安全通论（4）

------攻防篇之“非盲对抗”之“童趣游戏”

杨义先，钮心忻

北京邮电大学信息安全中心

摘要：本文继续利用《安全通论》这个“高大上”工具，来玩两个家喻户晓的童趣游戏：“猜正反面游戏”和“手心手背游戏”。当然，这些成果理所当然地，也成为了《安全通论》攻防篇之“非盲对抗”的重要内容。之所以用游戏方式来表述，只不过是为了增加趣味性，寓庄于谐，让大家体会一下“如何用大炮打蚊子”而已。其实，能打中蚊子的大炮，才是好大炮！

（一）前言

以“网络空间安全”、“经济安全”、“领土安全”为代表的所有安全问题的核心，就是“对抗”！所以，多花一些篇幅，从不同角度，甚至利用古老游戏，来全面深入地研究安全对抗问题，是值得的。

“安全经络”（文献[1]）是《安全通论》的第一块基石。“安全对抗”是《安全通论》的第二块基石。为了打好这第二块基石，我们在文献[2]中，研究了两大安全对抗之一（盲对抗），并给出了黑客（红客）攻击（防守）能力的精确极限；并在文献[3]中，以著名的“石头剪刀布游戏”为对象，研究了另一种安全对抗（非盲对抗），给出了输赢极限和获胜技巧。

与“盲对抗”相比，虽然一般来说，“非盲对抗”不那么血腥，但是，这绝不意味着“非盲对抗”就容易研究，相反，“非盲对抗”的胜败规则等更加千变万化。由于“非盲对抗”的外在表现形式千差万别，所以此文中，我们再利用信道容量法，来研究两个家喻户晓的“非盲对抗”童趣游戏：“猜正反面游戏”和“手心手背游戏”。

（二）“猜正反面游戏”的信道容量法

猜正反面游戏：“庄家”用手把一枚硬币掩在桌上，“玩家”来猜是“正面”还是“反面”。若猜中，则“玩家”赢；若猜错，则“庄家”赢。

这个游戏显然是一种“非盲对抗”。他们到底会谁输，谁赢呢？他们怎样才能赢呢？下面就用看似毫不相关的“信道容量法”，来回答这些问题。

由概率论中的大数定律，频率趋于概率，所以，根据“庄家”和“玩家”的习惯，即，过去的统计规律，就可以分别给出他们的概率分布：

用随机变量X代表“庄家”，当他把“正面”向上时，记为X=0；否则，记为X=1。所以，“庄家”的习惯就可以用X的概率分布来描述，比如，P_r(X=0)=p，P_r(X=1)=1-p。1<p<1。

用随机变量Y代表“玩家”，当他猜“正面”时，记为Y=0；否则，记为Y=1。所以，“玩家”的习惯就可以用Y的概率分布来描述，比如，P_r(Y=0)=q，P_r(Y=1)=1-q。1<q<1。

同样，根据过去“庄家”和“玩家”的记录，可以知道随机变量（X，Y）的联合概率分布，比如，

P_r(X=0,Y=0)=a；

P_r(X=0,Y=1)=b；

P_r(X=1,Y=0)=c；

P_r(X=1,Y=1)=d。

这里各个参数0<p,q,a,b,c,d<1并且还满足如下三个关系式：

a+b+c+d=1；

p=P_r(X=0)=P_r(X=0,Y=0)+ P_r(X=0,Y=1)=a+b；

q=P_r(Y=0)=P_r(X=0,Y=0)+ P_r(X=1,Y=0)=a+c。

考虑信道（X；Y），即，以X为输入，以Y为输出的信道，称之为“庄家信道”。

由于有事件等式：{玩家猜中}={X=0，Y=0}∪{X=1，Y=1}={1比特信息被从“庄家信道”的发送端X成功地传输到了收信端Y}，所以，“玩家”每赢一次，就相当于“庄家信道”成功地传输了1比特信息。由此，再结合仙农信息论的著名“信道编码定理”[4][5]：如果“庄家信道”的容量为C，那么，对于任意传输率k/n≤C，都可以在译码错误概率任意小的情况下，通过某个n比特长的码字，成功地把k个比特传输到收信端。反过来，如果“庄家信道”能够用n长码字，把S个比特无误差地传输到收端，那么，一定有S≤nC。把这段话翻译一下，便有如下定理：

