破我执

自岳东晓老师刻舟求鱼（配图）以来，科网博客突然增添了一些热闹。一道中学物理题，居然惹出了很多评论乃至博文。关心这件事发展过程的网友，请看刻舟求鱼还是刻舟求爱。

关于岳老师的结论（小船终将回到原处），马红孺老师有这么个疑问：对于足够小的$k$，如果 $k  \rightarrow 0$，那么最终的小船位移无论如何都是0；但是，对于$k=0$的情况，小船的位移是$s_0 \neq 0$。也就是说，

$\left[s(k=0)=s_0\right] \neq \left[ s(k\rightarrow 0)=0\right]$

我也觉得这件事很奇怪，所以也凑了一次热闹。当时我以为，这是也因为岳老师假定跳离小船的过程是瞬时的，即完全不需要时间。

但是很不幸，我错了——这道题比我起初想的要怪异得多。令$s_0=\frac{m}{M+m}L_0$为理想情况（无阻力）时候的小船位移，利用刻舟求鱼之蛮力计算 (配图）中的方法，可以得到

$s(T)+s'(\tau)= -\frac{m}{M+m}L_0 e^{-k\tau/(M+m)}$

也就是说，$k$无论是多么小，都会最后都会归零。但是，如果$k=0$，就无论如何不会归零，马老师说的问题仍然存在。

张海涛老师在玩具模型（toy model）里的严肃问题中指出，这是因为积分求极限的顺序出了问题。王虹宇老师指出，这个求极限顺序的问题，其实与函数$(1-\mathrm{e}^{-kt})/k$的奇异性有关，$\infty$是这个函数的本性奇点，所以，不同的$T\rightarrow \infty$ 的无穷路径，可以产生出任意的结果。

他们说的这些道理我都懂，数学推导完全不是问题。可是，我在心理上总是不适应——这么简单的一道题，居然要牵扯到求极限的顺序，还有函数的本性奇点。

我想对模型做些改动，把岳老师这个古怪的结论修正过来。我说岳老师这个结论很古怪，并不是说他错了——只要承认他的假设，一切都是自然而然的。可是他的结论确实与大家的直觉不符合，原因也很清楚，就是他那个初看起来人畜无害的假设：水的阻力正比于小船速度，而不依赖于人是否在小船上。大家也都知道，只要修改这个假设，就可以得到不同的结论。

他的这个假设来自于液体的黏性。我不想引入常数项或者平方项的阻力（太没有挑战性了），而是略微修改一下阻力对速度的依赖关系——修改$k$为常数这个假定，最简单的形式是假设 $k = -\alpha M$，也就是说，$k$依赖于人是否在船上。这样就可以得到，无论人是否在小船上，船的运动方程都是

$\ddot{x}=-\alpha \dot{x}$

这个微分方程很容易求解，按照类似于刻舟求鱼之蛮力计算 (配图）中的方法，可以得到

$s(\alpha)=s(T)+ s'(\tau) = \frac{mV_0}{M\alpha} \left(1-\mathrm{e}^{-\alpha T}\right) \left[1-\frac{M}{M+m} \left(1-\mathrm{e}^{-\alpha \tau}\right)\right]$

其中，$V_0$为人的速度，$T$为滞空时间，$\tau$从落回小船后开始计时。令$s_0=\frac{m}{M+m}L_0$为理想情况（无阻力）时候的小船位移，则

$s(\alpha =0) = s(\alpha  \rightarrow 0)=s_0$

$s(\alpha  \rightarrow \infty)=0$

对于其他的$\alpha$值，$s(\alpha)$介于0和$s_0$之间。显然，$s(\alpha)$不再具有奇异性。

接下来做些讨论。

应行仁老师说得对，模型才是真正的问题。数学推导是基本功，只要确定了前提，每个人都可以做到的。我们处理问题、建立物理模型的时候，肯定要做各种假设来突出主要矛盾；确定了模型以后，往往还要用不同的途径去求解，如果几种方法得到的结果都是一致的，那么，我们对模型的信心就会增强。

现在，岳老师的问题给出了让人吃惊的结果，我们在肯定了数学推导无误的时候，就要考虑修正他的前提了。修正前提的方法有很多，我这里给了个简单的例子，不再依赖于求极限的次序，也不用考虑无穷远处的本性奇点。此外，$k$依赖于人是否在小船上，也有非常自然的解释，小船的吃水深度改变了。原来认为，小船质量$M$远大于人的质量$m$，所以，不需要考虑这个变化，现在看起来，其实是应该考虑的。而且，这样考虑以后，不再需要而且$M\gg m$这个隐含的假设，可以算是一个额外的好处了。

科网博客关于这个问题的很多讨论，我认为可以深化自己对解决问题的常用步骤的认识：分析问题、发现主要矛盾、建立物理模型、检验最终结果、与自己的物理图像和（可能的）实验结果进行对比，接着再改进物理模型、开始一个新的循环。

真是没想到，刻舟求鱼这么一条小鱼，居然也能掀起一场大浪。其中的奥秘，除了有少数人既不懂数学、又不懂物理地瞎搅和以外，大部分人其实是借着这个话题来表达自己的看法，正所谓

夺他人之酒杯，浇自己之块垒。

PS:

岳东晓：刻舟求鱼讨论大总结

http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1024834.html

岳东晓：刻舟求鱼之大结局

http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1025122.html