《安全通论》（5）

------攻防篇之“非盲对抗”及“劝酒令”

杨义先，钮心忻

北京邮电大学信息安全中心

摘要：“非盲对抗”变化多端，很难“一招致胜”，只好“见招拆招”。不过，这倒增添了不少乐趣。你看，酒友们在宴会上玩的“划拳”和“猜拳”等劝酒令，也成了《安全通论》的严肃研究内容。本文仍然采用统一的“信道容量方法”，给出了醉鬼“赢酒杯数”和“罚酒杯数”的理论极限，还给出了醉鬼获胜的调整技巧。当然，这些内容也是《安全通论》不可或缺的组成部分。本文还针对所有“输赢规则线性可分”的“非盲对抗”，给出了统一的解决方案。

（一）前言

以网络空间安全、经济安全、领土安全等为代表的所有安全问题的核心，就是“对抗”！所以，无论花多少篇幅，都必须把它研究透彻，至少是要尽可能透彻。那怕是多次变换角度，甚至利用古老游戏和时髦娱乐项目，来全面深入地研究安全对抗问题，都是值得的。

“安全经络”是《安全通论》的第一块基石，文献[1]已经打好了这块基石。

“安全对抗”是《安全通论》的第二块基石。“安全对抗”分为两大类：盲对抗、非盲对抗。为了打好这第二块基石，我们已经在文献[2]中，统一研究了“盲对抗”，并给出了黑客（红客）攻击（防守）能力的精确极限。针对“非盲对抗”，我们虽然已经找到了统一的研究方法（信道容量法），但是，由于“非盲对抗”的模型千变万化，我们只好“见招拆招”。比如，分别在文献[3]和[4]中，以国际著名的“石头剪刀布游戏”、国内家喻户晓的“猜正反面游戏”和“手心手背游戏”为对象，研究了“非盲对抗”的三个有趣实例，给出了输赢极限和获胜技巧。本文则利用《安全通论》对酒桌上著名的两个实例（划拳、猜拳）进行分析，仍然采用统一的“信道容量方法”，给出了“赢酒杯数”和“罚酒杯数”的理论极限，还给出了醉鬼获胜的调整技巧。当然，这些内容也是《安全通论》不可或缺的组成部分。此外，针对“非盲对抗”的很大一个子类（输赢规则线性可分的情况），我们给出了统一的解决方案。

（二）“猜拳”赢酒

“猜拳”，在北京又称“棒打老虎”，是宴会上，主人和客人闹酒的法宝之一。其游戏规则是：在每个回合中，主人和客人同时独立亮出如下四种手势之一：虫子、公鸡、老虎、棒子。然后，双方共同根据如下“胜负判定规则”来决定该罚谁喝一杯酒：

“虫子”被“公鸡”吃掉；“公鸡”被“老虎”吃掉；“老虎”被“棒子”打死；“棒子”被“虫子”蛀断。

除此之外，主客双方就算平局，互不罚酒。

一个回合结束后，主客双方再进行下一回合的“猜拳”。

将此“猜拳游戏”用数学方式表示出来便是：设主人和客人分别用随机变量X和Y来表示，它们的可能取值有四个：0，1，2，3。具体地说：

当主人（或客人）亮出“虫子”时，记，X=0（或Y=0）；

当主人（或客人）亮出“公鸡”时，记，X=1（或Y=1）；

当主人（或客人）亮出“老虎”时，记，X=2（或Y=2）；

当主人（或客人）亮出“棒子”时，记，X=3（或Y=3）。

如果某回合中，主人亮出的是x（即，X=x，0≤x≤3），而客人亮出的是y（即，Y=y，0≤y≤3），那么，本回合，主人赢（即，罚客人一杯酒）的充分必要条件是：(x-y)mod4=1；客人赢（即，罚主人一杯酒）的充分必要条件是：(y-x)mod4=1；否则，本回合就算“平局”，即主客双方互不罚酒，接着进行下一回合的“斗酒”。

这个“猜拳”游戏显然是一种“非盲对抗”。主人和客人到底谁输，谁赢呢？最多会被罚多少杯酒呢？他们怎样才能让对方多喝，而自己少喝呢？下面就用《安全通论》的“信道容量法”，来回答这些问题。

