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量子纠缠可能并不神秘:用数学解释物理 精选

已有 15454 次阅读 2018-5-21 17:05 |个人分类:爽玩人生|系统分类:科研笔记

 

量子纠缠可能并不神秘:用数学解释物理

杨义先  教授

北京邮电大学信息安全中心主任

公共大数据国家重点实验室主任

 

摘要:在微观物理学中,有许多稀奇古怪的现象,搞得老百姓莫名其妙;其实许多物理学家也只是知其然,却不知其所以然。于是,便有人(甚至是非常牛的科学家)搬出了万能的上帝。下面我们也请出一位真上帝,求它帮我们解释诸如电子能级跃迁、波粒二象性、量子纠缠等微观物理学中最玄幻的三个问题。这位真上帝,名叫数学;它将用几乎同样的一句话,就统一揭示了所有这些玄幻的奥秘。希望下面的歪解能让您脑洞大开,哪怕你拿它当作一段相声。

 

(一)序趣

曾经有位不懂光学,不懂磁学,不懂电学的小伙子,仅用一个数学公式,就把光学、电学、磁学给融为一体了。这个小伙子,就是后来的全能物理学家麦克斯韦;那个数学公式,就是大名鼎鼎的麦克斯韦方程。

曾经还有一位“民科”,利用业余时间,用另一个数学公式,揭示了物理世界中最深奥的物质/能量关系。这位“民科”,就是差点成为以色列总统的爱因斯坦;这个数学公式,就是妇孺皆知的E=mC2

由此可见,对数学这个上帝,千万别怠慢。要时时真心烧香,天天虔诚叩头。若能持之以恒,保准有求必应;比如,杨傻子我吃斋念佛后,在研究《安全通论》[2,3]时,竟也意外“通”到了另一个世界,偶然掏到了一件“古董”。

本来没想公开此“古董”,因为担心它是赝品;但读罢薛定谔的《生命物理学讲义》后,我就豁出去了。既然老薛在创立了量子力学并获诺奖后,都胆敢不顾声誉,竟像“民科”一样,问出一堆石破天惊的外行问题:物理化学定律为啥在生命中失效,生命是什么,生命有灵魂吗等。更神奇的是,薛定谔的这本不着边际的书,竟然指引另一位科学家沃森,获得了诺贝尔生理和医学奖!

虽然杨傻子的声誉一钱不值,我也没奢望用该“古董”诱发别人获什么奖,但是,作为本序趣的结尾,我还是要照抄薛定谔同志在《生命物理学》[1]一书的自序第一句话:“通常人们会认为,科学家作为在自己的研究领域拥有渊博的第一手知识的权威,是不会随便在自己不精通的领域著书立说的,也就是说高声望者肩负重责。然而,为了能够完成这本书,我恳请抹去我身上所有的声望---倘若真的有的话,这样也就可一并抹去与之相随的重任。”

 

(二)微分方程组基础

数学家可以忽略此节;有特殊需求者,可查阅任何一本微分方程组的教材,比如[3]的第6章。此处,我们只用最形象、最简捷的语言,复述对后面最有用的部分精华。

1阶微分方程组dX/dt=F(X,t)中,有一族很特别的类,名叫自治方程组,其中时间t不再以显式出现,因此它形如dX/dt=F(X)。此处X和F都是n维向量。

结论1,任何自治的高阶微分方程,都可以等价地转化为某个高维自治的1阶微分方程组。

在微分方程组dX/dt=F(X)中,满足F(X)=0的点称为奇点。奇点又分为结点(含退化结点和奇结点等)、鞍点、焦点、中心点等,不过,本文感兴趣的点只是如下“高密集点”:结点、稳定的退化结点、稳定的奇结点、焦点和中心点(注意:我们放弃了不稳定的退化结点、不稳定的奇结点、鞍点等)。这是因为有,

结论2,在“高密集点”的任何无穷小的邻域内,都有微分方程组dX/dt=F(X)的无穷多条解轨线汇聚其中。这些解曲线的密集程度之高,甚至可能填满某个测度大于0的区域,以至于能从物理上观测到这些点的密集邻域的存在。

注意:1)这里n维函数列向量X=X(t)是dX/dt=F(X)的解轨线,意味着它满足dX(t)/dt=F(X(t))。2)数学上纯粹的点和线,都是没有直径和宽度的,或者说,其测度是0,你根本看不见;但是,当这些点足够多,填满了某个平面时,你就看得见了,更可用物理设备检测出来了。3)物理中的粒子虽小,但是,在数学家的“点”面前,就像是老鼠眼中的大象;粒子运动的轨线虽细,但是,在微分方程组的解轨线面前,就像是小蚯蚓眼中的大蟒蛇。

结论3,如果F(X)在有限区域内连续且有连续偏导,那么对于任何点X0,微分方程组dX/dt=F(X)都有且只有一条解轨线经过此点。而且,除了奇点之外,任何点X0附近的解轨线都不再密集,更准确地说,如果某条解曲线满足:当t→∞时,X(t)→X0,那么,X0就一定是奇点。

