《信息论》、《博弈论》与《安全通论》的融合

------《安全通论》（11）：刷新您的通信观念

杨义先，钮心忻

北京邮电大学信息安全中心

摘要：在信息领域，有一本圣经，叫《信息论》。在经济学领域，也有一本圣经，叫《博弈论》。这两本圣经，几乎同时诞生于上世纪中叶，分别由仙农和冯.诺伊曼创立。但是，过去七十年来，谁也没想到，这两本圣经其实是同一本圣经的上下两册，它们的灵魂是完全一致的。而偶然发现这个秘密，并将这两本圣经融合起来的，便是笔者正在努力探索中的《安全通论》。

（一）前言

仙农和冯.诺伊曼无疑是第三次工业革命的灵魂人物。作为科学家，他们对信息社会的贡献无与伦比，堪称信息社会之父。

仙农的《信息论》可能是上世纪最重要的学问之一，而且，它对人类的影响还将持续下去，甚至会变得越来越重要。近百年来，正反两方面的事实证明：若没有《信息论》，就不会有人类的今天，更不可能有网络时代、大数据时代、云计算时代、物联网时代等等。

冯.诺伊曼的《博弈论》对人类文明的影响也大得惊人，特别是经天才数学家纳什精练后，《博弈论》几乎就成为了现代经济学的主宰，由它催生的诺贝尔奖至少一长串。

过去七十年来，《信息论》和《博弈论》在各自领域中，都扮演着“圣经”的角色。虽然，后人研究信息论在股票市场中的应用时，也偶尔提到“博弈”两字；在研究数据压缩时，也提到过“博弈”。同样，在经济学的许多著作中，“信息”或者“信息论”更是经常出现。但是，客观地说，无论是信息论研究中提到博弈，还是经济学（博弈论）研究中提到信息或信息论，其实，双方都只是在赶时髦，用用对方的名词概念，装点自己的门面而已，最多不过是借用一下思想。实际上，在信息论界，大家对《博弈论》知之甚少；同样，在博弈论界，大家对《信息论》也几乎不懂。可以说，在全世界，同时精通并深入研究《博弈论》和《信息论》的人屈指可数。

非常意外的是，我们在研究《安全通论》时，偶然发现，《信息论》和《博弈论》之间的关系之密切，完全超出了许多人的想象。甚至，刷新了人们过去对通信的观念，让通信，特别是网络通信，以全新的面貌重新登场。比如，

1）过去，人们咬定，通信（1对1通信）就是比特信息从发端到收端的传输；其目的就是尽可能多地、可靠地传输比特流。但是，现在看来，通信其实还可以是一种博弈；是收信方和发信方之间，为了从对方获取最大信息量（互信息）的一种博弈。而且，这种博弈一定存在纳什均衡，此时，收信方和发信方各自从对方所获得的信息量相等，同为仙农称之的“信道容量”。

2）网络通信的“信息传输极限”一直就是多用户网络信息论中的头等难题，其难度之大，以至于人们根本就不知道该如何来描述它。人们虽然自认为已经在“多输入单输出信道”等几种最简单的多用户网络信道容量计算方面，取得了最终结果（其实并非最终结果，详见本文第四节的论述）；但是，面对绝大部分的多用户网络的信道容量，人们仍然束手无策。甚至，像广播信道这种简单而常见的信道，都使大家不知所措。

为什么会出现这种尴尬局面呢？因为，如果按过去的观念，让比特串在多用户信道中去互相碰撞、转化、流动、传输，那么，当然就难以理出头绪，而且越传越乱。甚至，连每个用户终端对自己的传输需求，优化目标，都说不清楚，就更不可能有最优化结果了。

现在，重新来审视多用户网络通信，将它看成终端用户之间的一种“多参与者博弈”，其目的是要，从其锁定的对象终端处，获得最大的信息量。于是，网络信道容量这个大难题，便可以经过简单的两步轻松解决：

第1步，每个博弈者锁定自己的需求（即，优化目标），比如，他对哪些终端的信息更感兴趣（兴趣大的赋予更大的权值，没兴趣的赋予0权值），对哪些终端的信息要区别对待（不加区别的可以放在同一个组内，统一考虑）；

第2步，证明该种博弈刚好存在纳什均衡（非常幸运地得益于互信息函数I(X;Y)的凹性）。而且，在纳什均衡状态时，每个终端就都得到了自己的最优化结果。

3）“信道容量”其实并非像过去那么死板，更不是由几条固定直线切割而成的不变区域，而是在根据各博弈方的优化目标而变化的；优化目标不同，优化结果当然应该不同。而在网络通信中，各方的优化目标确实千差万别。

4）《信息论》、《博弈论》和《安全通论》三者之间融合后，就有：红客与黑客之间的攻防对抗，其实既是红与黑的博弈，也是红与黑之间的通信。若将通信看作红《安全通论》中的红黑对抗，那么，这时红与黑的攻防招数相当，即，红客能实施的所有手段，黑客也能实施。若将《安全通论》中的红黑对抗看作通信，那么，这种通信是非对称的，即，比特的正向流动与反向流动性质不同。若将《安全通论》中的红黑对抗看作博弈，那么，由于每个红客或黑客的攻防招数是有限的，所以，无论怎么去定义其利益函数，这种博弈都一定存在纳什均衡（包含纯战略或混合战略）。

综上可知，在被融合的三论中，《博弈论》最广，《信息论》最深，《安全通论》粘性最强。虽然与《信息论》和《博弈论》相比，《安全通论》不过是九牛之一毛，但是，《安全通论》既然能把两大“牛理论”粘在一起，就说明其本身还是有一定价值的。

本文本来是作者《安全通论》系列论文中的第11部分，但是，由于《信息论》与《博弈论》的融合太出人意料，所以，我们将本文的题目和副标题换了个位，以突出“融合”之意。

由于许多博弈论专家不懂信息论，同样，许多信息论专家不懂博弈论，所以，为了读者阅读方便，我们在下面第二节和第三节中，分别把《博弈论》和《信息论》的最精华部分进行了凝练，熟悉的读者可以跳过，而直接进入本文的核心内容：第四节，三论融合。

