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力学教学笔记之刻舟求鱼 精选

已有 5691 次阅读 2016-12-20 19:29 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得

恭喜!无恶意,请罢斗。

——冷谦,明教五散人之一


作者原创声明:

本文符合科网原创博文的相关规定。

本文纯属习题讨论,如有巧合,实属雷同。


网文查重委员会证明:

“刻舟求鱼”与成语“刻舟求剑”的重复率只有75%,符合网文查重管理条例(第二版)第38条第250款之网文重复率不得超过95%的规定,特此证明。

另,据网文出版总署之相关调侃龟腚,网文题目不在禁止重复使用之列。


力学教学笔记之刻舟求鱼

姬扬*1

1 科网博客特权俱乐部

* http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1319915


本文讨论了岳东晓提出的“刻舟求鱼”问题[1],用以说明物理模型之建立、求解、验证及改进等过程,同时还示范了网文的正确写法和引用惯例。


力学的重要性毋庸赘言,但我们还是简要地回顾一下历史。自盘古开天辟地以来,力学就是一个高度竞争的科研领域,中国的墨子、鲁班、曹冲,西洋的宙斯、阿基米德,无一不是力学巨擘,东西力学竞争凡几千年,互有胜负。然天行有常,不为尧存,不为纣亡——对不起,书袋掉错了,应该是,东方不亮西方亮,西方有圣人出,西哲伽利略、牛顿出世,中土遂一败涂地、形势不可挽回矣。天不生牛顿,万古如长夜!

“刻舟求剑”乃牛顿前时代的重要发现,几千年来无重大进展,不料在牛顿辞世几三百年后的今天,“刻舟求鱼”出世了。“刻舟求鱼”[1]是一个重要的学术问题,是大学普通物理之力学精确解“刻舟”系列中第二重要的问题,他突破了刻舟求剑的限制,由无生命的剑而入有生命的鱼,是从无机物到生命体的巨大飞跃。


“刻舟求鱼”问题的描述如下[1]。

范蠡助越吞吴、功成身退,携西施泛舟五湖,好不逍遥自在。有一天,西施去找她的姐妹西湖玩,留下陶朱公一人在小船发呆。其时春和景明,波澜不惊,上下天光,一碧万倾,陶朱公范蠡闲得无聊,就在小船上向前跳了一下。这一跳,有分教:推出一道物理题,惹来几个网上人。欲知后事如何,且听下回分解。


上回书说到,陶朱公范蠡闲得无聊,就在小船上向前跳了一下——结果就跳出问题了:在跳跃前后,小船的位置如何变动呢?正所谓,人在船中坐,题从天上来。

解决问题的入手点在于建立适当的模型。岳老师的模型如下。

假定(理想化条件):人是质点$m$;小船是足够长的线段,其质量为$M$;静水对小船的阻力正比于船的速度$v=\dot{x}$;跳离和落回小船为瞬时行为。

描述小船运动状态的微分方程为

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=-k\dot{x}$

很简单的牛顿第二定律,但是要注意:人跳离小船后的$p$ 是 $M\dot{x}$,而人落回小船后的$p$是$(M+m)\dot{x}$。根据这个微分方程,考虑到跳离和落回前后的动量守恒,就可以得到他的结论:小船最后回到了原处。正所谓,不管人动还是船动,结果都是没动。岳老师的博文把道理讲明白了[1],后来文可玲老师也给出了更为详细的数学推导[2]。答案是,重要接受这些假设,小船最后位置不动的这个结论就是正确的。


好了,这么简单的一个问题,就这么解决了。范蠡跳累了,西施回来了,大家也该散伙了。可是没成想,居然掀起了一场讨论的热潮,许多人在博文后点评,好几位还专门写了博客[3]。

为什么呢?主要是因为这个结论有些出乎意外。

简单地考虑两种极限情况:如果没有阻力,那么人和小船这个系统的质心不动,如果人在船上跳了$s$,那么小船应当移动$\frac{m}{M+m}s$;如果阻力无穷大,那么小船就不会动。这个道理很简单,很多人都认识到了这一点,也知道实际情况不外乎在这两个极限之间。出人意料的是,在岳老师的模型里,不管阻力是多大,只要它满足正比于小船速度的条件,小船最后就不会动。

很多人从各个方面指出了小船不会停留在原地,其理由无外乎以下几个方面:

