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关于“五次方程到底有没有根式解？”的几点注释
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关于“五次方程到底有没有根式解”一文引起的争论，被行仁兄戏称作“程吴之争”。我已对此表态，贴出“声明”：“吴老师：您对，我错了。给您赔礼道歉！您老也别生气了。我已经投降了，许多有兴趣的读者也看明白了。系列论文就不必了吧？请吴老师多保重!”所以，这场所谓争论已经以本人完败结束，不会再有争论了。
但有朋友对我说：“你的声明将来会被其他‘非专业人士’引用的。”所以要做个补充“声明”：“上述声明是专门给吴老师的，本人保留版权，外人引用一律无效。”当然，本文不会无聊到只为发这么一个声明。个人觉得：对那些对这个问题有兴趣的非数学专业的年轻学者，自己欠着一个对这个问题一些相关概念的解释。因此，这篇博文是给他们写的，与所谓“程吴之争”无关。敬请吴老师不要读，也不要评论！
1. 什么是“五次方程根式解问题”？
我们讨论的方程是：$x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$，这里$a,b,c,d,e\in Q$。($Q$是有理数集)。也就是讨论系数为有理数的五次方程。一个简单线性变换：$y=x-a/5$就可以把它变成$x^5+ax^3+bx^2+cx+d=0$。因此，可以只讨论后者。
(a) 什么叫根式解？我把解方程的故事的参考文献[5]中的定义抄在这里(这也是我文中的定义)：
可解：A polynomial a(x) is solvable by radicals if there is a radical expression giving its roots in terms of its coefficients. (一个多项式$a(x)$是根式可解的，如果它所有的根都可以用根式表达式表示出来。)
根式表达式：Radical expression is built up from the coefficients of the given polynomials by repeated addition, subtraction, multiplication, division, and taking roots. (根式表达式是由所给多项式的系数，通过有限次加、减、乘、除及开方而得到的。)
[5]是美国比较通用的一本数学大学本科教材。本人曾在美国某大学教过这门课，所以熟悉这本教材。有兴趣的读者可以找其他任何教材或参考书，相信定义不会不一样。
(b) 根式解要讨论的是什么问题？根式解是讨论“是否所有上述形式的五次方程的解都能用根式表出?”信手写一个：$(x-1)^5=0$，它五个根都是$1$，当然可以。问题是，是不是所有的都可以？这个问题是十九世纪激烈争论的问题。最早是阿贝尔给出回答：“五次方程不可以！”然后是伽罗华，伽罗华回答了“任意次方程什么时候可以，什么时候不可以”这个问题。“非专业人士不懂这段历史，更不懂伽罗华理论，所以随心所欲，乱解释伽罗华理论。
2. 什么是可约、不可约?
抽象谈一个多项式“可约”或“不可约”是没有意义的，非专业人士不明白这一点，所以说不清所谓有“根式实数”解算不算根式解的问题。可约性依赖于“数域”，也就是说，要明确指出：因式分解是在那个数域里进行。
例如，$x^5-2$在有理数域是不可约的，即它不能分成以有理数为系数的多项式的乘积。但它在实数域是可约的，因为它有$(x-(2)^{1/5})$因子。
如果在复数域，任何一个$n$次多项式都可分解成$n$个一次多项式$(x-x_i)$的乘积，这里，$x_i$就是它的零点。这就叫“代数基本定理”。行仁兄也明确指出过这一点。
由于熟知的：“实系数方程虚根成对”，任何有理五次方程必至少有一实根，换言之，任一有理五次方程在实数域都可约。所以，在我们讨论的问题里，只有在有理数域的可约性才有意义。
3. 关于根的参数表达问题
其实，我应当给吴老师一个道歉。我的前一篇博文中有两处错误：
(a)
$a=(-1-i*\sqrt{3})/2$, $b=(-1-i*\sqrt{3})/2$。这里，应当是$b=(-1+i*\sqrt{3})/2$；
(b) 线性方程式
$y_1=z_1+z_2+z_3+z_4$,
$y_2=az_1+az_2+bz_3+bz_4$,
$y_3=az_1+bz_2+az_3+bz_4$,
$y_4=bz_1+az_2+bz_3+az_4$,
$y_5=bz_1+az_2+bz_3+az_4$.
应当是
$y_1=z_1+z_2+z_3+z_4$,
$y_2=az_1+az_2+bz_3+bz_4$,
$y_3=bz_1+bz_2+az_3+az_4$,
$y_4=az_1+bz_2+az_3+bz_4$,
$y_5=bz_1+az_2+bz_3+az_4$.
这是我写博文时马虎所致。但我在计算时程序并没有写错，所以，前文中所有讨论都是对的。这在MatLab只是4、5行的程序，每个人都可以去检验一下后者(正确方程)的系数阵秩是不是$3$。
再说能不能这么表达的问题，我用了$y^5-y^3$，主要是为了根好解。我之所以不在意可约不可约，是因为所谓根式解就是一般解法。或解公式。世界上有这样解公式，它只对不可约方程成立，而对可约方程不成立，这样的公式你信吗？况且，任一可约多项式的任意小邻域都有不可约多项式。
如果这些你都不信，我可以換一个例子：$x^5-5x-2$。它不可约，其解为：$y_1=1.582038$, $y_2=-1.371882$, $y_3=-0.402102$, $y_4=0.095974-i*1.510795$, $y_5=0.095974+i*1.510795$。代入增广阵秩就是4。也就是说：它的根就不能用上式表示。其实，你随便找一个不可约五次方程，用MatLab把解写出来，代入增广阵，如果算出秩是3，你比中彩票头等奖还幸运，这就是“几乎所有五次方程解都不能用该方法表示”的意思。
4. 写给所有想用根式求解五次方程的朋友
阿贝尔当初将其解五次方程的论文寄到法国科学院。由于公式复杂，审稿人让他给出例子，在计算例子的过程中他发现自己错了，这导致他最后得到正确结论：“一般五次方程无根式解”。
$x^5-5x-2$是教科书中的典型例子。凡自称能用根式解五次方程的非专业人士，都可以把它做例子。只要能用根式把它的解表示出来，一定轰动世界。一些非专业人士号称自己对所有五次方程都能解，但就是解不了一个例子。这在逻辑上说得通吗?
这次争论让我很伤心，我在一位朋友的留言里回答：“I hate this discussion. It is nonsense!”
https://blog.sciencenet.cn/blog-660333-670498.html
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