定理1（庄家定理）：设由随机变量（X；Y）组成的“庄家信道”的信道容量为C。那么，1）如果玩家想胜k次，那么，一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/C次游戏中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果玩家在n次游戏中，赢了S次，那么，一定有S≤nC。

由定理1可知，只要求出“庄家信道”的信道容量C，那么，玩家获胜的极限就确定了。下面来求“庄家信道”的转移概率矩阵A=[A(i,j)], i,j=0,1：

A(0,0)= P_r(Y=0│X=0)= P_r(Y=0,X=0)/ P_r(X=0)=a/p;

A(0,1)= P_r(Y=1│X=0)= P_r(Y=1,X=0)/ P_r(X=0)=b/p=1-a/p;

A(1,0)= P_r(Y=0│X=1)= P_r(Y=0,X=1)/ P_r(X=1)=c/(1-p)=(q-a)/(1-p);

A(1,1)= P_r(Y=1│X=1)= P_r(Y=1,X=1)/ P_r(X=1)=d/(1-p)=1-(q-a)/(1-p).

于是，X与Y之间的互信息I（X，Y）等于

I(X,Y)

=∑_x∑_Yp(X,Y)log(p(X,Y)/[p(X)p(Y)])

=alog[a/(pq)]+blog[b/[p(1-q)]]

+clog[c/[(1-p)q]]+dlog[d/[(1-p)(1-q)]]

= alog[a/(pq)]+(p-a)log[(p-a)/[p(1-q)]]

+(q-a)log[(q-a)/[(1-p)q]]+(1+a-p-q)log[(1+a-p-q)/[(1-p)(1-q)]]

所以，“庄家信道”的信道容量C就等于Max[I(X,Y)]（这里的最大值是对所有可能的二元随机变量X来取的），或者，更简单地说，

C=Max[I(X,Y)]_0<a,p<1 (这里的I（X，Y）就是上面的互信息公式，而最大值是对满足条件0<a,p<1的自然数而取的。注意：这时q是当作一个常量来对待的)。可见，“庄家信道”的信道容量C是q的函数，记为C（q）。

设随机变量Z=(X+1)mod2。下面再考虑另一个信道，（Y；Z），它以Y为输入，以Z为输出。称该信道为“玩家信道”。

由于有事件等式：{庄家赢}={Y=0，X=1}∪{Y=1，X=0}={Y=0，Z=0}∪{Y=1，Z=1}={1比特信息被从“玩家信道”的发送端Y成功地传输到了收信端Z}，所以，“庄家”每赢一次，就相当于“玩家信道”成功地传输了1比特信息。由此，再结合仙农信息论的著名“信道编码定理”[4][5]：如果“玩家信道”的容量为D，那么，对于任意传输率k/n≤D，都可以在译码错误概率任意小的情况下，通过某个n比特长的码字，成功地把k个比特传输到收信端。反过来，如果“玩家信道”能够用n长码字，把S个比特无误差地传输到收端，那么，一定有S≤nD。把这段话翻译一下，便有如下定理：

定理2（玩家定理）：设由随机变量（Y；Z）组成的“玩家信道”的信道容量为D。那么，1）如果庄家想胜k次，那么，一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/D次游戏中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果庄家在n次游戏中，赢了S次，那么，一定有S≤nD。

由定理2可知，只要求出“玩家信道”的信道容量D，那么，庄家获胜的极限就确定了。

与上面求“庄家信道”的步骤类似，我们可以求出“玩家信道”的信道容量D=Max[I(Y,Z)]_0<a,q<1 (这里最大值是对满足条件0<a,q<1的自然数而取的，而I（Y，Z）如下面公式所示。注意：这时p是当作一个常量来对待的)。可见，“玩家信道”的信道容量D是p的函数，记为D（p）。