（二）《博弈论》核心凝练

为保持全文的完整性，本小节将《博弈论》的最核心成果（见[11，12]）凝练如下。熟悉博弈论的读者，可以直接跳过此节。

博弈的标准式表述包括：1）博弈的参与者；2）每个参与者可供选择的战略（行动）集；3）针对所有参与者可能选择的战略组合，每个参与者获得的收益。在一般的n个参与者的博弈中，把参与者从1至n排序，设其中任一参与者的序号为i，令S_i代表参与者i可以选择的战略集合（称为i的战略空间，其实就是行动空间），其中任一特定的战略用s_i表示（或写为s_i∈S_i表示战略s_i是战略集S_i中的要素）。令(s₁,…,s_n)表示每个参与者选定一个战略而形成的战略组合，u_i表示第i个参与者的收益函数，u_i(s₁,…,s_n)即为参与者选择战略(s₁,…,s_n)时，第i个参与者的收益。综合而言，有

定义1.1（博弈标准式）：在一个n人博弈的标准式表述中，参与者的战略空间为S₁,…,S_n，收益函数为u₁,…,u_n，我们用G={S₁,…,S_n；u₁,…,u_n}表示此博弈。

定义1.2（严格劣战略）：在标准式的博弈G={S₁,…,S_n；u₁,…,u_n}中，令s’_i和s’’_i代表参与者i的两个可行战略（即，s’_i和s’’_i是S_i中的元素）。如果对其它参与者的每个可能战略组合，i选择s’_i的收益都小于其选择s’’_i的收益，则称战略s’_i相对于战略s’’_i是严格劣战略，即，如下不等式：

u_i(s₁,…,s_i-1,s’_i,s_i+1,…,s_n)<u_i(s₁,…,s_i-1,s’’_i,s_i+1,…,s_n)            (1.1)

对其它参与者在其战略空间S₁,…,S_i-1,S_i+1,…,S_n中每一组可能的战略(s₁,…,s_i-1,s_i+1,…,s_n)都成立。

理性的参与者不会选择严格劣战略，因为，他（对其它人选择的战略）无法做出这样的推断，使这一战略成为他的最优反应。在博弈中，每个参与者要选择的战略，必须是针对其它参与者选择战略的最优反应，这种理论推测结果可以叫做“战略稳定”或“自动实施”的，因为，没有哪位参与者愿意独自离弃他所选定的战略，我们把这一状态称为“纳什均衡”。

定义1.3（纯战略纳什均衡）：在n个参与者标准式博弈G={S₁,…,S_n；u₁,…,u_n}中，如果战略组合{s*₁,…,s*_n}满足对每个参与者i，s*_i是（至少不劣于）他针对其它n-1个参与者所选战略{s*₁,…,s*_i-1,s*_i+1,…,s*_n}的最优反应战略，则称战略组合{s*₁,…,s*_n}是该博弈的一个纳什均衡。即，

u_i{s*₁,…,s*_i-1,s*_i,s*_i+1,…,s*_n}≥u_i{s*₁,…,s*_i-1,s_i,s*_i+1,…,s*_n}     (1.2)

对所有S_i中的s_i都成立，亦即，s*_i是以下最优化问题的解：

Max_si∈Si u_i{s*₁,…,s*_i-1,s_i,s*_i+1,…,s*_n}        (1.3)

(注：由于科学网博客显示器的限制，本文中我们无法用标准公式来显示诸如“双重足标”等公式，所以，此处及后面，凡是在多重足标中，我们都不得不将s_i与si视为等同。幸好这样做并不会引起混乱。)

为更清晰地理解定义1.3中的纳什均衡，我们设想有一标准式博弈G={S₁,…,S_n；u₁,…,u_n}，博弈论为它提供的解为战略组合{s’₁,…,s’_n}，如果{s’₁,…,s’_n}不是G的纳什均衡，就意味着存在一些参与者i，s’_i不是针对{s’₁,…,s’_i-1,s’_i+1,…,s’_n}的最优反应战略，即在S_i中存在s’’_i，使得：

u_i(s’₁,…,s’_i-1,s’_i,s’_i+1,…,s’_n)<u_i(s’₁,…,s’_i-1,s’’_i,s’_i+1,…,s’_n)      （1.4）

那么，如果博弈论提供的战略组合解{s’₁,…,s’_n }不是纳什均衡，则至少有一个参与者有动因偏离理论的预测，使得博弈的真实进行和理论预测不一致。因此，对给定的博弈，如果参与者之间要商定一个协议，决定博弈如何进行，那么，一个有效的协议中的战略组合必须是纳什均衡的战略组合，否则，至少有一个参与者不会遵守该协议。

再换一个角度来看纳什均衡：仍记S_i为参与者i可以选择的战略集，并且，对每一个参与者i，s*_i为其针对另外n-1个参与者所选战略的最优反应，则战略组合(s*₁,…,s*_n)为博弈的纳什均衡，即，

u_i(s*₁,…,s*_i-1,s*_i,s*_i+1,…,s*_n)≥u_i(s*₁,…,s*_i-1,s_i,s*_i+1,…,s*_n)      （1.5）

对S_i中的每个s_i都成立。

但是，如果仅按定义1.3来定义纳什均衡，那么，在某些情况下，这样的纳什均衡就不存在，更一般地有：在博弈中，一旦每个参与者都竭力猜测其它参与者的战略选择，那么，就不存在“由定义1.3所定义的纳什均衡”，因为，这时参与者的最优行为是不确定的，而博弈的结果必然要包括这种不确定性。因此，又引入了所谓“混合战略”的概念，它可以解释为一个参与者对其它参与者行为的不确定性。从而，将纳什均衡的定义扩展到包括混合战略的情况。

规范地说，参与者i的一个混合战略，就是在其战略空间S_i中（一些或全部）战略的概率分布，于是，称前面S_i中的那些战略为i的纯战略。对于完全信息同时行动博弈来说，一个参与者的纯战略，就是他可以选择的不同行动。例如，在“猜硬币正反面”博弈中，S_i含有两个纯战略，分别为“猜正面向上”和“猜反面向上”，这时，参与者i的一个混合战略为概率分布（q,1-q），其中q为“猜正面向上”的概率，1-q为“猜反面向上”的概率，且0≤q≤1。混合战略(0,1)表示参与者的一个纯战略，即，只“猜反面向上”；类似地，混合战略（1，0）表示只“猜正面向上”的纯战略。

更一般地，假设参与者i有K个纯战略：S_i={s_i1,…,s_iK}，则参与者i的一个混合战略就是一个概率分布(p_i1,…,p_iK)，其中p_ik表示对所有k=1,2,…,K，参与者i选择战略s_ik的概率，由于p_ik是一个概率，所以对所有k=1,…,K，有0≤p_ik≤1且p_i1+…+p_iK=1。我们用p_i表示基于S_i的任意一个混合战略，其中包含了选择每个纯战略的概率，正如前面用s_i表示S_i内任意一个纯战略一样。