由概率论中的大数定律，频率趋于概率，所以，根据“主人（X）”和“客人（Y）”的习惯，即，过去他们“斗酒”的统计规律（如果他们是初次见面，那么，不妨让他们以“热身赛”方式，先“斗酒”一阵子，然后，记下他们的习惯就行了），就可以分别给出X和Y的概率分布，以及（X，Y）的联合概率分布：

0<P_r(X=i)=p_i<1，i=0,1,2,3；p₀+p₁+p₂+p₃=1；

0<P_r(Y=i)=q_i<1，i=0,1,2,3；q₀+q₁+q₂+q₃=1；

0<P_r(X=i,Y=j)=t_ij<1，i, j=0,1,2,3；∑_0≤i,j≤3t_ij=1。

p_x=∑_0≤y≤3t_xy，x=0,1,2,3；

q_y∑_0≤x≤3t_xy，y=0,1,2,3。

为了分析“主人”赢酒情况，我们构造一个随机变量Z=(Y+1)mod4。然后，再用随机变量X和Z构成一个信道（X；Z），称它为“猜拳主人信道”，即，该信道以X为输入，以Z为输出。

下面来分析几个事件等式。如果某回合中，主人亮出的是x（即，X=x，0≤x≤3），而客人亮出的是y（即，Y=y，0≤y≤3），那么，

如果本回合“主人”赢，那么，就有(x-y)mod4=1，即，y=(x-1)mod4，于是，z=(y+1)mod4=[(x-1)+1]mod4=xmod4=x，换句话说，此时，“猜拳主人信道”的输出Z始终等于输入X，也就是说：一个“比特”被成功地从输入端X，发送到了输出端Z。

反过来，如果在“猜拳主人信道”中，一个“比特”被成功地从输入端X，发送到了输出端Z；那么，此时就该“输出z始终等于输入x，即，z=x”，也就有：(x-y)mod4=(z-y)mod4=[(y+1)-y]mod4=1mod4=1，于是，根据“猜拳”规则，就该判“主人赢”，即，客人罚酒一杯！

结合上述正反两种情况，我们便有：

引理1：在“猜拳”游戏中，“主人赢一次”就等价于“1个“比特”被成功地从“猜拳主人信道”（X；Z）的输入端，发送到了输出端”。

由引理1，再结合仙农信息论的著名“信道编码定理”[5][6]：如果“猜拳主人信道”的容量为C，那么，对于任意传输率k/n≤C，都可以在译码错误概率任意小的情况下，通过某个n比特长的码字，成功地把k个比特传输到收信端。反过来，如果“猜拳主人信道”能够用n长码字，把S个比特无误差地传输到收端，那么，一定有S≤nC。把这段话翻译一下，便有如下定理：

定理1（猜拳主人赢酒定理）：设由随机变量（X；Z）组成的“猜拳主人信道”的信道容量为C。那么，在剔除掉“平局”的情况后有：1）如果主人想罚客人k杯酒，那么，他一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/C个回合中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果主人在n回合中，赢了S次，即，罚了客人S杯酒，那么，一定有S≤nC。

由该“猜拳主人赢酒定理”可知，只要求出“猜拳主人信道”的信道容量C，那么，主人“赢酒”的“杯数”极限就确定了。下面就来求信道容量C：

首先，（X，Z）的联合概率分布为：

P_r(X=i,Z=j)=P_r(X=i,(Y+1)mod4=j)=P_r(X=i,Y=(j-1)mod4)=t_i(j-1)mod4 ，i,j=0,1,2,3,4

所以，“猜拳主人信道”（X；Z）的信道容量就是：

C=Max[I(X,Z)]=Max{∑_0≤i,j≤3[t_i(j-1)mod4]log[t_i(j-1)mod4]/(p_iq_j)}

这里的最大值Max是针对满足如下条件的实数而取的：0<p_i，t_ij<1, i,j=0,1,2,3; p₀+p₁+p₂+p₃=1；∑_0≤i,j≤3t_ij=1；p_x=∑_0≤y≤3t_xy。所以，这个C实际上是满足条件q₀+q₁+q₂+q₃=1和0<q_i<1,i=0,1,2,3的正实数变量的函数，即，可以记为C(q₀,q₁,q₂,q₃)，其中，q₀+q₁+q₂+q₃=1。

