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[学习笔记] H.E. p.59

已有 676 次阅读 2020-9-9 15:12 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

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证明的第六段 (最后一段)。

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When deg G/deg H = p, j in the above equation is 1, that is, const. G(X) = H(X, r)H(X, α·r)...H(X, α^(p-1)·r)  ~~~ (1)

---- 当 deg G/deg H = p 时,上述方程中的 j = 1,即 const. G(X) = H(X, r)H(X, α·r)...H(X, α^(p-1)·r)  ~~~ (1)。

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题外话:长的证明会有点像 “大喘气”,对付的办法是采取 “追剧” 的策略:不要想太多,而是一直看下去,完成后多看几遍才能达成认知。

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Just as the deg H arrangements φa(t'), φb(t'), φc(t'), ... of a, b, c, ... corresponding to roots t' of H(X) = 0 give a presentation of the new group as a subgroup of the old (see above)...

---- 正如 H(X) = 0 的诸根 t' 对应的 (a, b, c, ... 的) deg H 个排列 φa(t'), φb(t'), φc(t'), ... 给出了新群 (作为老群的子群) 的表述,见上文,... 

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评论:清晰起见,辅助的定语放到了括弧内。拆解开来讲,H(X) = 0 的次数是 deg H,于是就有 deg H 个根,记作 t' (用一个记号代表),而每个根对应一个置换,即共有 deg H 个置换,从而有 deg H 个 a, b, c, ... 的排列,每个排列表述为φa(t'), φb(t'), φc(t'), ... 。这 deg H 个排列形成一个群,而且是旧群 (对应于 G(X) = 0 的 deg G 个根) 的一部分,从而是子群。

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... so do the arrangements corresponding to the roots t' of any other factor on the right side of (1) (because these factors are factors of F(X) irreducible over K').

---- (1) 式右端任何其它因式的诸根 t' 对应的排列也是这样 (因为这些因式也是 F(X) 在 K' 之上的不可约因式)。

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评论:(1) 式右端的其它因式,即那些 H(X, α^i·r),可以看作 H(X, r) 的变体。

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By the description of normal subgroups in S40, what is to be shown is that if t1 is any root of H(X, r) and if t' is any root of G(X), then the substitution which carries a = a(t) to a(t'), b to b(t'), c to c(t'), ... carries the arrangement a(t1), b(t1), c(t1), ... to an arrangement of the form a(t1'), b(t1'), c(t1'), ... where t1' is a root of the same factor H(X, α^i·r) of (1) that t' is.  

---- 由 S40 中对正规子群的描述,只须证明:如果 t1 是 H(X, r) 的根,并且如果 t' 是 G(X) 的根,则把 a(t), b(t), c(t), ... 带到 a(t'), b(t'), c(t') 的置换,会把 a(t1), b(t1), c(t1), ...带到 a(t1'), b(t1'), c(t1'), ... 其中 t1' 和 t' 是同一因式 H(X, α^i·r) 的根。

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评论:此句的表述太啰嗦,需要概念化 (待做)。

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To this end, let t1 = ψ(t) be an expression of t1 as a polynomial in t with coefficients in K.

---- 为此,令 t1 = ψ(t),即把 t1 表达为 K 之上的变量为 t 的多项式。

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疑问:为何能够达成这样的表达式? (一个根表达为另一个根的多项式)

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Then H(ψ(X), r) is a polynomial in X with coefficients in K' of which t is a root (by the assumption on t1).

---- 于是 H(ψ(X), r) 是 X 的多项式,系数在 K' 中,而 t 是它的一个根 (由 t1 的假定)。

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评论:联系上一句,可看出做成复合函数的意图在于 “下沉”。

---- “复合” 也可以说成 “嵌套”,更形象一些。

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Therefore (Lemma 1) it is divisible by H(X, r).

---- 因此 (引理1),它可由 H(X, r) 整除。

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评论:H(X, r) 整除 H(ψ(X), r) —— 令人惊叹!

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中途回顾:H(X, r) 本来就有根 t,而上文又假设了 t1 这个根。

---- 两个根的多项式关系 t1 = ψ(t) 及嵌套 H(ψ(X), r) 引起了整除关系。

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用途:看了下一句才明白,整除关系意味着 H(ψ(X), r) = H(X, r)·N(X, r),这是个 r-分解。

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The lemma then implies that H(ψ(X), α^i·r) is divisible by H(X, α^i·r) for all i.

---- 由引理,对于所有的 i, H(ψ(X), α^i·r) 可由 H(X, α^i·r) 整除。  

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评论:在多项式场合,因式分解和整除是一回事。

---- 看到前者,就要想到后者;反之亦然。

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In particular, if t1' is defined to be ψ(t') then t1' and t' are roots of the same factor H(X, α^i·r) of (1).

---- 特别地,如果 t1' 定义成 ψ(t'),则 t1' 和 t' 是(1) 的同一个因式  H(X, α^i·r) 的根。

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Thus it will be suffice to show that the substitution corresponding to t ~> t' carries a(t1) to a(t1'), b(t1) to b(t1'), etc.

---- 只须证明对应于 t ~> t' 的置换 把 a(t1) 带到 a(t1'), 把 b(t1) 带到 b(t1'),等等。

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评论:上一句如何推出了这一句。整除和置换有什么关系 ?

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But this follows immediately from the first corollary of S41, which shows that t ~> t' corresponds to an automorphism of the field K(a, b, c, ...) = K(t) which leaves elements of K fixed;...

---- 但这立即成立,见 S41 的第一个推论,即 置换 t ~> t' 对应于域 K(a, b, c, ...) = K(t) 的自同构 (不影响 K 的元素)。

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评论:暂时看不出 (?)

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... application of this automorphism to ψ(t) = t1 carries it to psi(t') = t1' and therefore carries a(t1), b(t1), c(t1), ... to a(t1'), b(t1'), c(t1'), ..., as was to be shown.

---- 将这一自同构施加到 ψ(t) = t1,就得到 ψ(t') = t1',从而 把 a(t1), b(t1), c(t1), ... 带到 a(t1'), b(t1'), c(t1'), ...,即为所证。

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评论:此段共10句话,疑问较多。

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小结:完成证明的第六段读写。命题2证明完毕。

* * *(共花费 6 个番茄钟,但精神不够集中)。




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