综合结论2和结论3,便可形象地说:除了“高密集点”附近之外,微分方程组dX/dt=F(X)的解轨线都是物理上不可测量的,虽然轨线确实存在,其实至少有一根轨线。

 

(三)微观物理三大怪象

物理学家可以忽略此节;有特殊需求者,可查阅大学物理专业的相关教材。此处,我们也只用最形象、最简捷的语言,复述微观物理中的相关魔幻现象。它们的正确性是毋庸置疑的,因为,全球物理学家们已经无数次地对这些现象进行了验证,并已经给出了也许只有权威物理学家才懂的、个案性的“知其然”解释。

怪象1:电子的能级跃迁,即,电子在围绕原子核旋转时,其轨迹是不连续的,它会突然从一个能级跳跃到另一个能级,不会有中间状态。



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图1:单电子原子的运动模型

 

物理学家们用氢原子模型对怪象1给出了长篇大论的解释。既然杨傻子我看不懂,也就不敢胡乱评论,只截屏了其中最关键的一张照片(见图1)。但是,从该照片中我却注意到(见红色框部分):电子围绕原子核运转时,轨道直径r和轨道夹角θ,φ满足一个自治的2阶微分方程。因此,根据结论1,该2阶微分方程可以转化为某个高维1阶微分方程组,即,r, θ,φ满足某个微分方程组dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)T

 

怪象2:波粒二象性,即,所有的粒子或量子,不仅具有粒子的特性,而且也具有波的特性。物理学家们用定态薛定谔方程来解释了该怪象(见下面的截屏照片图2)。

2.png

图2:波函数所满足的定态薛定谔方程

 

虽然我仍然看不懂物理学家们的解释,但是,有如下两点还是清楚的:

1)粒子在势场中的运动,满足图2中的定态薛定谔方程,从中可以求解出波函数Ψ,所以,粒子就是波,而且还是由Ψ所描述的波。因此,下一小节就不再重复解释了。

2)波函数Ψ满足的方程,是图2中的这个2阶自治微分方程,因此,根据结论1,该2阶微分方程可以转化为某个高维1阶微分方程组dX/dt=F(X),其中X=(x,y,z,…)T,并且x,y,z是包含在波动方程Ψ内的三维位置坐标

 

怪象3:量子纠缠,即,在一定条件下发生过关系的两个粒子,分开以后不管距离多远,它们的关系会一直存在,当你改变一个粒子的状态时,另一个粒子也会响应,而且反应速度是瞬间的。

这可能是物理学中最诡异的现象了,查遍所有资料,我都没有找到简捷合理的解释;反而像是什么神啦、鬼啦、灵异啦、上帝啦、意识本质啦、平行世界啦等超自然的解释,却层出不穷。杨傻子是绝对外行,不敢妄议这些解释。但是,我却注意到:当两个量子x1,x2产生纠缠时,满足如下积分公式

Ψ(x1,x2)=∫exp[ip(x1-x2+x0)/h]dp

其中纠缠形成的波函数Ψ(x1,x2)不能分解成x1和x2的函数的乘积,即,对任何f(x1)和g(x2)都有Ψ(x1,x2)≠f(x1)g(x2)。这里x1=(x11,x12,x13),x2=(x21,x22,x23)表示这两个相互纠缠的粒子x1和x2的位置坐标。

纠缠时的积分方程,显然可以转化为微分方程。其实,很可能在量子理论的专业书籍中,应该是先有微分方程,对它求解后才得到了该积分方程;不过,幸好微分方程和积分方程谁先谁后,对我们下一节的解释都无关紧要,反正这不影响如下事实:纠缠的量子x1和x2将满足某个自治微分方程组dX/dt=F(X)(其中X=(x1,x2,…)=(x11,x12,x13; x21,x22,x23;…))就够了

 

(四)物理怪象的一句话数学解释

基于前面两节的数学和物理知识,现在就来给出微观物理中,上述魔幻现象的数学解释;形象地说,其实我们几乎只用了同样一句咒语,就把所有这些怪兽给打回了原形。原来,在数学家眼里,这些现象都只不过是家常便饭而已,完全没必要大惊小怪。

怪象1的数学解释:电子的能级跃迁,可能是微观物理的任何初学者,首次感到的最不可思议的事情;因为,它与日常生活经验格格不入:不积跬步,竟然也能行至千里!

