[资料，科普，数学] 素数（95）：ZFC 的欧洲数学会版本 European Mathematical Society

ZF： Zermelo–Fraenkel set theory，"the axiom of choice" is deleted

ZFC： Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice

欧洲数学会： European Mathematical Society

图1  策梅洛 Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-07-27 ~ 1953-05-21, 82

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图2  弗兰克尔 Adolf Abraham Halevi Fraenkel, 1891-02-17 ~ 1965-10-15, 74

http://shuxueji.com/media/img/82831/Adolf_Abraham_Halevi_Fraenkel.jpg

   ZF 系统：策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）集合论系统。

   ZFC 系统：ZF，加上“选择公理”。

   网传：ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。

   但是，公理集合论无法被证明是一致的，人们只是在事实上迄今为止未在其中发现悖论（矛盾）；并且，其中的选择公理的地位一直为人所质疑。虽然数学仍未建立在严格的基础之上，但20世纪30、40年代后，大部分数学家已不再关心数学基础的问题。

   下面是ZF (ZFC) 的“欧洲数学会版本 European Mathematical Society”版本：

  一、ZFC 的 10条公理，欧洲数学会 European Mathematical Society

   A1) Axiom of extensionality

   A2) Axiom of the empty set

   A3) Axiom of pairs

   A4) Axiom of union

   A5) Axiom of power set

   A6) Axiom of infinity

   A7) Axiom of choice

   A8) Axiom (schema) of separation

   A9) Axiom (schema) of replacement

   A10) Axiom of foundation

   ZFC, again, is the standard system of axioms for set theory, given by the axioms A1)–A10) above. "Z" is the common acronym for Zermelo set theory, the axioms above but with A9), the axiom (schema) of replacement, deleted. Finally, "ZF" is the common acronym for Zermelo–Fraenkel set theory, the axioms above but with A7), the axiom of choice, deleted.

   【机器翻译】ZFC是集合论的标准公理系统，由上述公理A1）-A10）给出。“Z”是Zermelo集合论的常用缩写，上面的公理（但带有A9），替换公理（模式），已删除。最后，“ZF”是Zermelo-Fraenkel集合论的常用缩写，上面的公理，但选择公理A7）被删除了。

二、ZFC 的“欧洲数学会”版本，英文全文

参考资料：

[1] 2022-07-13，策梅洛-弗兰克尔集合论/Zermelo-Fraenkel set theory/杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=1GmKrx&Type=bkzyb  

[2] 2023-08-22，数学基础/foundations of mathematics/何浩平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=CI9Wg&Type=bkzyb  

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[1] 2026-06-14 23:01，[打听，科普，数学] 素数（94）：ZFC 的标准版本是什么 Zermelo-Fraenkel axioms？

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[2] 2026-06-13 19:40，[图片，科普，数学] 素数（93）：2018年 Bristol大学“黎曼假设”研讨会的 21个研讨问题

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[3] 2026-06-12 00:12，[小结，科普，数学]“素数、黎曼假设”博文 100篇

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[4] 2026-06-11 16:52，[图片，科普，数学] 素数（92）：Nick Katz (普林斯顿大学)，2018，黎曼假设与素数的展望

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[5] 2026-06-10 15:59，[图片，科普，数学] 素数（91）：黎曼 1859年论文，英文打字版

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[6] 2026-06-09 20:03，[图片，科普，数学] 素数（90）：黎曼 1859年论文，德文打字版

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[7] 2026-06-08 15:46，[图片，科普，数学] 素数（89）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （2）

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[8] 2026-06-07 16:59，[图片，科普，数学] 素数（88）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （1）

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[9] 2026-06-06 17:12，[图片，科普，数学] 素数（87）：黎曼在意大利的墓碑 Grave of Bernhard Riemann

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[10] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[11] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[12] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[13] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

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