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“有了根,就得有个多项式!”

已有 832 次阅读 2020-8-5 18:27 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题引自内文。]

对称分析

* * *

Aa + Bb + Cc + .... 忽然意识到这个式子是非对称的 (关于根的位置)!即交换任何两个小写字母的位置,则整个式子的值会发生改变。假如直接把根加起来 a + b + c + .... 由于加法交换律,交换任何两个根的位置,则整个式子的值不会发生改变。换句话说,Galois预解式是使得根关于位置不对称的所有可能的形式中最简单的 唯一的这从很大程度上解释了 ——  “它为什么是它”。

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任何 “种子” 都必须是非对称的,否则就不会有任何运动和变化。而对于 “种子” 要拿出全部的,这个时候就达到了 (饱和) “对称”。

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1.  a, b, c, ... 此时由于没有处于同一结构之中,诸根彼此对称的;

2.  Aa + Bb + Cc + ... 引入最小非对称结构 (构造 “种子”);

3.  {Aa + Bb + Cc + ...} 拿出全部的种子,达成饱和对称;

4.  回到 1,给所有种子赋予“根”的角色 (即 a, b, c, ... 的角色);

5.  有了根,就得有个多项式...由此构造 F(X),它以全部种子为根。

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注:在过程中达到对称时要回到 (二阶) “初始” 状态。

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到达 4 和 5,相当于回到 1 的状态。接着,可能的做法是 2,即引入(二阶) 最小非对称结构。如此类推... 这很有意思,但进入了无限循环...

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6.  取出 F(X) 的不可约因式 G(X),后者的根中要包括第一个种子*。

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注:这一步进入了 “分析”。伽罗瓦曾强烈主张 “analysis of analysis”,或谓之 “二阶分析”。达到 5,相当于回到 (二阶) 初始状态,此时已经把 a, b, c, ... 的秩序信息编码到 “种子”。由此转入分析 —— 有了多项式,就得有个不可约因式。(对于多项式而言,所谓分析即意味着拿出 “原子”,或曰不可约因式)。在数学的演绎中,我强调 滑溜梯式的 推导。

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玩一下四角图:

F(X)       G(X)

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 r               t

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注:右上角意味着 “黑科技”,解决问题的关键技术。

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小结:伽罗瓦预解式是根的最小非对称结构 (或最小非对称编码)。




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