岳东晓博主的《刻舟求鱼》问题引起了很多讨论，让我最感兴趣的是马红孺老师的一个评论：

[34]马红孺  2016-12-17 18:01这个题目确实挺好玩，博主的分析和计算都很清楚，只是有点违背直觉。其实，力学中有相当多违背直觉的现象，反复琢磨，也就慢慢地能接受和理解了，最终成为直觉的一部分。 不过呢，这个题目再深挖一下，还有点更好玩的：如果阻力精确为0，船的位置会变；如果阻力是 -kv, 船将回到原位。 但是，如果k趋向于0， 结果船还是回到原位。阻力趋于0的极限与阻力为0的结果不同！

马老师指出“阻力趋于0的极限与阻力为0的结果不同”。虽然我们可以把这个问题当做一个toy model，不执著于阻力公式的准确性，但这种不连续性还是让我心中忐忑不安。姬扬老师的《力学教学笔记之刻舟求鱼》在回顾这场讨论的同时，也探讨了这个不连续性的问题。他认为这是由于“假定了人跳离和落回小船是瞬时作用”造成的。遗憾的是，这个解释是不通的。岳博主推导出了如下的一个广义守恒量：

Δp(人+船)=-kΔx(船)

亦即：

Δp+kΔx=0

Δ(p+kx)=0

p+kx = 常数

正是这个关系让这个模型有意思。它由牛顿定律直接推出，假设是对人和船作用的唯一外力是水和船之间的阻力f=-kv(船)。这个关系不依靠于加减速的过程，即不依赖于“假定了人跳离和落回小船是瞬时作用”。在k $\neq$ 0时，我们可由Δp=0直接推出Δx=0；但k=0时，这个关系变得平凡，只能告诉我们Δp=0，不能告诉我们Δx是什么。

那么应该怎么看马老师提出的问题呢？文克玲老师在《“刻舟求鱼”究竟是怎么回事》中有关讨论里的直觉是对的，不过可能要多看几遍才能明白，这里我扩展开来讨论一下。我们考虑船的位置x和时间t及摩擦系数k的关系x(k, t)，马老师的问题隐含了两个取极限的问题：t $\rightarrow \infty$ 和k $\rightarrow$ 0。我们知道，不是在所有的情况下都可以改变取极限的次序的。马老师看到的问题正是由于取极限的次序不同造成的，“阻力趋于0的极限”对应于 $\lim_{k\rightarrow 0}\lim_{t\rightarrow \infty }x(k,t)" style="color:#444444;font-family:arial, helvetica, sans-serif;$ ，而“阻力为0的结果”对应于 $\lim_{t\rightarrow \infty }\lim_{k\rightarrow 0}x(k,t)" style="color:#444444;font-family:arial, helvetica, sans-serif;$ 。这两者的不同表明x(k, t)在t无穷处有奇点（不连续）。但是情况并不是那么糟，因为对于任意有限的t，我们可以证明 $\lim_{k\rightarrow 0}x(k,t)=x(0,t)" style="color:#444444;font-family:arial, helvetica, sans-serif;$ ，即x(k, t)是一个正常的连续函数。对于有限的t，当k趋于0时，人+船的质心最多移动O(k)，即只要k足够小，人+船的质心位移趋于0，而船的位移趋于x(0,t)。^*



是的，这个模型有一个奇异性，但不是让我们睡不着觉的那种！

*让我们把这个定性分析讲得再仔细一点：x(0, t)可以通过人+船的质心位移为零（因为没有阻力）来获得。如果人的位移为s(t)， $x(0,t)=-\frac{m}{M}s(t)$ 。k≠0时，人+船的质心位移不为零，但是我们可以估算其上限。假设船的最大速度为v_max，阻力≤kv_max，Δp≤kv_maxt，质心速度 $\leqslant \frac{kv_{max}t}{m+M}$ ，质心位移 $\leqslant \frac{kv_{max}t^2}{m+M}$ ，因此

$\left | x(k,t)-x(0,t) \right |\leq \frac{kv_{max}t^2}{M}$

这让我们确认对任意有限的t， $\lim_{k\rightarrow 0}x(k,t)=x(0,t)" style="color:#444444;font-family:arial, helvetica, sans-serif;$ 。我们没有使用《蛮力计算》™，所以我们的结论不依赖于人的具体轨迹，有普遍意义。

后话：马老师功力深厚，找到了这个问题的参考文章：D. Tilley Am. J. Phys.,35,546(1967)，谢力博主并在博文中给出原文链接，文章的结论和这里的讨论是一致的，喜欢英语的读者可以对照一下。由于这篇文献没有本文的前因牵扯，解释更加直接了当。本文着墨解释了一下解在有限时间的连续性，是英文文章未涉及的，但我们当然也可以认为这不过是物理系统的必然而已， 我们这里的无用功不过是证明了我们对物理定律的使用没有前后矛盾。