定义1.4（混合战略）：对标准式博弈G={S₁,…,S_n；u₁,…,u_n}，假设S_i={s_i1,…,s_iK}。那么，参与者i的一个混合战略为概率分布p_i=(p_i1,…,p_iK)，其中对所有k=1,…,K，都有0≤p_ik≤1且p_i1+…+p_iK=1。

为了将纳什均衡概念扩展到混合战略的最优反应，先把两人博弈的情况描述清楚（这也是我们为了在后面将《博弈论》与《信息论》融合，而做的准备工作）。

先考虑只有两个博弈者。令J表示第1个参与者（博弈者）S₁中包含纯战略的个数，K表示第2个博弈者S₂包含纯战略的个数，则S₁={s₁₁,…,s_1J}，S₂={s₂₁,…,s_2K}，我们用s_1j和s_2k分别表示S₁和S₂中任意一个纯战略。

如果参与者1推断参与者2将以P₂=（p₂₁,…,p_2K）的概率选择战略(s₂₁,…,s_2K)，则参与者1选择纯战略s_1j的期望收益为：

∑^K_k=1p_2ku₁(s_1j,s_2k)       （1.6）

且参与者1选择混合战略P₁=(p₁₁,…,p_1J)的期望收益为：

v₁(P₁,P₂)=∑^J_j=1p_1j[∑^K_k=1p_2ku₁(s_1j,s_2k)]=∑^J_j=1∑^K_k=1p_1j.p_2ku₁(s_1j,s_2k)    （1.7）

其中，p_1j.p_2k表示参与者1选择s_1j且参与者2选择s_2k的概率。根据公式（1.7），参与者1选择混合战略P₁的期望收益，等于按公式（1.6）给出的每个纯战略{s₁₁,…,s_1J}的期望收益的加权和，其权重分别为各自的概率(p₁₁,…,p_1J)，那么，参与者1的混合战略(p₁₁,…,p_1J)要成为他对参与者2战略P₂的最优反应，其中任何大于0的p_1j相对应的纯战略，必须满足：

∑^K_k=1p_2ku₁(s_1j,s_2k)≥∑^K_k=1p_2ku₁(s’_1j,s_2k)

对S₁中每一个s’_1j都成立。这表明，如果一个混合战略要成为P₂的最优反应，那么，这个混合战略中每一个概率大于0的纯战略本身，也必须是对P₂的最优反应。反过来讲，如果参与者1有n个纯战略都是P₂的最优反应，则这些纯战略全部或部分的任意线性组合（同时，其它纯战略的概率为0）形成的混合战略，同样是参与者1对P₂的最优反应。

为给出扩展的纳什均衡的正式定义，我们还需要计算：当参与者1和2分别选择混合战略P₁和P₂时，参与者2的期望收益。如果参与者2推断参与者1将分别以P₁=（p₁₁,…,p_1J）的概率选择战略{s₁₁,…,s_1J}，则参与者2分别以概率P₂=（p₂₁,…,p_2K）选择战略{s₂₁,…,s_2K}时的期望收益为

v₂(P₁,P₂)=∑^K_k=1p_2k[∑^J_j=1p_1ju₂(s_1j,s_2k)]=∑^J_j=1∑^K_k=1p_1j.p_2ku₂(s_1j,s_2k)    （1.8）

在给出v₁(P₁,P₂)和v₂(P₁,P₂)之后，我们便可以重新表述纳什均衡的必要条件了，即，每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应：一对混合战略(P*₁,P*₂)要成为纳什均衡，则P*₁必须满足

v₁(P*₁,P*₂)≥v₂(P₁,P*₂)        （1.9）

对S₁中战略所有可能的概率分布P₁都成立，并且P*₂必须满足

V₂(P*₁,P*₂)≥v₂(P*₁,P₂)        （1.10）

对S₂中战略所有可能的概率分布P₂都成立。

定义1.5（混合战略纳什均衡）：在两个参与者标准式博弈G={S₁,S₂;u₁,u₂}中，混合战略(P*₁,P*₂)是纳什均衡的充分必要条件是：每一参与者的混合战略，是另一参与者混合战略的最优反应，即，公式(1.9)和(1.10)必须同时成立。

在任何博弈中，一个纳什均衡（包括纯战略和混合战略均衡）都表现为参与者之间最优反应对应的一个交点，即使该博弈的参与者在两人以上，或有些（或全部）参与者有两个以上的纯战略。

到此，我们就可以介绍博弈论的最核心定理，称为“纳什均衡定理”，它由数学家纳什于1950年发现：

纳什均衡定理：在n个参与者的标准式博弈G={S₁,…,S_n;u₁,…,u_n}中，如果n是有限的，且对每个i，S_i也是有限的，则博弈存在至少一个纳什均衡，均衡可能包含混合战略。

该定理要求策略空间是有限的（即，每个参与者的可选策略个数有限），但是，如果策略空间是无限时，情况又会怎样呢？1952年，Debreu、Glicksberg和 Fan证明了下面的定理1，Glicksberg证明了下面的定理2。

定理1.1：在n个参与者的标准式博弈G={S₁,…,S_n;u₁,…,u_n}中，如果n是有限的，且对每个i，S_i是欧式空间的非空紧凸集。如果收益函数u_i对s_i(s_i∈S_i)是连续的，且对s_i是拟凹的，那么，该博弈存在纯战略纳什均衡。

定理1.2：在n个参与者的标准式博弈G={S₁,…,S_n;u₁,…,u_n}中，如果n是有限的，且对每个i，S_i是度量空间的非空紧集。如果收益函数u_i是连续的，那么，该博弈存在混合战略的纳什均衡。

（三）《信息论》核心凝练

为保持全文完整性，本小节将《信息论》的最核心成果（见[13]）凝练如下。熟悉《信息论》的读者，也可以直接跳过此节。

如果将所有可能的通信方案看成一个集合，那么，《信息论》就给出了这个集合的两个最重要的临界值：1）数据压缩达到最低程度的方案，对应于该集合的下界minI(X,X*)，即，所有数据压缩方案所需要的描述速率不得低于该临界值I(X,X*)，仙农信源编码定理；2）数据传输率的最大值就是信道容量，MaxI(X,Y)，仙农信道编码定理。

