[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

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证明的第五段。

 Therefore G(X) = H(X, α^i·r)Q(X, α^i·r) for i = 1, 2, ..., p.

---- 因此 G(X) = H(X, α^i·r)Q(X, α^i·r)，其中 i = 1, 2, ..., p。

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Multiplication of these p equations gives G(X)^p = h(X)q(X), where q(X) has coefficients in K.

---- 这 p 个式子相乘得到 G(X)^p = h(X)q(X)，其中 q(X) 的系数在 K 中。

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Galois' Lemma 1 can be used to divide this equation p times by G(X) to find 1 = [h(X)/G(X)^j]·[q(X)/G(X)^(p-j)].

---- 由伽罗瓦引理1，此方程可用 G(X) 整除 p 次，得到 1 = [h(X)/G(X)^j]·[q(X)/G(X)^(p-j)]。

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Therefore, h(X) = const. G(X)^j for some integer j, where the constant is a nonzero element of K.

---- 因此 h(X) = 常数·G(X)^j，其中 j 是某个整数，常数是 K 的非零元。

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评论：看不出怎么来的(?) ... 应该是整除引起的... 照此该有 q(X) = 1/常数· G(X)^(p-j)，可是作者没提这一点。

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Comparison of the degrees of the polynomials on the two sides of this equation gives p·deg H = j·deg G.

---- 对照该方程两端多项式的次数，得到 p·deg H = j·deg G。

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评论：此处回顾一下 h(X) 的定义即可理解。

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Since deg G/deg H is the index of the new Galois group as a subgroup of the old, this shows that the index divides p (with quotient j).

---- 由于 deg G/deg H 是新伽罗瓦群作为旧群的子群的指标，上述结果表明该指标整除 p (商为 j)。

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评论：改写一下上一句的式子，得 p = (deg G/ deg H) ·j，括号内的看作整体。

---- 所谓 “整除”，是指作为另一个量的因子或因式。

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Since p is prime, it follows that the index is 1 or p, as was to be shown.

---- 由于 p 是素数，意味着该指标为 1 或 p，有待后文证明。 

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评论：应该顺带说一下，j 为 p 或 1。

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All that remains to be shown is that when the index is p the new group is a normal subgroup of the old.

---- 只须证明当指标是 p 时，新群是旧群的 正规 子群。

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小结：这一段的核心是 p·deg H = j·deg G。此段的方法有待挖掘(?)。

* * *(共花费 4 个番茄钟)。