同理，可以分析“客人赢酒”的情况，此处不再复述了。

可见，“主人”赢酒的多少（C(q₀,q₁,q₂,q₃)），其实取决于“客人”的习惯（q₀,q₁,q₂,q₃）。如果主客双方都固守他们的习惯，那么，他们的输赢已经“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方见机行事（即，调整自己的习惯），那么，当他调整到其信道容量大过对方时，他就能够整体上赢；如果“主人”和“客人”双方都在调整自己的习惯，那么，他们最终将达到动态平衡。

（三）“划拳”赢酒

“划拳”比“猜拳”更复杂，它也是宴会上，主人和客人闹酒的另一个法宝。

该游戏是这样的：在每个回合中，主人（A）和客人（B）各自同时独立地，在手上亮出0到5，这六种手势之一；并在嘴上吼出0到10，这11个数之一。也就是说，每个回合中，“主人A”是一个2维随机变量，即，A=（X，Y），其中，0≤X≤5是“主人”手上显示的数，而0≤Y≤10是“主人”嘴上吼出的数。同样，“客人B”也是一个2维随机变量，即，B=（F，G），其中，0≤F≤5是“客人”手上显示的数，而0≤G≤10是“客人”嘴上吼出的数。

如果在某个回合中，“主人”和“客人”的2维数分别是（x,y）和（f,g），那么，“划拳”游戏的罚酒规则是：

如果，x+f=y，那么，“主人”赢，罚“客人”喝一杯酒；

如果，x+f=g，那么，“客人”赢，罚“主人”喝一杯酒；

如果上述两种情况都不出现，那么，就算“平局”，主客双方互不罚酒，接着进行下一回合。仔细一点说：双方嘴上吼的数一样(即，g=y)时，“平局”出现；双方虽然吼的数各不相同，但是，他们“手上显示的数之和”不等于“任何一方嘴上吼的数”时，“平局”也出现。

这个“划拳”游戏显然是一种“非盲对抗”。主人和客人到底会谁输，谁赢呢？最多会被罚多少杯酒呢？他们怎样才能让对方多喝，而自己少喝呢？下面就用《安全通论》的“信道容量法”，来回答这些问题。

由概率论中的大数定律，频率趋于概率，所以，根据“主人（A）”和“客人（B）”的习惯，即，过去他们“斗酒”的统计规律（如果他们是初次见面，那么，不妨让他们以“热身赛”的方式，先“斗酒”一阵子，然后，记下他们的习惯就行了），就可以分别给出A和B及其分量X、Y、F、G的概率分布，以及四个随机变量（X，Y，F，G）的联合概率分布：

“主人”手上显示x的概率：0<P_r(X=x)=p_x<1，0≤x≤5；x₀+x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1；