网络信息论是当前通信理论研究的焦点，即，在干扰和噪声的情况下，如何建立大量发送器到大量接收器之间的通信同步率理论。但是，目前，全世界都正在泥潭中痛苦挣扎。

信息论的几个最基本的概念有：

熵：设随机变量X的概率分布函数为p(x)，那么，X的熵定义为，H(X)=-∑_xp(x)log₂p (x)。熵的量纲为比特。熵可看作随机变量X的平均不确定度的度量，即，在平均意义下，为了描述该随机变量X所需要的比特数。特别，如果Ｘ是二值随机变量，比如，p(X=1)=q，p(X=0)=1-q，那么，H（X）=-qlogq-(1-q)log(1-q)，它是实数区间[0,1]内，关于q的凹函数。

条件熵：一个随机变量X，在给定另一个随机变量Y的条件下的熵，记为H(X│Y)。

相对熵：两个概率密度函数为p(x)和q(x)之间的相对熵定义为

D(p∥q)=∑_x∈Xp(x)log[p(x)/q(x)]=E_plog[p(X)/q(X)]。

互信息：由另一个随机变量导致的，原随机变量不确定度的缩减量。具体地说，设X和Y是两个随机变量，那么，这个缩减量就是互信息I(X;Y)=H(X)-H(X│Y)=∑_x,yp(x,y)log{p(x,y)/[p(x)p(y)]}= D(p(x,y)∥[p(x)p(y)])。互信息I(X;Y)也是两个随机变量相互之间独立程度的度量，它关于X和Y对称，且非负；当且仅当X与Y相互独立时，其互信息为0。

条件互信息：随机变量X和Y，在给定随机变量Z的条件互信息定义为：I(X;Y│Z)=H(X│Z)-H(X│Y,Z)=E_p(x,y,z)log[p(x,y,z)/(p(x│z)p(y│z))]。

定理2.1（互信息的凹凸性定理）：设二维随机变量（X，Y）服从联合概率分布p(x,y)=p(x)p(y│x)。如果固定p(y│x)，则互信息I(X;Y)就是关于p(x)的凹函数（互信息其实是任意闭凸集上的凹函数，因而，局部最大值也就是全局最大值。又由于互信息是有限的，所以，在信道容量的定义中，可以只使用max，而不必用sup。而且，这个最大值（信道容量）可以利用标准的非线性最优化技术求解）；而如果固定p(x)，则互信息I(X;Y)就是关于p(y│x)凸函数。在条件互信息的情况下，如果固定p(y│x,z)，则互信息I(X;Y│Z)就是关于p(x│z)的凹函数，也是关于p(x)的凹函数。

通信信道：它是这样一个系统，其输出信号按概率依赖于输入信号。其特征由一个转移概率矩阵p(y│x)决定，该矩阵给出了在已知输入情况下，输出的条件概率分布。

二元对称信道：输入与输出都只有两个符号（0，1），并且，输出与输入相同的概率为1-p，输出与输入相异的概率为p。这里0≤p≤1。

信道容量：对于输入信号为X，输出信号为Y，的通信信道，定义它的信道容量C为C=max_p(x)I(X;Y)。

好了，现在来介绍《信息论》中核心的定理，仙农信道编码定理。它可以描述为：

仙农信道编码定理：对于离散无记忆信道，小于信道容量C的所有码率都是可达的。或者可以形象地解释为：码率不超过信道容量C的所有信号，都能够被无误差地从发方传输到收方。

（四）三论融合

有了上述第二节（《博弈论》）和第三节（《信息论》）的预备工作后，现在就可以介绍本文的核心内容了。我们将利用《安全通论》，把《博弈论》的核心（纳什均衡）和《信息论》的核心（信道容量）进行充分融合，并顺便解决网络信息论中存疑数十年的一些难题。

首先来重视审视一下经典的“1对1通信”：构造一个特殊的标准式博弈G={S₁,S₂;u₁,u₂}，它有两个参与者，分别是甲方（包含但不限于发信方X）和乙方（包含但不限于收信方Y），假设固定一个转移矩阵A=[A_ij]（它等同于确定某个信道的转移矩阵，即，A_ij=p(x=i│y=j), 1≤i≤n, 1≤j≤m），如果X和Y分别是取n个和m个值的随机变量，那么，

参与者1（甲方）的战略空间S₁定义为S₁={0≤x_i≤1：1≤i≤n, x₁+x₂+…+x_n=1}，它是边长为1的n维封闭立方体中的一个n-1维封闭子立方体（当然，也就是欧式空间的非空紧凸集）。

参与者2（乙方）的战略空间S₂定义为S₂={0≤y_i≤1：1≤i≤m，y₁+y₂+…+y_m=1}，它是边长为1的m维封闭立方体中的一个m-1维封闭子立方体（当然，也就是欧式空间的非空紧凸集）。

对参与者1和2的任意两个具体的纯战略s₁∈S₁（即，s₁=(p₁,p₂,…,p_n)，p₁+p₂+…+p_n=1）和s₂∈S₂（即，s₂=(q₁,q₂,…,q_m)，q₁+q₂+…+q_m=1）分别定义他们的收益函数为：

参与者1（甲方）的收益函数u₁(s₁,s₂)定义为u₁(s₁,s₂)=∑_j=1^mq_j∑_i=1ⁿA_ijlog[A_ij/p_i]。提醒：其实这个收益函数就是I(X;Y)，即，X与Y的互信息，这里X和Y的概率分布函数分别由s₁和s₂定义为P(X=i)=p_i，(1≤i≤n，0≤p_i≤1)和P(Y=j)=q_j，(1≤j≤m，0≤q_j≤1)。根据定理2.1（互信息的凹凸性定理），在信道p(x│y)被固定的条件下，u₁对s₁(s₁∈S₁)是连续的，且对s₁是凹函数（当然更是拟凹的了）。

参与者2（乙方）的收益函数u₂(s₁,s₂)定义为u₂(s₁,s₂)=∑_i=1ⁿp_i∑_j=1^m B_jilog[B_ji/q_j]。提醒：其实这个收益函数就是I(Y;X)，即，Y与X的互信息。同样，根据定理2.1（互信息的凹凸性定理），在信道p(x│y)被固定的条件下（因为p(y│x)已被固定，所以p(x│y)也已被固定），u₂对s₂(s₂∈S₂)是连续的，且对s₂是凹函数（当然更是拟凹的了）。（注：虽然通过《信息论》，我们明明知道I(X;Y)=I(Y;X)，即，该博弈中的两个参与者的收益函数是相等的，但是，为了使相关描述更像标准博弈，所以，我们故意如此赘述。后面有些赘述也是同样目的。）

