与积分、泛函分析、点集拓扑，抽象代数、代数拓扑、微分流形、李群与李代数、张量场、黎曼几何、辛几何、代数几何等近代数学的主要分支。作者希望本书能使仅具有工程数学基础的青年学者迅速掌握近代数学的工具，以满足阅读相关文献和从事自动化理论研究的需要。

    除密切联系自动化学科的需求外，本书也注意为读者展示数学的百花园。例如，证明用尺规三等分任意角是不可能的，证明五次方程没有公式解，介绍什么是选择公理、Zorn引理、超限归纳法，连续统假定、罗素悖论、四色问题、费马大定理与椭圆曲线、庞加莱猜想、黎曼猜想……

    读完本书，你或许会发现，你登上了一个新的高度，有一个新的视野看世界……”

    自己很赞同萧教授及自动化学会教材委员会的想法：中国研究生的一个普遍弱点是基础不足，急于做研究、出文章。要想提高研究生水平，要从加强基础理论的学习和训练做起。这本书是这种努力的一次尝试，也许不是很成功，因为有多位读者反映难懂。但502所一位清华老学长陆先生几次来电话鼓励我，说写这本书是“功德无量”。现在我在研究工作之余，抽空在写第二版，并增加随机部分，但愿能改得通俗易懂一点。

参考文献：

[1] 叶其孝，沈永欢，《实用数学手册》，第2版，科学出版社，2006.

[2] 李文林，《数学史教程》，高等教育出版社，北京，2000.

[3] V.J. Katz, A History of Mathematics, Reprinted by China Machine Press, 2004.

[4]  吴文俊(主编)， 世界著名数学家传记，科学出版社，1995.

[5] C.C. Pinter, A Book of Abstract Algebra, 2nd Ed., McGraw-Hill Publishing Comp., 1990.

[6] J. Bewersdorff, Galois Theory for Beginners, AMS, Rhode Island, 2006.

[7] 程代展，《系统与控制中的近代数学基础》，清华大学出版社，2007.