“客人”手上显示f的概率：0<P_r(F=f)=q_f<1，0≤f≤5；f₀+f₁+f₂+f₃+f₄+f₅=1；

“主人”嘴上吼y的概率：0<P_r(Y=y)=r_y<1，0≤y≤10；∑_0≤y≤10r_y =1；

“客人”嘴上吼g的概率：0<P_r(G=g)=s_g<1，0≤g≤10；∑_0≤g≤10s_g =1；

“主人”手上显示x，嘴上吼y的概率：

0<P_r[A=(x,y)]=P_r(X=x,Y=y)=b_xy<1，0≤y≤10，0≤x≤5，∑_{0≤y≤10,0≤x≤5}b_xy =1；

“客人”手上显示f，嘴上吼g的概率：

0<P_r[B=(f,g)]=P_r(F=f,G=g)=h_fg<1，0≤g≤10，0≤f≤5，∑_{0≤g≤10,0≤f≤5}h_fg =1；

“主人手上显示x，嘴上吼y；同时，客人手上显示f，嘴上吼g”的概率：

0<P_r[A=(x,y),B=(f,g)]=P_r(X=x,Y=y,F=f,G=g)=t_xyfg<1，这里，

0≤y,g≤10，0≤x,f≤5，∑_{0≤y,g≤10,0≤x,f≤5}t_xyfg =1。

为了分析“主人”赢酒情况，我们构造一个2维随机变量

Z=(U,V)=(Xδ(G-Y)，X+F)，

这里的δ函数定义为：δ(0)=0；δ（x）=1，如果x≠0。于是，

P_r[Z=(u,v)]=∑_{x+f=v,xδ(g-y)=u}t_xyfg=:d_uv，这里，0≤v≤10，0≤u≤5。

然后，再用随机变量A和Z构成一个信道（A；Z），称它为“划拳主人信道”，即，该信道以A为输入，以Z为输出。

下面来分析几个事件等式。如果某回合中，主人手上亮出的是x（即，X=x，0≤x≤5），主人嘴上吼的是y（即，Y=y，0≤y≤10）；而客人手上亮出的是f（即，F=f，0≤f≤5），客人嘴上吼的是g（即，G=g，0≤g≤10）。那么，根据“划拳”的评判规则有：

如果本回合“主人”赢，那么，x+f=y同时y≠g。于是，δ(g-y)=1，进一步就有：Z=(u,v)=(xδ(g-y)，x+f)=(x,y)=A，换句话说，此时，“划拳主人信道”的输出Z就始终等于输入A，也就是说：一个“比特”被成功地从输入端A，发送到了输出端Z。

反过来，如果在“划拳主人信道”中，一个“比特”被成功地从输入端A，发送到了输出端Z；那么，此时就该“输出z=(u,v)=(xδ(g-y)，x+f)始终等于输入（x,y）”，也就有：xδ(g-y)=x同时x+f=y，即，y≠g且x+f=y，于是，根据“划拳”规则，就该判“主人赢”，即，客人罚酒一杯！

结合上述正反两种情况，我们便有：

引理2：在“划拳”游戏中，“主人赢一次”就等价于“1个“比特”被成功地从“划拳主人信道”（A；Z）的输入端，发送到了输出端”。

由引理2，再结合仙农信息论的著名“信道编码定理”[5][6]：如果“划拳主人信道”的容量为D，那么，对于任意传输率k/n≤D，都可以在译码错误概率任意小的情况下，通过某个n比特长的码字，成功地把k个比特传输到收信端。反过来，如果“划拳主人信道”能够用n长码字，把S个比特无误差地传输到收端，那么，一定有S≤nD。把这段话翻译一下，便有如下定理：

定理2（划拳主人赢酒定理）：设由随机变量（A；Z）组成的“划拳主人信道”的信道容量为D。那么，在剔除掉“平局”的情况后有：1）如果主人想罚客人k杯酒，那么，他一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/D个回合中，以任意接近1的概率达到目的。反过来，2）如果主人在n回合中，赢了S次，即，罚了客人S杯酒，那么，一定有S≤nD。

由该“划拳主人赢酒定理”可知，只要求出“划拳主人信道”的信道容量D，那么，主人“赢酒”的“杯数”极限就确定了。下面就来求信道容量D：

D=Max[I(A,Z)]

=Max{∑_a,zP_r(a,z)log[P_r(a,z)/[P_r(a)P_r(z)]]}

=Max{∑_x,y,f,gP_r(x,y,xδ(g-y),x+f)log[P_r(x,y,xδ(g-y),x+f)/[P_r(x,y)P_r(xδ(g-y),x+f)]]}

=Max{∑_x,y,f,gt_{x,y,xδ(g-y),x+f}log[t_{x,y,xδ(g-y),x+f}/[b_xyd_xδ(g-y),x+f]]}

这里的最大值是针对满足如下条件的正实数而取的：

0≤y≤10；∑_0≤y≤10r_y=1；

0≤y≤10，0≤x≤5，∑_{0≤y≤10,0≤x≤5}b_xy =1；

0≤g≤10，0≤f≤5，∑_{0≤g≤10,0≤f≤5}h_fg =1。

所以，实际上，“划拳主人信道”的容量D其实是满足如下条件

0≤f≤5；f₀+f₁+f₂+f₃+f₄+f₅=1；0≤g≤10；∑_0≤g≤10s_g =1；

的f_i，g_j的函数，0≤i≤5,0≤j≤10。

同理，可以分析“客人赢酒”的情况，此处不再复述了。

可见，“划拳主人”赢酒的多少（D（g_j,f_i）），其实取决于“客人”的习惯（g_j,f_i）。如果主客双方都固守他们的习惯，那么，他们的输赢已经“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方见机行事（即，调整自己的习惯），那么，当他调整到其信道容量大过对方时，他就能够整体上赢；如果“主人”和“客人”双方都在调整自己的习惯，那么，他们最终将达到动态平衡。