于是，定理1.1中的条件就被全部满足，即，我们人为构造的标准式博弈G={S₁,S₂;u₁,u₂}就存在纯战略的纳什均衡。这就是说存在着某对纯战略s*₁=(p*₁,p*₂,…,p*_n)和s*₂=(q*₁,q*₂,…,q*_m)，它们分别对应于某对输入和输出的随机变量X*和Y*（这里P(X*=i)=p*_i, 1≤i≤n, p*₁+p*₂+…+p*_n=1 和P(Y*=j)=q*_j, 1≤j≤m, q*₁+q*₂+…+q*_m=1），使得，同时成立

任意给定s₂∈S₂，一定有u₁(s*₁,s₂)≥u₁(s₁,s₂)，对所有s₁∈S₁

和

任意给定s₁∈S₁，一定有u₂(s₁,s*₂)≥u₂(s₁,s₂)，对所有s₂∈S₂

换句话说，根据信道容量的定义，就知道u₁(s*₁,s*₂)=u₂(s*₁,s*₂)=C，信道p(y│x)的信道容量，即，甲方和乙方博弈的纳什均衡点刚好就是当甲方作为该信道的发方时、乙方作为该信道的收信方时，的信道容量。所以，我们就把这个结果简述为如下定理3.1。至此，我们就发现了《信息论》与《博弈论》之间的第一处核心融合，即，

定理3.1（信道容量与纳什均衡的融合定理）：当信道固定时，若以输入和输出之间的互信息为收益函数，那么，发信方和收信方之间的标准式博弈一定存在纯战略的纳什均衡，而且，当达到纳什均衡时，他们的收益函数就刚好是收发双方之间的信道的信道容量。

特别说明：我们之所以将上述博弈构造成发方和发方之间的博弈，是因为这样比较形象直观。其实，更严谨地说，我们本应该构造一个由收发双方联合起来与信道之间的“三人博弈”（或者是信道与发信方（或收信方）之间的二人博弈），它的最终纳什均衡状态也刚刚达到信道容量的极限值，不过，由于这种博弈的描述比较复杂，而且效果又一样，所以此处略去。

上面的定理3.1几乎完全刷新了人们对通信的观念：原来，所谓通信，只不过是收发双方的一种特殊博弈而已。那么，这种观念的刷新有价值吗？答案是：太有价值了，比如，基于这种新观念，我们就可以解决过去数十年来，网络信息论中有关信道容量的一些难题。注：用博弈论的思路去考虑1对1通信的意义不大，因为，仙农在这种情况下已经给出了非常漂亮的结果，但是，为什么我们要用1对1的情况为例来说明定理3.1呢，这主要是想使相关描述更简捷。再次提醒读者：千万别过分地被输入和输出的关系锁定，否则，就会对相关的博弈误解。

4.1）重新审视星形网络的信道容量

过去，《信息论》的做法是将星形网络分为“多输入单输出信道”和“广播信道（单输入多输出信道）”两种情况，而且还真的用仙农随机编码的思路，非常巧妙地把多输入信道的信道容量给“计算出来了”（后面将看到，其实，人们并没有完全计算出来，只是在一种特殊情况下计算出来了而已）；但是，面对广播信道时，大家就束手无策了，并将这个难题遗留至今。

现在我们从博弈论的角度，再来看这个问题时，突然发现，原来人类走了一个大弯路，把简单问题复杂化了。

为了把这个问题说清楚，我们先回头看看1对1通信的情况：

看待一个随机变量时，有两个层次：其一，宏观一点，只看其分布概率，比如，将扔硬币这个随机变量X，看成P(X=0)=P(X=1)=0.5；其二，微观一点，用某个具体的样本来代表，比如，用一连串扔硬币的结果x₁,x₂,…,x_n,…来表示。当然，同一个概率分布的不同具体样本之间的差别，可能会非常大，它们之间的平均汉明距离完全有可能大于0；但是，所以具体样本的统计特性是相同的。

由于通信的情况很特殊，一方面，仙农将输入和输出信号都当作随机变量，用分布概率表示；另一方面，每次收端和发端所处理的序列都是实实在在的具体样本，即，二元序列。于是，人们就反复在概率分布和具体样本之间纠结，其中，最典型的案例是仙农自己：本来由于其凹性，互信息I(X,Y)的最大值（max）和上确界（sup）就是一回事了，即，从分布概率角度来看，互信息的最大值是可达的（即，信道容量），既然，某个概率分布的随机变量X使I(X,Y)达到最大值，那么，X的某个具体样本也就一定能够达到该值，虽然并不知道到底是哪个样本能达到最大值。可是，仙农却还想进一步把那个达到最大值的具体样本给找出来，结果，虽然经过了一大堆复杂的随机编码推理，最终也仍然只证明了“达到最大值的那个样本存在”，而并没有把那个达到最大值的样本给找出来。于是，才上演了半个多世纪以来，全世界信道编码理论专家们，挖空心思、前赴后继地追求仙农极限的苦剧。至今，仙农极限还摆在那里，可望而不可及！

仙农的这种技巧，在１对１通信中时，非常令人震撼；但是，在网络通信时，这种“随机编码”的思路，就将人类带入了死胡同，导致半个多世纪的迷茫。

现在，用博弈的观点来看，通过定理３.１，在１对１通信时，收发双方达到纳什均衡的那个纯战略s*₁和s*₂，就是真真切切的接收信号和发射信号。

先看２输入单输出信道：

此时，有两个发信方X₁和X₂，有一个收信方Y。现在考虑他们三者之间的一个标准式博弈G={S₁,S₂,S;u₁,u₂,u}:

参与者1（发信方X₁）的战略空间S₁定义为S₁={0≤x_i1≤1：1≤i≤n, x₁₁+x₂₁+…+x_n1=1}。

参与者2（发信方X₂）的战略空间S₂定义为S₂={0≤x_i2≤1：1≤i≤N, x₁₂+x₂₂+…+x_N2=1}。

参与者3（收信方）的战略空间S₃定义为S₃={0≤y_i≤1：1≤i≤m，y₁+y₂+…+y_m=1。

他们三者之间的战略空间虽然很清楚，但是，在定义其收益函数时，情况就完全不一样了，比如：对该三个参与者的任意纯战略X₁、X₂和Y，

情况1：如果两个发信方都是自私的，他们只想为自己争取最大利益；并且如果收信方不加区别地对待发信方，那么，他们的三个收益函数就分别定义为：u₁(X₁,X₂,Y)=I(X₁;Y│X₂); u₂(X₁,X₂,Y)=I(X₂;Y│X₁); u₃(X₁,X₂,Y)=I(X₁,X₂;Y)。