I(Y,Z)

=∑_Y∑_Zp(Y,Z)log(p(Y,Z)/[p(Y)p(Z)])

=alog[a/(pq)]+(p-a)log[(p-a)/[p(1-q)]]

+(q-a)log[(q-a)/[(1-p)q]]+(1+a-p-q)log[(1+a-p-q)/[(1-p)(1-q)]]

结合定理1和定理2，我们便可以对“庄家和玩家的最终输赢情况”以及“玩家和庄家的游戏技巧”，给出一个量化的结果，即，

定理3（实力定理）：在“猜正反面游戏”中，如果“庄家信道”和“玩家信道”的信道容量分别是C(q)和D(p)，那么，

情况1：如果庄家和玩家都是老实人，即，他们在游戏过程中不试图去调整自己的习惯，即，p和q都恒定不变。那么，如果C(q)大于D(p)，则，总体上玩家会赢；如果C(q)小于D(p)，则，总体上庄家赢；如果C(q)=D(p)，则，总体上玩家和庄家持平。

情况2：如果庄家和玩家中的某一方（比如，玩家）是老实人，但是，另一方（比如，庄家）却不老实，他会悄悄调整自己的习惯，即，改变随机变量X的概率分布p，使得“玩家信道”的D(p)变大，并最终大于“庄家信道”的C(q)，那么，庄家将整体上赢得该游戏。反之亦然，即，若只有庄家是老实人，那么，玩家也可以通过调整自己的习惯，即，调整Y的概率分布q，使得“庄家信道”的C(q)变大，并最终大于“玩家信道”的D(p)，那么，玩家将整体上赢得该游戏。

情况3：如果玩家和庄家都不是老实人，他们都在不断地调整自己的习惯，使C(q)和D(p)不断变大，出现“水涨船高”的态势，那么，最终他们将在p=q=0.5的地方，达到动态平衡，此时他们都没有输赢。“猜正反面游戏”出现“握手言和”的局面。

（三）“手心手背游戏”的信道容量法

手心手背游戏：三个小朋友，同时亮出自己的“手心”或“手背”，如果其中某个小朋友的手势与别人的相反（比如，别人都出“手心”，他却出“手背”），那么，他在本次游戏中就赢了。

这个家喻户晓的游戏，显然也是一种“非盲对抗”，只不过相互对抗的是三人而非常见的二人。他们到底会谁输，谁赢呢？他们怎样才能赢呢？下面仍然用“信道容量法”，来回答这些问题。

由概率论中的大数定律，频率趋于概率，所以，根据甲、乙、丙过去习惯的统计规律，就可以分别给出他们的概率分布：

用随机变量X代表甲，当他出“手心”时，记为X=0；出“手背”时，记为X=1。所以，甲的习惯就可以用X的概率分布来描述，比如，P_r(X=0)=p，P_r(X=1)=1-p。1<p<1。

用随机变量Y代表乙，当他出“手心”时，记为Y=0；出“手背”时，记为Y=1。所以，乙的习惯就可以用Y的概率分布来描述，比如，P_r(Y=0)=q，P_r(Y=1)=1-q。1<q<1。

用随机变量Z代表丙，当他出“手心”时，记为Z=0；出“手背”时，记为Z=1。所以，丙的习惯就可以用Z的概率分布来描述，比如，P_r(Z=0)=r，P_r(Z=1)=1-r。1<r<1。

同样，由大数定律的“频率趋于概率”可知，先让甲乙丙三个小朋友玩一段时间后，根据他们的游戏结果情况，就可以知道随机变量（X，Y，Z）的联合概率分布，比如，

P_r(甲手心，乙手心，丙手心)=P_r(X=0，Y=0，Z=0)=a；

P_r(甲手心，乙手心，丙手背)=P_r(X=0，Y=0，Z=1)=b；

P_r(甲手心，乙手背，丙手心)=P_r(X=0，Y=1，Z=0)=c；

P_r(甲手心，乙手背，丙手背)=P_r(X=0，Y=1，Z=1)=d；

P_r(甲手背，乙手心，丙手心)=P_r(X=1，Y=0，Z=0)=e；

P_r(甲手背，乙手心，丙手背)=P_r(X=1，Y=0，Z=1)=f；

P_r(甲手背，乙手背，丙手心)=P_r(X=1，Y=1，Z=0)=g；

P_r(甲手背，乙手背，丙手背)=P_r(X=1，Y=1，Z=1)=h。

这里各个参数0<p,q,r,a,b,c,d,e,f,g,h<1并且还满足如下四个关系式（所以，其实只有7个独立变量）：

a+b+c+d+e+f+g+h=1;