（四）线性可分“非盲对抗”的抽象模型

设黑客（X）共有n招来发动攻击，即，随机变量X的取值共有n个，不妨记为{x₀,x₁,…x_n-1}={0,1,2,…,n-1}，这也是黑客的全部“武器库”。

设红客（Y）共有m招来抵抗攻击，即，随机变量Y的取值共有m个，不妨记为{y₀,y₁,…y_m-1}={0,1,2,…,m-1}，这也是红客的全部“武器库”。

注意：在下面推导中，我们将根据需要在“招x_i，y_j”和“数i,j”之间等价地变换，即，x_i=i，y_j=j，其目的在于，既把问题说清楚，又在形式上简化。

在非盲对抗中，每个黑客武器x_i(j=0,1,…,m-1)和每个红客武器y_j(j=0,1,…,m-1)之间，存在着一个红黑双方公认的输赢规则，于是，一定存在2维数集{（i,j）,0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}的某个子集H，使得“x_i胜y_j”当且仅当(i,j)∈H。如果这个子集H的结构比较简单，那么，我们就能够构造某个信道，使得“黑客赢一次”等价于“1比特信息被成功地从该通信信道的发端传输到了收端”，然后，再利用著名的仙农信道编码定理就行了。比如，

在“石头剪刀布”游戏中，H={(i,j):0≤i,j≤2，(j-i)mod3=2}；

在“猜正反面”游戏中，H={(i,j):0≤i=j≤1}；

在“手心手背”游戏中，H={(i,j,k):0≤i≠j=k≤1}；

在“猜拳”游戏中，H={(i,j):0≤i,j≤3，(i-j)mod4=1}；

在“划拳”游戏中，H={(x,y,f,g):0≤x,f≤5；0≤g≠y≤10；x+f=y}。

我们已经在文献[3,4]和本文中，针对以上各H构造出了相应的通信信道。但是，对一般的H，却很难构造出这样的通信信道，不过，有一种特殊情况还是可以有所作为的，即，如果上面的集合H，可以分解为H={(i,j):i=f(j), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第一个分量j是其第二个分量的某种函数），那么，我们就可以构造一个随机变量Z=f(Y)。然后，考虑信道（X；Z），于是便有如下事件等式：

如果在某个回合中，黑客出击的招是x_i，而红客应对的招是y_j，那么：

如果“黑客赢”，那么，就有i=f(j)，也就是说，所以，此时信道（X；Z）的输出便是Z=f(y_j)=f(j)=i=x_i，即，此时信道的输出与输入相同，即1个比特被成功地从信道（X；Z）的输入端发送到了输出端。

反过来，如果“1个比特被成功地从信道（X；Z）的输入端发送到了输出端”，那么，此时就该有“输入=输出”，即“i=f(j)”，这也就意味着“黑客赢”。

结合上述正反两个方面，我们得到如下定理：

定理3（线性非盲对抗极限定理）：在“非盲对抗”中，设黑客X共有n种攻击法{x₀,x₁,…x_n-1}={0,1,2,…,n-1}；设红客Y共有m种防御法{y₀,y₁,…y_m-1}={0,1,2,…,m-1}，又设红黑双方约定的输赢规则是：“x_i胜y_j”当且仅当(i,j)∈H。这里H是矩形集合{（i,j）,0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}的某个子集。

如果H关于黑客X是线性的，即，H可以表示为H={(i,j):i=f(j), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第一个分量i是其第二个分量j的某种函数f(.)），那么，便可以构造一个信道（X；Z），其中Z=f(Y)，使得：若C是信道（X；Z）的信道容量，