情况2：如果两个发信方都是自私的，他们只想为自己争取最大利益；那么，发信各方的收益函数就分别定义为：u₁(X₁,X₂,Y)=I(X₁;Y│X₂); u₂(X₁,X₂,Y)=I(X₂;Y│X₁)。如果收信方对两个发信方是区别对待的，那么收信方的收益函数定义为如下加权函数：u₃(X₁,X₂,Y)=aI(X₁;Y│X₂)+bI(X₂;Y│X₁)。0≤a,b≤1并且a+b=1。

情况3：如果两个发信方是无私的，以争取发信方共同利益最大化为目标; 收信方不加区别地对待发信方，那么，对该三个参与者的任意纯战略X₁、X₂和Y，他们的三个收益函数就分别定义为：u₁(X₁,X₂,Y)=u₂(X₁,X₂,Y)=u₃(X₁,X₂,Y)=I(X₁,X₂;Y)。这便退化成了1对1通信。

情况4：如果两个发信方都是无私的，以争取发信方共同利益最大化为目标;那么，发信各方的收益函数就分别定义为：u₁(X₁,X₂,Y)=u₂(X₁,X₂,Y)=I(X₁,X₂;Y)。如果收信方对两个发信方是区别对待的，那么收信方的收益函数定义为如果加权函数：u₃(X₁,X₂,Y)=aI(X₁;Y│X₂)+bI(X₂;Y│X₁)。0≤a,b≤1并且a+b=1。

仿照定理3.1的证明过程，可以直接验证：在上述4种情况下，定理1.1的条件都被全部满足，即，这些博弈都存在纯战略的纳什均衡X*₁、X*₂、Y*。而达到纳什均衡状态时，收发三方各自的纯战略X*₁、X*₂、Y*，便是对应于各自企望的最佳结果，而这些最大值所围成的区域，便是信道容量。由此可见，所谓的“信道容量”原来并非像过去那么死板，而是在根据各博弈方的目标而变化的；目标不同，结果当然应该不同。特别是，上述的情况1，便是过去人们已经研究过的所谓“2输入单输出信道”情况，显然，人们过去并没有完全解决“多输入单输出信道”的信道容量问题。

至此，我们便明白了，为什么过去广播信道的信道容量成为了难题，因为，大家没有博弈概念，没有搞清楚收发各方的优化目标，而是在“鱼和熊掌兼得”的情况下来试图计算所谓的信道容量，当然，就不可能有结果了。自己都不清楚自己想要什么，怎么可能有最佳策略呢！

下面，我们就在锁定收发各方的利益目标（优化目标）的条件下，给出广播信道相应的“信道容量”，即，由纳什均衡状态所围成的区域。

在一般的“广播信道”中，有一个输入X和n个输出Y₁,Y₂,…,Y_n。现在考虑他们这(n+1)个参与者之间的如下标准式博弈G={ S,S₁,S₂,…,S_n;u,u₁,u₂,…,u_n}:

参与者0（发信方X）的战略空间S定义为S={0≤x_i≤1：1≤i≤m, x₁+x₂+…+x_m=1}。

参与者1（收信方Y₁）的战略空间S₁定义为S₁={0≤y_i1≤1：1≤i≤N(1), y₁₁+y₂₁+…+y_N(1)1=1}。

参与者2（收信方Y₂）的战略空间S₂定义为S₂={0≤y_i2≤1：1≤i≤N(2), y₁₂+y₂₂+…+y_N(1)2=1}。

……

参与者n（收信方Y_n）的战略空间S_n定义为S_n={0≤y_in≤1：1≤i≤N(n), y_1n+y_2n+…+y_N(1)n=1}。

对任何一组纯战略X、Y₁、Y₂、…、Y_n，根据不同的利益目标（优化目标），上述(n+1)个博弈者之间的利益函数也是各不相同的，因此，相应的“信道容量”也是各不相同的。为了节省篇幅，我们不再对所有细节情况一一论述，而是抽象地将所有情况“一网打尽”。

首先，从发信方X的角度来看，他将n个收信方分成K个组F₁、F₂、…、F_K使得每个收信方都在并只在某一个组中；而且，X对于在同一个组中的不同收信方不加区别；对这K个组，发信方X还分配了一个权重系数a₁、a₂、…、a_K，这里a₁+a₂+…+a_K=1，对每个1≤i≤K，0≤a_i≤1。于是，发信方X的收益函数定义为：

u(X,Y₁,Y₂,…,Y_n)=∑^K_i=1a_iI(X;F_i│F^C_i)

这里，F^C_i表示除了F_i之外，所有其它收信方组成的集合，而I(X;F_i│F^C_i)表示在条件F^C_i之下，X与F_i之间的互信息。

其次，再来看n个收信方，假定他们自愿分成M个联盟R₁、R₂、…、R_M使得每个收信方都在且只在某一个联盟中；同一个联盟中的收信方都以本联盟利益为重（不考虑自己个人的利益。自私的收信方可以自己单独组成一个联盟），于是，对每个收信方i(1≤i≤n)，如果该收信方i∈R_j (1≤j≤M)，那么，他就按如下方式来定义其利益函数（即，同一个联盟中的所有收信方的利益函数都是相同的）：

u_i(X,Y₁,Y₂,…,Y_n)=I(X;R_j│R^C_j)

这里，R^C_j表示除了R_j之外，所有其它收信方联盟组成的集合，而I(X;R_j│R^C_j)表示在条件R^C_j之下，X与R_j之间的互信息。

在按上述过程定义的标准式博弈G={ S,S₁,S₂,…,S_n; u,u₁,u₂,…,u_n}中，仿照定理3.1的证明过程，可以直接验证：定理1.1的条件被全部满足，即，该博弈存在纯战略的纳什均衡X*、Y*₁、Y*₂、…、Y*_n。而达到纳什均衡状态时，收发各方的纯战略X*、Y*₁、Y*₂、…、Y*_n，便是对应于各自企望的最佳结果，而这些可达的利益最大值所围成的区域，便是信道容量。

4.2）榆树网(Banyan)网络的信道容量

在榆树网中，有n个发信方X₁、X₂、…、X_n和m个收信方Y₁、Y₂、…、Y_m。显然，榆树网是星形网的扩展，它把1个发（收）信方，扩展成多个。为了描述榆树网的信道容量，我们设计如下有(n+m)个人参与的标准式博弈：

