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新讨论贴:关于“刻舟求鱼之蛮力计算 (配图)”

已有 2956 次阅读 2016-12-21 19:00 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


 

抱歉,上个帖子崩溃了。


讨论完后,就会删除,所有内容和有效评论将作为附录放到博文“力学教学笔记之刻舟求鱼”里


开贴的主要原因是,评论中无法正确地输入公式


马老师的疑问是:


对于足够小的$k$,如果 $k  \rightarrow 0$,那么最终的小船位移无论如何都是0;但是,对于$k=0$的情况,小船的位移是$s_0 \neq 0$。


也就是说, $\left[s(k=0)=s_0\right] \neq \left[ s(k\rightarrow 0)=0\right]$


这就是奇怪的地方,我觉得原因在于:岳老师假定跳离小船的过程是瞬时的,即完全不需要时间。





刻舟求鱼之蛮力计算 (配图)

http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1020912.html





在这个计算中,最后隐含地用到了$s'(\tau)=\frac{m}{k}v_0( 1-e^{-kT/M})( 1-e^{-k\tau/(M+m)})$


岳老师只是用到了$s'(\infty)$,但是,如果要考虑$k\rightarrow 0$的极限,就要用到这个完整的公式,


这样,$s(T)+s'(\tau)$不是严格地等于零,而是$s(T)+s'(\tau)= - \frac{m}{k}v_0( 1-e^{-kT/M})e^{-k\tau/(M+m)}$


这样一来,如果考虑$\tau \rightarrow \infty$,$k\rightarrow 0$ 而且 $k \tau \rightarrow 0$


那么,$s(T)+s'(\tau)= -\frac{m}{k}v_0(1-e^{-kT/M})= -\frac{m}{k}v_0\frac{kT}{M}=-\frac{m}{M}v_0T=-\frac{m}{M+m}L_0 $


因为,$L_0=(v_0+\frac{m}{M}v_0)T$


所以,$v_0T=\frac{M}{M+m}L_0 $


那么,$s(T)+s'(\tau)= -\frac{m}{M+m}L_0 $


更一般地,$s(T)+s'(\tau)= -\frac{m}{M+m}L_0 e^{-k\tau/(M+m)}$


嗯,这道题比我想象的还要怪异


也就是说,$k$无论是多么小,都会最后都会归零


但是,如果$k=0$,就无论如何不会归零


马老师说的问题仍然存在



取$s_0= -\frac{m}{M+m}L_0$,这是理想情况(完全没有阻力)的小船位移。


总结一下,对于$k\rightarrow 0$,必然有


$s(T)+s'(\tau)=s_0 e^{-k\tau/(M+m)}$


因为$T$是有限值


在这种情况下,考虑$\tau \rightarrow \infty$,


有两种情况,如果$k \tau \rightarrow 0$,则


$s(T)+s'(\tau)= s_0$


如果$k \tau \rightarrow  \infty$,则


$s(T)+s'(\tau)= 0$


所以说,马老师的疑问仍然没有解决




马老师的疑问是:


对于足够小的$k$,如果 $k  \rightarrow 0$,那么最终的小船位移无论如何都是0;但是,对于$k=0$的情况,小船的位移是$s_0 \neq 0$。


也就是说, $\left[s(k=0)=s_0\right] \neq \left[ s(k\rightarrow 0)=0\right]$


这就是奇怪的地方,我觉得原因在于:岳老师假定跳离小船的过程是瞬时的,即完全不需要时间。


好像也不对,即使考虑非瞬时作用,应该也达不到$s_0$的程度——太怪异了。



他认为是瞬时作用也没有关系。只要人船不分离,人的重心变动就会导致船的重心移动,这是大家都认可的。但是从人脱离船的瞬时开始计时,到人再次接触小船为止,这段时间小船向前走的路程,最终都将因为水的哪怕一点点阻力而彻底返回来。确实很奇怪。


而且,这件事跟$k$本身是个常数没有太大关系。假定$k$依赖于小船的质量,即,人在船上时,阻力为$k_0(M+m)\dot{x}$,人不在船上时,阻力为$k_0 M \dot{x}$ 。好像也不会改变这个结果,太奇怪了。








http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1022283.html

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