其实,数学解释可以是这样的:既然电子围绕原子核运转时,轨道直径r和轨道夹角θ,φ满足自治的微分方程组dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)T。于是,在可能的几个奇点(F(X)=0)附近,电子高度密集地经过(虽然轨线互不相交),以至于填满了“高密集点”邻域的某块测度大于0的区域,从而使其成为可被从物理上观测到的“电子云”。除了这些“电子云”之外,电子的轨线(即,上述微分方程组的解曲线)就突然变得相当稀薄了,以至于物理上不可观测。于是,便造成了这样的错觉:电子好像从一块云,跃迁到另一块云,而没经过中间过程。更进一步地,在各个高度密集的奇点附近,解轨线的密度其实也互不相同,所以,电子云的能级也就互不相同了。

如果我的上述解释还不够清楚的话,那么就来听一个故事:你平常很难看见蝗虫的影子,但某天突然发现它们密集地从天而降,吃光了你家的农田;然后,又突然消失,接着又突然出现在邻村。没人看见它们的飞行轨迹,就好像它们在做“电子跃迁”一样,突然从一个村,跳跃到另一个村,没有中间过程。其实,不是没有中间过程,而是中间过程太稀薄,以至于不可观察而已。

 

怪象2的数学解释:波粒二象性也完全打破了老百姓的日常经验,让人很蒙圈:光怎么会像芝麻那样是粒子呢?一颗一颗的粒子,咋又成了波呢?

由于“粒子就是波”的结论,已在上一小节说过了,所以,现在只用数学方法来解释“波就是粒子”:既然波动轨迹满足微分方程组dX/dt=F(X),那么,与怪象1中的解释一样,这些轨迹也将只能高度集中于某些满足F(X)=0的奇点附近,或者说,波的能量也将只能高度集中于这些“高密集点”附近。假若在某点的任意小邻域中,能量已聚焦到足够强的、可被物理检测出来的E>0,那么,根据爱因斯坦方程E=mc2,在该点邻域内,其实就相当于已形成了一个质量为m=Ec-2的粒子了!

综合而言,其实我们给出了一个更普遍的解释:波和粒子可以是一回事。

 

怪现象3的数学解释。为了易于理解,我们首先复述一个纯数学事实:如果Y=(y1,y2,…)是微分方程组dX/dt=F(X)的一条解轨线,即,dY/dt=F(Y);那么,对Y中的任何一个足标被变动后,比如将yi变为ai,那么,即使Y中的其它足标都保持未变,那么Y*=(y1,y2,…,yi-1,ai,yi+1,…)就不再是原来的那条解轨线了;换句话说,原来的那条解轨线就不会再经过Y*点了。如果这条轨线是粒子的运动轨线,那么,你若仍然守在Y*处,就再也看不到那个粒子了;这就像是守株待兔一样。

纯数学事实说清后,回头再说量子纠缠就容易了。因为,既然两个粒子x1=(x11,x12,x13),x2=(x21,x22,x23)相互纠缠意味着满足微分方程组dX/dt=F(X),这里X=(x1,x2,…)=(x11,x12,x13;x21,x22,x23;…),那么,当你变动任何一个粒子时,就相当于变动了解轨线X中的3个足标(比变动一个足标更严重),所以,当你仍然守在原来的位置时,那只“兔子”(这两个粒子纠缠后的共同体)就不见了,于是,另一个粒子也就被改变了。

其实上述解释,不仅仅适用于两个量子的纠缠。无论有多少个量子,比如x1,x2,…,xn,只要它们能够相互纠缠(相应的波函数Ψ(x1,x2,…,xn)不可分解),并满足某个自治的微分方程组dX/dt=F(X),那么,它的解曲线X=(x1,x2,…,xn,…)中的任何一个坐标都不能被变动,否则其它粒子都会跟着动,因为,它们也是作为一个整体满足微分方程组的。

附件:

量子纠缠还有另一个科普性的解释,它虽非本文的主体,但也在此顺便介绍,就算供大家娱乐一下吧。

首先,有这样一个容易理解的事实:虽然不可能在同一个时间,不同地点,逮住同一条狗;但却可以听见这同一条狗的叫声,因为声音是波。当你再试图用鸡声去干扰犬吠时,便可将原来的狗叫声,合成了一曲乡村交响乐。

其次,根据图2可知,当两个粒子x1和x2相互纠缠后,它们就形成了一个由波函数Ψ(x1,x2)所描述的波(相当于那条狗的叫声)。如果你改变任何一个粒子(相当于加点鸡叫声),波函数Ψ(x1,x2)也就被改变(相当于合成了那曲乡村交响乐)。

关于量子纠缠,咱老百姓最蒙圈的可能是:两粒相隔万里的纠缠量子,如果动一动其中一个,另一个也会瞬间变动。其实,这类现象太普遍了!说大一点,在万有引力的作用下,太阳系中的星球就已经形成了一个纠缠体;假若你一脚把太阳踢出了银河系,那么,地球的运行轨迹马上就会跟着变形。说小一点,在爱情力量的作用下,你与情人也已形成了一个纠缠体,假若千里之外的她,1天没消息,你就会睡不着觉;1周没消息,你就会吃不下饭;1年没消息,你就已另寻了新欢。

歪解完毕,信不信由您。谢谢!

 

参考文献

[1]薛定谔,生命物理学讲义,北京联合出版公司出版,2017年4月第1版,北京。

[2]杨义先,钮心忻,安全通论,电子工业出版社,2018年出版,北京。

[3]杨义先,钮心忻,黑客管理学,电子工业出版社。




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