G={S₁,S₂,…,S_n,T₁,T₂,…,T_m;u₁,u₂,…,u_n,v₁,v₂,…,v_m}

参与者i（发信方X_i,1≤i≤n）的战略空间S_i定义为S_i={0≤x_ji≤1：1≤j≤N(i), x_1i+x_2i+…+x_N(i)i=1}。

参与者n+i(收信方Y_i,1≤i≤m)的战略空间T_i定义为T_i={0≤y_ji≤1：1≤j≤N(n+i), y_1i+y_2i+…+y_N(n+i)i=1}。

n个发信方自愿地将自己分为Q个联盟，P₁、P₂、…、P_Q使得每个发信方都在且只在某一个联盟中；同一个联盟中的发信方都以本联盟利益为重（不考虑自己个人的利益。自私的发信方可以独自组成一个联盟）。进一步，联盟P_i将全部m个收信方分成M(i)个组，F_i1,F_i2,…,F_iM(i)使得每个收信方都属于且只属于某个组。并且，联盟P_i还分配了一个权重系数a_1i、a_2i、…、a_M(i)i，这里a_1i+a_2i+…+a_M(i)i=1，对每个1≤i≤Q，0≤a_ik≤1。

于是，对每个发信方j，1≤j≤n，如果该发信方属于联盟P_i，那么，他的利益函数u_j(X₁,X₂,…,X_n,Y₁,Y₂,…,Y_m)就定义为：

u_j(X₁,X₂,…,X_n,Y₁,Y₂,…,Y_m)=∑^M(i)_k=1a_ki I(P_i;F_ik│P^C_i,F^C_ik)

这里P^C_i表示除联盟P_i之外的所有发信方组成的集合；F^C_ik表示除分组F_ik之外的所有收信方组成的集合；I(P_i;F_ik│P^C_i,F^C_ik)表示，在条件P^C_i，F^C_ik之下，P_i与F_ik之间的互信息。

收信方的利益函数，可以类似地定义。即，

m个收信方自愿地将自己分为W个联盟，B₁、B₂、…、B_W使得每个收信方都在且只在某一个联盟中；同一个联盟中的收信方都以本联盟利益为重（不考虑自己个人的利益。自私的收信方可以独自形成一个联盟）。进一步，联盟B_i将全部n个发信方分成D(i)个组，E_i1,E_i2,…,E_iD(i)使得每个发信方都属于且只属于某个组。并且，联盟B_i还分配了一个权重系数b_1i、b_2i、…、b_D(i)i，这里b_1i+b_2i+…+b_D(i)i=1，对每个1≤i≤W，0≤b_ik≤1。

于是，对每个收信方j，1≤j≤m，如果该收信方属于联盟B_i，那么，他的利益函数v_j(X₁,X₂,…,X_n,Y₁,Y₂,…,Y_m)就定义为：

v_j(X₁,X₂,…,X_n,Y₁,Y₂,…,Y_m)=∑^D(i)_k=1b_ki I(B_i;E_ik│B^C_i,E^C_ik)

这里B^C_i表示除联盟B_i之外的所有收信方组成的集合；E^C_ik表示除分组E_ik之外的所有发信方组成的集合；I(B_i;E_ik│B^C_i,E^C_ik)表示，在条件B^C_i，E^C_ik之下，B_i与E_ik之间的互信息。

在按上述过程定义的标准式博弈G={S₁,S₂,…,S_n,T₁,T₂,…,T_m;u₁,u₂,…,u_n,v₁,v₂,…,v_m}中，仿照定理3.1的证明过程，可以直接验证：定理1.1的条件被全部满足，即，该博弈存在纯战略的纳什均衡X*₁、X*₂、…、X*_n、Y*₁、Y*₂、…、Y*_m。而达到纳什均衡状态时，收发各方的纯战略X*₁、X*₂、…、X*_n、Y*₁、Y*₂、…、Y*_m，便是对应于各自企望的最佳结果，而这些可达的利益最大值所围成的区域，便是信道容量。

4.3）全连通网络的信道容量

所谓N个用户的全连通网络，就是在该网络中，每个用户既是收信方，同时又是发信方。那么，如何来考虑这种网络中的信道容量呢？其实，若利用上面的博弈思路，只要每个用户自己的目标锁定后，那么，由他们所构成的N个参与者的博弈，就一定存在纳什均衡，而且，他们各自的最大利益也能够在纳什均衡状态下被确定，而且，这些最大值所围成的区域，便是可达的信道容量。非常幸运的是：互信息函数及其线性组合的凹性，保证了纯战略纳什均衡的存在性。

为了避免过于复杂的公式足标体系，我们在全连通网络中假设：每个用户都是自私的，即，只考虑自己的利益，或者说，不再存在前面几小节中的联盟。这种假定当然会遗漏一些可能的情况，但是，对网络信息论的研究并没有实质性的影响。况且，在实际应用中，每个网络用户确实是几乎自考虑自身利益最大化。

设网络中的N个用户分别用随机变量X₁,X₂,…,X_N来表示，并且X_i是有M(i)个取值的随机变量，1≤i≤N。

构造一个有N个人参与的标准式博弈G={S₁,S₂,…,S_N; u₁,u₂,…,u_N}如下：

参与者i（用户X_i,1≤i≤n）的战略空间S_i定义为S_i={0≤x_ji≤1：1≤j≤M(i), x_1i+x_2i+…+x_M(i)i=1}。

对每个参与者i，在假定他是自私的前提下，为了合理定义他的利益函数，我们考虑如下事实：网络中的每个用户，对参与者i来说，其重要程度是不会完全相同的，因此，参与者i将其它N-1个用户分成N(i)组，G_i1,G_i2,…,G_iN(i)，使得每个其它用户都属于且只属于某个组。并且，参与者i还分配了一个权重系数d_1i、d_2i、…、d_N(i)i，这里d_1i+d_2i+…+d_N(i)i=1，对每个1≤j≤N(i)，0≤d_ji≤1。

于是，参与者i的利益函数u_i(X₁,X₂,…,X_n)就定义为：

u_i(X₁,X₂,…,X_n)=∑^N(i)_k=1d_ki I(X_i;G_ik│G^C_ik)

这里G^C_ik表示除分组G_ik和参与者i之外的所有用户组成的集合；I(X_i;G_ik│G^C_ik)表示，在条件G^C_ik之下，X_i与G_ik之间的互信息。

在按上述过程定义的标准式博弈G={S₁,S₂,…,S_n;u₁,u₂,…,u_n}中，仿照定理3.1的证明过程，可以直接验证：定理1.1的条件被全部满足，即，该博弈存在纯战略的纳什均衡X*₁、X*₂、…、X*_n。而达到纳什均衡状态时，各用户的纯战略X*₁、X*₂、…、X*_n，便是对应于各自企望的最佳结果，而这些可达的利益最大值所围成的区域，便是信道容量。

