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力学教学笔记之小鳅翻大浪

已有 3173 次阅读 2016-12-22 21:39 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


破我执

自岳东晓老师刻舟求鱼(配图)以来,科网博客突然增添了一些热闹。一道中学物理题,居然惹出了很多评论乃至博文。关心这件事发展过程的网友,请看刻舟求鱼还是刻舟求爱

关于岳老师的结论(小船终将回到原处),马红孺老师有这么个疑问:对于足够小的$k$,如果 $k  \rightarrow 0$,那么最终的小船位移无论如何都是0;但是,对于$k=0$的情况,小船的位移是$s_0 \neq 0$。也就是说,

$\left[s(k=0)=s_0\right] \neq \left[ s(k\rightarrow 0)=0\right]$

我也觉得这件事很奇怪,所以也凑了一次热闹。当时我以为,这是也因为岳老师假定跳离小船的过程是瞬时的,即完全不需要时间。



但是很不幸,我错了——这道题比我起初想的要怪异得多。令$s_0=\frac{m}{M+m}L_0$为理想情况(无阻力)时候的小船位移,利用刻舟求鱼之蛮力计算 (配图)中的方法,可以得到

$s(T)+s'(\tau)= -\frac{m}{M+m}L_0 e^{-k\tau/(M+m)}$

也就是说,$k$无论是多么小,都会最后都会归零。但是,如果$k=0$,就无论如何不会归零,马老师说的问题仍然存在。

张海涛老师在玩具模型(toy model)里的严肃问题中指出,这是因为积分求极限的顺序出了问题。王虹宇老师指出,这个求极限顺序的问题,其实与函数$(1-\mathrm{e}^{-kt})/k$的奇异性有关,$\infty$是这个函数的本性奇点,所以,不同的$T\rightarrow \infty$ 的无穷路径,可以产生出任意的结果。

他们说的这些道理我都懂,数学推导完全不是问题。可是,我在心理上总是不适应——这么简单的一道题,居然要牵扯到求极限的顺序,还有函数的本性奇点。


我想对模型做些改动,把岳老师这个古怪的结论修正过来。我说岳老师这个结论很古怪,并不是说他错了——只要承认他的假设,一切都是自然而然的。可是他的结论确实与大家的直觉不符合,原因也很清楚,就是他那个初看起来人畜无害的假设:水的阻力正比于小船速度,而不依赖于人是否在小船上。大家也都知道,只要修改这个假设,就可以得到不同的结论。

他的这个假设来自于液体的黏性。我不想引入常数项或者平方项的阻力(太没有挑战性了),而是略微修改一下阻力对速度的依赖关系——修改$k$为常数这个假定,最简单的形式是假设 $k = -\alpha M$,也就是说,$k$依赖于人是否在船上。这样就可以得到,无论人是否在小船上,船的运动方程都是

$\ddot{x}=-\alpha \dot{x}$

这个微分方程很容易求解,按照类似于刻舟求鱼之蛮力计算 (配图)中的方法,可以得到

$s(\alpha)=s(T)+ s'(\tau) = \frac{mV_0}{M\alpha} \left(1-\mathrm{e}^{-\alpha T}\right) \left[1-\frac{M}{M+m} \left(1-\mathrm{e}^{-\alpha \tau}\right)\right]$

其中,$V_0$为人的速度,$T$为滞空时间,$\tau$从落回小船后开始计时。令$s_0=\frac{m}{M+m}L_0$为理想情况(无阻力)时候的小船位移,则

$s(\alpha =0) = s(\alpha  \rightarrow 0)=s_0$

$s(\alpha  \rightarrow \infty)=0$

对于其他的$\alpha$值,$s(\alpha)$介于0$s_0$之间。显然,$s(\alpha)$不再具有奇异性。


接下来做些讨论。

应行仁老师说得对,模型才是真正的问题。数学推导是基本功,只要确定了前提,每个人都可以做到的。我们处理问题、建立物理模型的时候,肯定要做各种假设来突出主要矛盾;确定了模型以后,往往还要用不同的途径去求解,如果几种方法得到的结果都是一致的,那么,我们对模型的信心就会增强。

现在,岳老师的问题给出了让人吃惊的结果,我们在肯定了数学推导无误的时候,就要考虑修正他的前提了。修正前提的方法有很多,我这里给了个简单的例子,不再依赖于求极限的次序,也不用考虑无穷远处的本性奇点。此外,$k$依赖于人是否在小船上,也有非常自然的解释,小船的吃水深度改变了。原来认为,小船质量$M$远大于人的质量$m$,所以,不需要考虑这个变化,现在看起来,其实是应该考虑的。而且,这样考虑以后,不再需要而且$M\gg m$这个隐含的假设,可以算是一个额外的好处了。


科网博客关于这个问题的很多讨论,我认为可以深化自己对解决问题的常用步骤的认识:分析问题、发现主要矛盾、建立物理模型、检验最终结果、与自己的物理图像和(可能的)实验结果进行对比,接着再改进物理模型、开始一个新的循环。

真是没想到,刻舟求鱼这么一条小鱼,居然也能掀起一场大浪。其中的奥秘,除了有少数人既不懂数学、又不懂物理地瞎搅和以外,大部分人其实是借着这个话题来表达自己的看法,正所谓

夺他人之酒杯,浇自己之块垒。




PS:

岳东晓:刻舟求鱼讨论大总结

http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1024834.html



岳东晓:刻舟求鱼之大结局

http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1025122.html





http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1022630.html

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