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“稍微想一下才会体会到妙处”

已有 555 次阅读 2020-8-6 16:18 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件内容,标题引自内文。]

从另一个角度去看...

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多项式的根 a, b, c, ... 有点象 “散兵游勇”。(假设有三个根 -1, 0, 2。至于把哪一个记作 a, 哪一个记作 b,哪一个记作 c,都不会有什么影响。但是站在 “符号表示” 的角度,写出 a, b, c 这三个符号的时候,已经蕴含了 3! 种可能的赋值。这似乎提示了什么...)。

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引入 Aa + Bb + Cc + ... 意味着 “组织” 和 “武装”。在组织里 a, b, c, ... 的顺序就不能随意了 (赋予了秩序)。可是 a, b, c, ... 的具体赋值方式有 n! 种可能。因此,当写出红色式子时,它实际上表达了 n! 个值。妙处就在这里...

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写出红色式子中 a, b, c, ...全部排列后的结果:

Aa + Bb + Cc + ...

Ab + Bc + Ca + ...

Ac + Ba + Cb + ...

...

上面总共有 n! 个式子。可以想见,在这些式子中不论 a, b, c, ... 赋值的顺序如何,都不会跑出这 n! 个式子给出的值 (稍微想一下才会体会到妙处)。(比如,令 a = -1, b = 0, c =2 这个赋值对应 3! 个式子;若换一种赋值方式,令 a = 0, b =2, c = -1,会得到同样的 3! 个式子)。不同的赋值方式,只影响到上面 n! 个式子的排列顺序。注:伽罗瓦在原文中要求 A, B, C 的选取要使得 n! 个数值互不相等。

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现在简化一下形式。方便起见,可以用内积表示红色式子 (R, r),其中 R =(A, B, C, ...), r = (a, b, c, ...)。设 S 是作用于根的置换,则有 S(R, r) = (R, Sr)。全部的 n! 个式子可以写作 { (R, Sr) },其中 S 是 n! 个置换之一。注意,此处置换只对根发生作用。考虑特殊情况:A = B = C = ... = 1。此时 (R, Sr) 只有一个值:a + b + c + ... 显然无法表征根的 n! 种赋值。

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上述讨论表明,引入结构 Aa + Bb + Cc +... 相当于给诸根赋予了秩序,最终形成一个“大兵团” { (R, Sr) }。下一步,则是建立 “排头兵” (记作 t) 和诸根的公式关系:把每个根都写成 t 的多项式。 具体写一下 (多项式的通项放在花括弧中):

a = { ak·(Aa + Bb + Cc + ...)^k },  b = { bk·(Aa + Bb + Cc + ...)^k }, c = { ck·(Aa + Bb + Cc + ...)^k }, ...

这样写了以后,奇妙的事情发生了:如果把红色式子中的 a, b, c, ... 调整成(只调整前三个字母) c, a, b, ... 就得到

c = { ak·(Ac + Ba + Cb + ...)^k },  a = { bk·(Ac + Ba + Cb + ...)^k }, b = { ck·(Ac + Ba + Cb + ...)^k }, ...

换句话说,第一行诸元素内部的小写字母顺序改变后,得到另一行元素,这些元素仅仅是第一行元素的重新排列,而且排列的顺序与内部的小写字母一致!

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这件事情可以直接验证。上面的置换记作 S,即 S(a) = c, S(b) = a, S(c) = b, S(d) = d, S(e) = e, ... 代入多项式:

S(a) = S{ ak·(Aa + Bb + Cc + ...)^k

        = { ak·(AS(a) + BS(b) + CS(c) + ...)^k

        = { ak·(Ac + Ba + Cb + ...)^k }

        = c

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果然可以验证。这个事情猛一看非常令人惊讶,实际上是由 置换的自同构效应 决定的。此处的置换之所以会有自同构效应,是因为伽罗瓦一开始就是这样使用置换的 (即:使用置换时隐含地赋予自同构效应)。

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但是,这个时候我想起了早先在知乎上看到的那个帖子:在有些例子中,有些根并不符合自同构关系,此时要排除它们。而在写出伽罗瓦群时,是在拿出不可约因式 G(X) 之后。另一方面,Aa + Bb + Cc + ... 这种写法有点 “狡猾”,它并没有说包括全部的根... 明白了!实际上,伽罗瓦在运用自同构置换时已经 (隐含地) 假设选择了符合自同构的根!

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最后的疑问:为什么要取那个不可约因式 G(X)?伽罗瓦群是就G(X) 的那些 t, t', t'', ... 而言的。如果不在一开始假设自同构的话(即对根不做自同构筛选),那就是通过 G(X) 不可约来做了选择/约束 (从后面的证明看应该是的)。或许,事先筛选符合自同构的根与G(X)不可约是一致的 (待考)。




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3 杨正瓴 苏保霞 朱晓刚

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