（五）结束语

“没有缺点”本身就是缺点！

你看，仙农在创立1对1通信的《信息论》时，非常巧妙地利用了转移矩阵来描述信道和互信息等重要概念，以至于后人在研究多用户网络信息论时，首先想到的就是“照猫画虎”，而且，还真的在“多输入单输出信道”中取得了重要成果，求出了（实际上只是部分求出了）所谓的“信道容量”。但遗憾的是，人们误入了歧途，数十年的停滞不前便是最有力的证明。

过去人们仿照仙农，用各种各样的转移概率来描述多用户网络系统，比如，在多接入单输出信道时，用转移概率P(y│x₁,x₂,…,x_m)来描述；在广播信道时，用转移概率P(x₁,x₂,…,x_m│y)来描述；在中继信道时，用转移概率P(y,y₁│x,x₁)来描述等等。从表面上看来，这样的描述好像并没有问题，因为，确实仅仅通过P(y│x₁,x₂,…,x_m)是求不出P(x₁,x₂,…,x_m│y)的值，所以，有理由认为多输入信道和广播信道完全不同。但是，仔细分析后，便会发现，人们这们做，大有画蛇添足的味道。

因为，实际上，对任意一个n用户（Y₁,Y₂,…,Y_n）的网络通信系统，只要有足够多的收发信息样本，比如，足够长时间地从各用户终端连续记录下了随机变量（Y₁,Y₂,…,Y_n）的同时刻的比特串（y_1i,y_2i,…,y_ni）,i=1,2,…，那么，根据“频率趋于概率”的大数定律，便可以得到n维随机变量（Y₁,Y₂,…,Y_n）的全部概率分布，由此，便可以知道该n维随机变量的所有各种转移概率、所有随机分量的概率分布等等。

换句话说，无论是多输入信道P(y│x₁,x₂,…,x_m)也好，或者是广播信道P(x₁,x₂,…,x_m│y)也好，反正，只要根据各用户端足够多的传输信息比特，那么，联合概率分布P(y,x₁,x₂,…,x_m)就是已经，当然，转移概率P(y│x₁,x₂,…,x_m)和P(x₁,x₂,…,x_m│y)也可同时已知，那么，这时再去区分什么“多输入信道”或“广播信道”还有意义吗？

在多用户情形下，“用转移概率去描述信道”是行不通的，同样，想用一些直线去切割出“信道容量”也更行不通。此时的重点应该是说清楚每个用户的真正通信意图到底是什么，或者说，每个用户的优化目标是什么。否则，如果优化目标都不明确，哪可能有明确的结果呢？

如何才能把每个用户的通信意图，优化目标，说清楚呢？“权重”和“条件互信息”便是最直观的办法。对重要的通信对象，可以将其“权重”提高；对其它用户可以调低权重；对根本不关心的用户，可以将其权重设为0。而“条件互信息”则给出了从所关心的用户群那里，能够获得的信息数量。当然，与《信息论》最核心的仙农信道编码定理一样，本文的博弈论方法也只是给出了网络通信中，各用户达到自己企望值的最大可达目标值，并未给出如何达到这个目标，具体的逼近方法仍然是要由编码和译码专家们去挖掘。

仙农的《信息论》天生就是为1对1的通信系统设计的，不适合于多用户情形。

冯.诺伊曼的《博弈论》天生就是为多人博弈而设计的，1对1博弈仅仅是其特例。

《安全通论》的攻防对抗思想，很偶然地把《信息论》和《博弈论》粘接起来了，于是，便可以用《博弈论》的多用户优势，去弥补《信息论》的多用户缺陷，从而，解决了网络信息论的基本问题：信道容量。这便是本文的奥妙所在。

特别说明：这本该是一篇高影响因子的SCI论文，但是，如今国人已被SCI绑架了，所以，老夫想带头摆脱SCI的束搏，故将此文在这里发表。本文欢迎所有媒体转载。

更新说明：今天是2016年7月25日，此文的阅读量已经达到10380，非常感谢读者们的厚爱。由于一些非常认真的读者提出了一些疑问，所以，我对过去的一些表述（主要是针对仙农的1对1通信）描写得更细了。请见上面红字部分。由此可见，仙农的信息论太漂亮了，使得读者很难摆脱它的框框，始终难以调整到博弈论的思路上来，其实，我自己当初也是在这个问题上反复纠结了好久。幸好博弈论只是用来对付多用户信息论，否则，就更难逃脱仙农的手掌心了。

（六）参考文献

[1]杨义先，钮心忻，安全通论（1）之“经络篇”，见杨义先的科学网实名博客（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-944217.html  ）

[2]杨义先，钮心忻，安全通论（2）：攻防篇之“盲对抗”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-947304.html ）

[3]杨义先，钮心忻，安全通论（3）：攻防篇之“非盲对抗”之“石头剪刀布游戏”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-948089.html ）

[4]杨义先，钮心忻，安全通论（4）：攻防篇之“非盲对抗”之“童趣游戏”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-949155.html ）

[5]杨义先，钮心忻，安全通论（5）：攻防篇之“非盲对抗”收官作及“劝酒令”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-950146.html）

[6]杨义先，钮心忻，安全通论（6）：攻防篇之“多人盲对抗”，见杨义先的科学网实名博客，http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-954445.html

[7]杨义先，钮心忻，安全通论（7）：黑客篇之“战术研究”，见杨义先的科学网实名博客，http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-956051.html

[8]杨义先，钮心忻，安全通论（8）：黑客篇之“战略研究”，见杨义先的科学网实名博客，http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-958609.html

[9]杨义先，钮心忻，安全通论（9）：红客篇，见杨义先的科学网实名博客，http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-960372.html

[10] 杨义先，钮心忻，安全通论（10）：攻防一体的输赢次数极限，见杨义先的科学网实名博客，http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-984644.html

[11]David M.Kreps (著)，高峰（译），魏玉根（校），博弈论基础，北京：中国社会科学出版社，1999年3月。

[12] DrewFudenberg，Jean Tirole(著)，黄涛等译，姚洋校，博弈论，北京：中国人民大学出版社，2016年1月第10次印刷。

[13] Thomas M.Cover， Joy A. Thomas著，信息论基础，机械工业出版社出版，2007年11月，北京。阮吉寿，张华译；沈世镒审校。