[资料，科普，数学] 素数（97）：ZFC 的 Wolfram MathWorld 版本

ZF： Zermelo–Fraenkel set theory，"the axiom of choice" is deleted

ZFC： Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice

   ZF 系统：策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）集合论系统。

   ZFC 系统：ZF，加上“选择公理”。

   网传：ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。

   但是，公理集合论无法被证明是一致的，人们只是在事实上迄今为止未在其中发现悖论（矛盾）；并且，其中的选择公理的地位一直为人所质疑。虽然数学仍未建立在严格的基础之上，但20世纪30、40年代后，大部分数学家已不再关心数学基础的问题。

   下面是 ZF (ZFC) 的 Wolfram MathWorld 版本：

一、ZFC 的 9条公理，Wolfram MathWorld

1. 外延公理 Axiom of Extensionality

   If X and Y have the same elements, then X=Y.

2. 配对公理 Axiom of the Unordered Pair

   For any a and b there exists a set {a,b} that contains exactly a and b. (also called Axiom of Pairing)

3. 子集公理 Axiom of Subsets

   If φ‌ is a property (with parameter p), then for any X and p there exists a set Y={u ∈ X:φ‌(u,p)} that contains all those u ∈ X that have the property φ‌. (also called Axiom of Separation or Axiom of Comprehension)

4. 并集公理 Axiom of the Sum Set

   For any X there exists a set Y = ⋃X, the union of all elements of X. (also called Axiom of Union)

5. 幂集公理 Axiom of the Power Set

 For any X there exists a set Y = P(X), the set of all subsets of X.

6. 无穷公理 Axiom of Infinity

   There exists an infinite set.

7. 替代公理 Axiom of Replacement

   If F is a function, then for any X there exists a set Y = F[X] = {F(x):x ∈ X}.

8. 正则公理 Axiom of Foundation

   Every nonempty set has an ∈-minimal element. (also called Axiom of Regularity)

9. 选择公理 Axiom of Choice

   Every family of nonempty sets has a choice function.

   The system of axioms 1-8 is called Zermelo-Fraenkel set theory, denoted "ZF." The system of axioms 1-8 minus the axiom of replacement (i.e., axioms 1-6 plus 8) is called Zermelo set theory, denoted "Z." The set of axioms 1-9 with the axiom of choice is usually denoted "ZFC."

   公理 1~8 的系统称为 Zermelo-Fraenkel 集合论，表示为“ZF”。

   公理 1~8 减去替换公理的系统（即公理1~6+8）称为 Zermelo 梅洛集合论，称为“Z”。

   带有选择公理的公理 1~9 的集合通常表示为“ZFC”。

二、ZFC 的“Wolfram MathWorld”版本，英文全文的图片

参考资料：

[1] 2022-07-13，策梅洛-弗兰克尔集合论/Zermelo-Fraenkel set theory/杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=1GmKrx&Type=bkzyb

[2] 2023-08-22，数学基础/foundations of mathematics/何浩平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=CI9Wg&Type=bkzyb

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-06-16 19:54，[打听，科普，数学] 素数（96）：ZFC 的的苏联《数学百科全书》版本

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1539649.html

[2] 2026-06-15 20:49，[资料，科普，数学] 素数（95）：ZFC 的欧洲数学会版本 European Mathematical Society

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1539502.html

[3] 2026-06-14 23:01，[打听，科普，数学] 素数（94）：ZFC 的标准版本是什么 Zermelo-Fraenkel axioms？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1539350.html

[4] 2026-06-13 19:40，[图片，科普，数学] 素数（93）：2018年 Bristol大学“黎曼假设”研讨会的 21个研讨问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1539215.html

[5] 2026-06-12 00:12，[小结，科普，数学]“素数、黎曼假设”博文 100篇

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538971.html

[6] 2026-06-11 16:52，[图片，科普，数学] 素数（92）：Nick Katz (普林斯顿大学)，2018，黎曼假设与素数的展望

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538925.html

[7] 2026-06-10 15:59，[图片，科普，数学] 素数（91）：黎曼 1859年论文，英文打字版

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538760.html

[8] 2026-06-09 20:03，[图片，科普，数学] 素数（90）：黎曼 1859年论文，德文打字版

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538623.html

[9] 2026-06-08 15:46，[图片，科普，数学] 素数（89）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538407.html

[10] 2026-06-07 16:59，[图片，科普，数学] 素数（88）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538257.html

[11] 2026-06-06 17:12，[图片，科普，数学] 素数（87）：黎曼在意大利的墓碑 Grave of Bernhard Riemann

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538148.html

[12] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537749.html

[13] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537747.html

[14] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537745.html

[15] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[16] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[17] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[18] 2010-08-27 09:23，11年前的记忆：人脑复杂性的估计及其哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-356704.html

[19] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1490497.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！

支持单位：