p= P_r(甲手心)= P_r(X=0)=a+b+c+d;

q= P_r(乙手心)= P_r(Y=0)=a+b+e+f;

r= P_r(丙手心)= P_r(Z=0)=a+c+e+g.

设随机变量M=(X+Y+Z)mod2，于是，M的概率分布为：

P_r(M=0)

= P_r(X=0,Y=0,Z=0)+P_r(X=0,Y=1,Z=1)+ P_r(X=1,Y=1,Z=0)+ P_r(X=1,Y=0,Z=1)

=a+d+g+f

P_r(M=1)

= P_r(X=0,Y=0,Z=1)+P_r(X=0,Y=1,Z=0)+ P_r(X=1,Y=0,Z=0)+ P_r(X=1,Y=1,Z=1)

=b+c+e+h

再考虑信道（X，M），即，以X为输入，以M为输出的信道，称之为“甲信道”。

若剔除三个小朋友的手势相同的情况，那么，由于有事件等式：

{甲赢}={甲手心，乙手背，丙手背}∪{甲手背，乙手心，丙手心}={X=0,Y=1,Z=1}∪{X=1,Y=0,Z=0}={X=0,M=0}∪{X=1,M=1}={1比特的信息被成功地在“甲信道”中，从发端(X)传输到收端(M)}。

反过来，在剔除三个小朋友的手势相同的情况后，若{1比特的信息被成功地在“甲信道”中，从发端(X)传输到收端(M)}，那么，就有{X=0,M=0}∪{X=1,M=1}= {X=0,Y=1,Z=1}∪{X=1,Y=0,Z=0}={甲手心，乙手背，丙手背}∪{甲手背，乙手心，丙手心}={甲赢}。所以，甲每赢一次，就相当于“甲信道”成功地把1比特信息，从发端X传输到了收端M。由此，再结合仙农信息论的著名“信道编码定理”[4][5]：如果“甲信道”的容量为E，那么，对于任意传输率k/n≤E，都可以在译码错误概率任意小的情况下，通过某个n比特长的码字，成功地把k个比特传输到收信端。反过来，如果“甲信道”能够用n长码字，把S个比特无误差地传输到收端，那么，一定有S≤nE。把这段话翻译一下，便有如下定理：

定理4：设由随机变量（X；M）组成的“甲信道”的信道容量为E。那么，在剔除平局（即三人的手势相同）的情况下，1）如果甲想赢k次，那么，一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/E次游戏中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果甲在n次游戏中，赢了S次，那么，一定有S≤nE。

为了计算信道（X；M）的信道容量，首先来计算随机变量（X，M）的联合概率分布：

P_r(X=0,M=0)=P_r(X=0,Y=0,Z=0)+ P_r(X=0,Y=1,Z=1)=a+d;

P_r(X=0,M=1)=P_r(X=0,Y=1,Z=0)+ P_r(X=0,Y=0,Z=1)=c+b;

P_r(X=1,M=0)=P_r(X=1,Y=1,Z=0)+ P_r(X=1,Y=0,Z=1)=g+f;

P_r(X=1,M=1)=P_r(X=1,Y=0,Z=0)+ P_r(X=1,Y=1,Z=1)=e+h.