1、阻力不是正比于速度。当然如此,岳老师早就指出,小船不动依赖于阻力为$-k\dot{x}$,否则他的结论肯定不成立的——他说的就是这个特殊情况。

2、比例系数$k$依赖于人是否在船上,理所当然,但是,这也不是岳老师考虑的情况,理由如1。

3、小船返回原地,需要无穷长的时间。确实如此,但也不能否定岳老师的结论。

基本上就这样了——我不知道为什么会搞得这么热闹。如果否定了前提,自然就会否定结论,但那就是另外一个问题了。

其实,这反映了力学学习中的一个重要方面:一个精确的解析结果,对于理解问题是很有帮助的。你改动某个前提,看看结果的偏离,就可以知道这个因素起到什么作用、起了多大影响。模型的作用就在于此。至于说模型与现实是否符合,那就要具体问题具体分析了——但是首先你要保证自己的推导不出问题才行。


本来可以结束了,可是,马红孺老师发现这样一个问题:比例常数$k=0$的情况和$k\rightarrow 0$的极限情况是不一样的[4]。这是个很显然的结论,很可能是因为这一点才让很多人参与讨论这个问题的,但是所有的讨论都没有说为什么会有这种不同。即使马老师也只是说,“力学中有相当多违背直觉的现象,反复琢磨,也就慢慢地能接受和理解了,最终成为直觉的一部分。”我觉得这个问题可以稍微仔细地阐明以下。

在岳老师的模型里,比例常数$k=0$的情况和$k\rightarrow 0$的极限情况是不一样的。为什么呢?原因是这样的。在前面的求解过程中,都是假定了人跳离和落回小船是瞬时作用,小船的速度突然就改变了,然后再以指数形式衰减。只要承认这个前提,在$k\rightarrow 0$的极限情况下,小船最后仍然是不动的。然而,人跳离和落回小船这个动量守恒过程不是瞬时的,它有个特征时间$\tau$,否则,瞬时加速度就变为无穷大,不符合物理。妥善地处理这个特征时间,就会消除两种情况之间的不连续过渡这个问题。

我来随便试试吧。假设人脱离小船的速度和加速度都是定值,分别为$v$和$a$,那么,$\tau \sim v/a$,在此时间里,小船行进了$\frac{m}{M}\frac{v^2}{2a}$;而在人落回小船的过程中,小船行进了$\frac{m}{M+m}\frac{v^2}{2a}$。这里略去了阻力的影响,因为我们在考虑阻力趋于零的极限情况。这样,小船的移动位置就是$\frac{m}{M+m}\frac{mv^2}{2Ma}$。显然,这与前面提到的无阻力小船的位移$\frac{m}{M+m}s$非常相似。调节$a$的大小,就可以在两种极限情况下光滑地过渡了。


好了,就到这里吧。

各方面的意见都已表述清楚。其实大家并没有什么分歧,除非你认为关于前提的分歧是分歧。可是,如果不认同前提的话,那就是另外一个物理模型了,与岳老师讨论的不是一回事,当然就会有鸡同鸭讲的感觉了。

其实吧,刻舟求鱼这条鱼只是条小鱼,翻不起什么大浪的。科学网现在很萧条,编辑们只能是“屈法申恩,吞舟是漏”,也就是说,你这条小船被大鱼吞了都没人管,谁还在乎你刻舟以求的这条小鱼?

写到这里,我抬眼看看窗外,只见大雾弥天,不见东西,无分南北,遑论船啊鱼啊的。我多想跳离这漫天的雾霾,化为一条任公子也钓不上来的大鱼,在浩渺无边的北海中遨游:

北冥有鱼,其名为鲲。鲲之大,不知其几千里也。


[1] 岳东晓:刻舟求鱼 (配图) http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1020583.html

[2] 文克玲:“刻舟求鱼”究竟是怎么回事? http://blog.sciencenet.cn/blog-583426-1021845.html

[3] 说到这里,我也是心潮澎湃,忍不住要拽几句洋文,凸显我高大上的学术规范:See KeXueWangBoKe and references therein. 正在自鸣得意之时,边上传来一声怒吼:说人话!好吧,我就说人话,其实就是请你去看看这几天的相关博文而已。

[4] MA HongRu, private communication. 怎么又不说人话了?就是在博文[1]后面的某个评论而已。

[34]马红孺  2016-12-17 18:01

这个题目确实挺好玩,博主的分析和计算都很清楚,只是有点违背直觉。其实,力学中有相当多违背直觉的现象,反复琢磨,也就慢慢地能接受和理解了,最终成为直觉的一部分。不过呢,这个题目再深挖一下,还有点更好玩的:如果阻力精确为0,船的位置会变;如果阻力是 -kv, 船将回到原位。 但是,如果k趋向于0, 结果船还是回到原位。阻力趋于0的极限与阻力为0的结果不同!




http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1022055.html

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