1. 如果黑客想赢k次，那么，他一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/C个回合中，以任意接近1的概率达到目的。

2. 如果黑客在n个回合中，赢了S次，那么，一定有S≤nC。

如果H关于红客Y是线性的，即，H可以表示为H={(i,j):j=g(i), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第二个分量j是其第一个分量i的某种函数g(.)），那么，便可以构造一个信道（Y；G），其中G=g(X)，使得：若D是信道（Y；G）的信道容量，那么有：

1. 如果红客想赢k次，那么，他一定有某种技巧（对应于仙农编码），使得他能够在k/D个回合中，以任意接近1的概率达到目的。

2. 如果红客在n个回合中，赢了S次，那么，一定有S≤nD。

（五）结束语

“石头剪刀布”、“手心手背”、“猜正反面”、“猜拳”和“划拳”等游戏，其实他们的输赢规则集H都是线性可分的，因此，它们全是本文定理3（线性非盲对抗极限定理）的特例而已。至于H为不可分情况，相应的信道构造就无从下手了，这个问题就作为公开问题，留待今后解决吧。

为了加深大家的印象，我们对“盲对抗”和“非盲对抗”，再做一些形象的描述：

所谓“盲对抗”，就是在每个攻防回合后，攻防双方都只知道自己的“自评结果”，而对敌方的“他评结果”一无所知。像大国斗智、战场搏杀、网络攻防、谍报战等比较惨烈的对抗，通常都属于“盲对抗”。这里的“盲”，与是否面对面无关，比如，“两泼妇互相骂街”就是典型的，面对面的“盲对抗”，因为，“攻方”是否骂到了“守方”的痛处，只有“守方”自己才知道，而且，被骂者通常还要极力掩盖其痛处，不让“攻方”知道自己的弱点在哪。当然，“一群泼妇互相乱骂”，更是盲对抗了。

所谓“非盲对抗”，就是在每个攻防回合后，双方都知道本回合的，一致的“胜败结果”。比如，像古老的“石头剪刀布”游戏中，一旦双方的手势亮出后，本回合的胜败结果就一目了然：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头。像许多赌博游戏、体育竞技等项目都属于“非盲对抗”。家喻户晓的童趣游戏“猜正反面游戏”、“手心手背游戏”和本文中的“划拳”和“划拳”等，也都是“非盲对抗”，只不过，在“手心手背游戏”中彼此对抗的人，不再是两个，而是三个。

更加形象地说，“泼妇骂架”是“盲对抗”，但是，“两流氓打架”却是“非盲对抗”了。因为，人的身体结构都相似，被打的痛处在哪，谁都知道，而且结论也基本一致的，所以，“打架”是“非盲的”，当然，“打群架”也是“非盲对抗”。但是，人的心理结构却千差万别，被骂的痛点会完全不同，所以，“骂架”是“盲的”。

《安全通论》的第三篇（黑客篇），努力提示黑客的本质！

特别说明：这本该是一篇高影响因子的SCI论文，但是，如今国人已被SCI绑架了，所以，老夫想带头摆脱SCI的束搏，故将此文在这里发表。本文欢迎所有媒体转载。

致谢：本文中的“划拳”和“猜拳”游戏，由北京CA总经理詹榜华博士提供，特此致谢。

参考文献

[1]杨义先，钮心忻，安全通论（1）之“经络篇”，见杨义先的科学网实名博客（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-944217.html  ）

[2]杨义先，钮心忻，安全通论（2）：攻防篇之“盲对抗”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-947304.html）

[3]杨义先，钮心忻，安全通论（3）：攻防篇之“非盲对抗”之“石头剪刀布游戏”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-948089.html）

[4]杨义先，钮心忻，安全通论（4）：攻防篇之“非盲对抗”之“童趣游戏”，见杨义先的科学网实名博客，（http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-949155.html）

[5]Thomas M. Cover， Joy A. Thomas著，信息论基础，机械工业出版社出版，2007年11月，北京。阮吉寿，张华译；沈世镒审校。

[6]Shu Lin，Daniel J. Costello,Jr.著，差错控制码，机械工业出版社，2007年6月，北京。晏坚，何元智，潘亚汉等译。