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点群的魅力:正五边形12面魔方

已有 3231 次阅读 2017-8-29 08:30 |个人分类:Rubik's Cube|系统分类:科研笔记|关键词:魔方,12面魔方| 魔方, 12面魔方

点群的魅力:正五边形12面魔方

各种各样的魔方层出不穷,Ih点群魔方是目前最时髦的一类。

                             正五边形12面魔方(围绕五边形心块有1层)

这个魔方的外形,是一个正12面体。这个12面体对称性和C60的足球完全相同,和谢赫特曼正20面体准晶体的对称性也完全相同。

12面魔方有12个心块、20个角块和30个边块。由于力学结构限制,12个心块不能运动,当然可以原地旋转,这个对魔方的状态没有贡献。

每个边块,有30个位置可去,每个位置可以有两种颜色取向。

每个角块,有20个位置可去,每个位置可以有三种颜色取向。

正五边形12面魔方(围绕五边形心块有2层)


还有更多,更大的12面魔方


这是正20面魔方,正20面体和12面体具有完全相同的点群对称性


一般而言,对称性越高,对称元素越多。

Ih点群有120个对称元素,如果你有一个5次轴转动操作,1个3次轴转动操作和1个2次轴转动操作,根据乘法表你就可以构造整个Ih点群,这三个操作元素就是所谓的生成元。

原子坐标:C60 I h点群

准晶体:我们离诺贝尔奖究竟有多远?

三阶魔方只有6个面,可以用东西南北上下来描述,也可以用笛卡儿坐标系来描述。描述三阶魔方的小块,很简单,数组<111>可以描述8个角块,一一对应;数组<110>可以描述12个边块,一一对应;数组<100>可以描述6个心块,一一对应。

对于正五边形12面魔方,共有62小块。

如何求解这62个小块的坐标?

当然有很多办法了。

可以用立体几何求解,也可以根据几何代数学(Geometric Algebra)求解。俺喜欢点群,因此,俺根据点群求解出了12面魔方62个小块在笛卡儿坐标系里的坐标。

这为数学地描述正五边形12面魔方迈出了第一步。

如果用计算机玩(求解)这个12面魔方,需要数学模型,而小块坐标是建立数学模型的第一步。


我如此摆放魔方,是为了套用三阶魔方的操作序列。标注Z的面可称呼为上面(U),蓝色的面可对应前面(F),黄颜色的面对应左(L),橙色面对应右(R),还有8个面需要标注。

从整体看,12面体具有Ih点群对称性,共有120个对称元素。虽然描述这个魔方的转动只需要5次轴转动矩阵,但是了解其整体对称性有利于把它安放在笛卡儿坐标系。

首先,把笛卡儿坐标系的原点安放在12面体外接圆或内切圆的圆心。然后,让Z轴从上面的心块中心(五边形中心)穿出,也就是说,Z轴拿到了5次轴;让Y轴平行于2次轴,即Y轴拿到了2次轴;X轴无可选择,从角块某处穿出,如图所示。

如果定义魔方五边形边长为1个单位,计算结果(计算输出格式)如下:

上面1层有11个小块:

1个心块:0,0,1.114

5个角块:

.688,.5,1.114

.688,-.5,1.114

-.263,.809,1.114

-.263,-.809,1.114

-.851,0,1.114

5个边块:

.688,0,1.114

.213,.655,1.114

.213,-.655,1.114

-.557,.405,1.114

-.557,-.405,1.114


12面魔方62个小块的坐标

12个心块的坐标

0,0,1.114

.996,0,.498

.308,.947,.498

.308,-.947,.498

-.806,.585,.498

-.806,-.585,.498

.806,.585,-.498

.806,-.585,-.498

-.308,.947,-.498

-.308,-.947,-.498

-.996,0,-.498

0,0,-1.114

20个角块的坐标

.688,.5,1.114

.688,-.5,1.114

-.263,.809,1.114

-.263,-.809,1.114

-.851,0,1.114

1.114,.809,.263

1.114,-.809,.263

-.425,1.309,.263

-.425,-1.309,.263

-1.376,0,.263

1.376,0,-.263

.425,1.309,-.263

.425,-1.309,-.263

-1.114,.809,-.263

-1.114,-.809,-.263

.851,0,-1.114

.263,.809,-1.114

.263,-.809,-1.114

-.688,.5,-1.114

-.688,-.5,-1.114

30个边块的坐标

.688,0,1.114

.213,.655,1.114

.213,-.655,1.114

-.557,.405,1.114

-.557,-.405,1.114

.901,.655,.688

.901,-.655,.688

-.344,1.059,.688

-.344,-1.059,.688

-1.114,0,.688

1.245,.405,0

1.245,-.405,0

.769,1.059,0

.769,-1.059,0

0,1.309,0

0,-1.309,0

-.769,1.059,0

-.769,-1.059,0

-1.245,.405,0

-1.245,-.405,0

1.114,0,-.688

.344,1.059,-.688

.344,-1.059,-.688

-.901,.655,-.688

-.901,-.655,-.688

.557,.405,-1.114

.557,-.405,-1.114

-.213,.655,-1.114

-.213,-.655,-1.114

-.688,0,-1.114



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