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把终点的元素带回起点

已有 798 次阅读 2020-8-9 17:22 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题出自内文。]

分析之分析

* * *

        伽罗瓦从 n 次多项式 f(x) 的根 a, b, c, ... 出发,引入 Aa + Bb + Cc + ... 。这个式子 (记作 t ) 对应 n! 个赋值,索性全写出来 { ASa + BSb + CSc + ...} (或者记作 { (R, Sr) } ),然后以这 n! 个值为根构造一多项式 F(X)。

        此过程简记为:f(x)  ~ {a, b,c, ...} ~> { (R, Sr) } ~ F(X)注:一般来说,数学里从 A “变出” B,就要对 B 做个“处理”,(带些东西) 再回到 A。

        此处是对 F(X) 做 “分析” (即拿出 “原子”),取出不可约因式 G(X) 。特别地, t  是它的一个根*。G(X) 的其它根记作 t', t'', t''', ... (它们是 t 中小写字母的排列)。星号注:此处另作细究。

        接着建立 t 和诸根之间的 (多项式) 映射φ: t -> r,或者写成 φ(t) = r 。此处不同的根有不同的φ,准确起见带个下标φr

        于是有:a =φa(t) ,b =φb(t) ,c =φc(t)  ,... 。简单起见φr (·) 可以写成 r (·) 。这样 a, b, c, ... 可以表达为 ——

.

a(t),    b(t),    c(t), ...

依次用 t', t'', ... 替换 t 得到

a(t'),   b(t'),   c(t'), ...

a(t''),  b(t''),  c(t''), ...

...

上述阵列中,小写字母是下标 (省略了φ)。按照前文的阐释,诸行都是第一行的排列,而 t', t'', ... 里 “存储” 着排列的方式。现在要抛开前文的阐释 (不考虑自同构),而是用 “围” 的办法得出结果—— 在理论研究中,“硬性规定”要尽可能地少、并作用于最初的对象,其余的要通过推导来得到。谓之 “最小硬性规定原则” (“least prescribing principle”)。

        现在要 回到 f(x),带着上述阵列 (参见第二段的 “注”)。上文说了,阵列的第一行是 f(x) 的根。将 a(t) 代入 f(x) 则有 f(a(t)) = 0。这就是说,t 是 f(a(X)) 的根。由于 G(X) 不可约,且 t 也是它的根,意味着 G(X) 整除 f(a(X))。于是 G(X) 的其它根 t', t'', ... 也是 f(a(X)) 的根。换句话说,阵列的第一 a(t), a(t'), a(t''), ... 都是 f(x) 的根。

        类似地,将 b(t) 代入 f(x) 则有 f(b(t)) = 0。即 t 是 f(b(X)) 的根,从而 G(X) 整除 f(b(X)),这样 t', t'', ... 也是 f(b(X)) 的根。换句话说,阵列的第二列 b(t), b(t'), b(t''), ... 都是 f(x) 的根。以此类推,阵列的每一列,从而阵列中的诸成员,都是 f(x) 的根。

        上面两段证明:阵列中的每个成员都是 a, b, c, .... 之一。更进一步,每一行都是 a, b, c, ... 的一个排列。为了证明这一点,用 t' 代表任何带撇的 t。假设 t' 所在的行有两个成员相等 d(t') = e(t'),则有 d(t') - e(t') = 0。意味着 t' 是 d(X) - e(X) 的根。则有 G(X) 整除 d(X) - e(X),从而 t 是 d(X) - e(X) 的根,于是 d = d(t) = e(t) = e。总之:d(t') = e(t') ==> d = e。换句话说,第一行以外的任何一行,若有两个成员相等,则第一行就有两个成员相等。由于第一行任何两个成员都不相等,意味着第一行以外的任何一行不会出现两个相等的成员。

        严格来说还须证明:任何两行都是彼此不同的排列。假设 a(t') = a(t''), b(t') = b(t''), c(t') = c(t''), ... 这里 t' 和 t'' 相差一个置换 t'' = St'。这样就有 a(t') = a(St')。再往下走,需要 S 有自同构效应。这样,a(t') = S(a(t')), b(t') = S(b(t')), c(t') = S(c(t')), ... 意味着 S 把 t'-行 的每个元变到它自己。这是不可能的,因为 S 并不是单位置换 ( t' 和 t'' 不相等)。注:关于 S 的自同构效应另做探究。

        证明之前的整个过程可以简记为:f(x)  ~ {a, b,c, ...} ~> { (R, Sr) } ~ F(X) ~> G(X) ~> φ- 阵列。而证明开始于 —— 把终点的元素带回起点。




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