所以，随机变量X和M之间的互信息就等于：

I(X,M)

=(a+d)log[(a+d)/[p(a+d+g+f)]]+(g+f)log[(g+f)/[(1-p)(a+d+g+f)]]

+(c+b)log[(c+b)/[p(b+c+e+h)]]+(e+h)log[(e+h)/[(1-p)(b+c+e+h)]]

=(a+d)log[(a+d)/[p(a+d+g+f)]]+(g+f)log[(g+f)/[(1-p)( a+d+g+f)]]

+(p-a-d)log[(p-a-d)/[p(1-(a+d+f+g))]]

+(1-(p+f+g))log[(1-(p+f+g))/[(1-p)(1-(a+d+f+g))]]

于是，“甲信道”的信道容量就等于E=Max[I(X,M)]，这里的最大值是针对自然数0<a,d,f,g,p<1来取的。这时，q和r已经当作定量，而非变量来处理了，所以，“甲信道”的信道容量其实是q和r的函数，记为E(q,r)。

再考虑信道(Y,M)，即以Y为输入，以M为输出的信道，称之为“乙信道”。由于在“手心手背”游戏中，甲乙丙的地位是相同的，所以，仿照定理4，就有：

定理5：设由随机变量（Y；M）组成的“乙信道”的信道容量为F。那么，在剔除平局（即三人的手势相同）的情况下，1）如果乙想赢k次，那么，一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/F次游戏中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果乙在n次游戏中，赢了S次，那么，一定有S≤nF。

关于信道容量F的值，可以完全仿照E值来计算，不过，“乙信道”的容量其实是p和r的函数，可以记为F(p,r)。

同样，再考虑信道(Z,M)，即以Z为输入，以M为输出的信道，称之为“丙信道”。由于在“手心手背”游戏中，甲乙丙的地位是相同的，所以，仿照定理4，就有：

定理6：设由随机变量（Z；M）组成的“乙信道”的信道容量为G。那么，在剔除平局（即三人的手势相同）的情况下，1）如果丙想赢k次，那么，一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/G次游戏中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果乙在n次游戏中，赢了S次，那么，一定有S≤nG。

关于信道容量G的值，可以完全仿照E值来计算，不过，“丙信道”的容量其实是p和q的函数，可以记为G(p,q)。

结合定理4，5，6，我们便可以对甲乙丙三方，在“手心手背”游戏中的宏观输赢情况进行描述了：

定理7：在“手心手背游戏”中，如果“甲信道”、“乙信道”和“丙信道”的信道容量分别是E、F和G，那么，三方在该游戏中，甲乙丙的最终输赢情况，整体上依赖于E、F和G的大小，谁的信道容量越大，谁就占优势。注意到这三个信道容量不能由任何一方单独调整，除非有某两方合谋，否则，很难通过改变自己的习惯（即，单独改变p,q或r）来改变最终的输赢情况。

（四）结束语

本文的游戏和文献[3]中的“石头剪刀布游戏”，看似千差万别，但是，我们却巧妙地应用了一个几乎相同的方法，给出了出人意料的答案，即，建立某个信道，把攻防某方的“一次胜利”，转化为“1比特信息在该信道中被成功传输”，于是，利用仙农编码定理，攻防双方的对抗问题，就转化为了信道容量的计算问题了。

当然，《安全通论》“信道容量法”的威力，还远不止于此！

特别说明：这本该是一篇高影响因子的SCI论文，但是，如今国人已被SCI绑架了，所以，老夫想带头摆脱SCI的束搏，故将此文在这里发表。本文欢迎所有媒体转载。

参考文献

[1]杨义先，钮心忻，安全通论（1）之“经络篇”，见杨义先的科学网实名博客（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-944217.html  ）

[2]杨义先，钮心忻，安全通论（2）：攻防篇之“盲对抗”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-947304.html）

[3]杨义先，钮心忻，安全通论（3）：攻防篇之“非盲对抗”之“石头剪刀布”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-948089.html ）

[4]Thomas M. Cover， Joy A. Thomas著，信息论基础，机械工业出版社出版，2007年11月，北京。阮吉寿，张华译；沈世镒审校。

[5]Shu Lin，Daniel J. Costello,Jr.著，差错控制码，机械工业出版社，2007年6月，北京。晏坚，何元智，潘亚汉等译。