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伽罗瓦群:带壳的木马纵队

已有 836 次阅读 2020-8-11 15:49 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题出自内文。]

木马传说~

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伽罗瓦引入的 Aa + Bb + Cc + ... ( 记作 t ) 可以看成 特洛伊木马。恰好,t 是 Trojan Horse 的首字母。(字母 t 是 Edwards 引入的,但不清楚他是否有前述观点)。

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引入 t,使得 f(x) 的根发生了某种 “下沉” 效应:r = φr(t) —— 根 r 成了 t 的函数。特别地,f(x) 换个写法:f(φr(X)),使得 t 成了根,这比原来的根 r “下沉”了。这似乎暗示了一种 “哲学”:为了把问题 “连根拔起”,就要深入到比根更深的地方

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回到第一段。伽罗瓦造出更多木马 t, t', t'', ... 又给它们加上了 “壳”φr(t), φr(t'), φr(t''), ... 俨然组成一列纵队!现在它们可以进城了:f(φr(X)) ... 嘣 嘣嘣 嘣嘣 嘣嘣嘣 ... 壳裂开了... 变出了伽罗瓦群 ... 哗...

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a()   b()   c() ...

a()   b()   c() ...

 a()   b()   c() ... 

...

伽罗瓦群:带壳的木马纵队 (:= t, := t', := t'', ...)

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命题1Ψt ∈ <==> Ψt = Ψt' = Ψt'' = ...

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此命题考察:依次用φ-阵列 的各行替换 n 元多项式 Ψ(U, V, W, ...) 中的变量之效应。此处 K 也称作 已知量 的集合。

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通俗来讲,多项式也是一种函数,我把它看作 “城堡”(:= Ψ)。现在,带壳木马进城了:(a(b()c(), ...) ,第一队进城;(a(b()c(), ...) ,第二队进城;(a(b()c(), ...) ,第三队进城;等等。

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按照之前的论证,一个“木马” 对应着诸根的一个排列 (此排列就是木马的“编码”),从而对应着一个置换。可以认为,木马是含而不宣的自同构置换。这是一个有意思的地方。

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接着前一段。进城以后的各队简记为,  ,  , ... 。它们呀,只不过是一些函数值:Ψt, Ψt', Ψt'', ... 。命题1说,Ψt 是 “已知量” 当且仅当 这些函数值全都相等。现在解释后半句——

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眼睛盯着 Ψt ,把 t 依次替换为 t', t'', ...上面后半句是说:(在这个过程中) 函数值保持不变。进一步,由于每个 t 相当于 (含而不宣的) 自同构置换,这就意味着:函数值在这些置换下不变。

评论:更准确地说,t, t', t'', ... 是相应的自同构置换的 “表述” (presentation)。顺带,上图的“伽罗瓦群” 也是 “表述” 意义上的群。注:Edwards 的书里强调了后者。

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命题1的证明 (见下文数字指示)

前文的证明里显示出两个技术(H.E. p.52):

---- 一是将函数值*还原为(自变量“下沉”的)函数;(把木马替换为 X)

---- 二是向该函数传输 G(X) 的根。(传输其它木马到该函数)

星号注:此处的函数值是 “木马进城” 后得到的。

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1. 从进城后的各队中任取一队(见上文橙色字体),比如 ,它是函数值 Ψt

2.  Ψ是简记,原形为 Ψ(a(t), b(t), c(t), ...)。

3. 将上述函数值还原为函数: Ψ(a(X), b(X), c(X), ...)。

4. 上述函数是 Ψ(U, V, W, ...) 的 “下沉版”,改记为 Ψ*(X)。

简记:  Ψt ~ Ψ(a(t), b(t), c(t), ...) ~> Ψ(a(X), b(X), c(X), ...) ~ Ψ*(X).

(以上是证明的准备阶段)

5. 若 Ψ在 K 中,则 Ψ*(X) - Ψt 为系数在 K 中的多项式且有根 t。

6. 由引理1,G(X) 整除 Ψ*(X) - Ψt

7. 这意味着 t', t'', ... 都是 Ψ*(X) - Ψ的根。

8. 即 Ψ*(t'), Ψ*(t''), ... 都等于 Ψt

注:此处 Ψ*(t'), Ψ*(t''), ... 就是 Ψt, Ψt', Ψt'', ... 。

(以上是证明的正向部分)

  9. 反之,若 Ψt, Ψt', Ψt'', ... 都相等 (假设有 k 个值)...

10. 则 Ψt = 1/k (Ψt + Ψt' + Ψt'' + ... ) = 1/k (Ψ(t)+ Ψ(t') + Ψ(t'') + ...  )

11. 这是 G(X) 的根的对称多项式,从而可用 G(X) 的系数表示。

12. 由于这些系数在 K 中,从而 Ψt 在 K 中。

(以上是证明的反向部分)

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评论:以上证明的三个部分(准备、正向、反向) 各自都有关键构造,如绿色字体所示。

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另注:命题1 也可以表述为 Ψ(a, b, c, ...) ∈ K  <==> Ψ(a, b, c, ...) = Ψ(Sa, Sb, Sc, ...),其中 S  G。(以上 Edwards 的处理不采用“置换”的概念有高明和方便之处)。




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