[打听，科普，数学] 素数（94）：ZFC 的标准版本是什么 Zermelo-Fraenkel axioms？

ZF： Zermelo-Fraenkel axioms, Zermelo–Fraenkel set theory

ZFC： Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice

   ZF系统：策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）系统。

   ZFC 系统：ZF，加上“选择公理”。

   网传：ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。

   但是，公理集合论无法被证明是一致的，人们只是在事实上迄今为止未在其中发现悖论（矛盾）；并且，其中的选择公理的地位一直为人所质疑。虽然数学仍未建立在严格的基础之上，但20世纪30、40年代后，大部分数学家已不再关心数学基础的问题。

一、一种 ZFC

① 外延公理 Axiom of Extensionality

   If X and Y have the same elements, then X=Y.

② 配对公理 Axiom of the Unordered Pair

   For any a and b there exists a set {a,b} that contains exactly a and b. (also called Axiom of Pairing) .

③ 子集公理 Axiom of Subsets

   If φ‌ is a property (with parameter p), then for any X and p there exists a set Y={u ∈ X:φ‌(u,p)} that contains all those u ∈ X that have the property φ. (also called Axiom of Separation or Axiom of Comprehension) 

④ 并集公理 Axiom of the Sum Set

   For any X there exists a set Y = ⋃ X, the union of all elements of X. (also called Axiom of Union) 

⑤ 幂集公理 Axiom of the Power Set

   一个集合的所有子集构成一个集合。

   For any X there exists a set Y=P(X), the set of all subsets of X. 

⑥ 无穷公理 Axiom of Infinity

   There exists an infinite set. 

⑦ 替代公理 Axiom of Replacement

   If F is a function, then for any X there exists a set Y=F[X]={F(x):x in X}. 

⑧ 正则公理 Axiom of Foundation

   Every nonempty set has an ∈-minimal element. (also called Axiom of Regularity) 

⑨ 选择公理 Axiom of Choice

   Every family of nonempty sets has a choice function. 

   前 8条公理称为策梅洛-弗兰克尔系统（Zermelo-Fraenkel set theory, ZF）。

   如果 ZF 加上选择公理（Axiom of Choice:），则称为 ZFC。

二、大英百科全书版本 Britannica

https://cdn.britannica.com/46/78246-004-10DAA5A8/Zermelo-Fraenkel-axioms.jpg  

三、打听：当前世界公认的 ZF(ZFC)标准版本，是什么？

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[1] 2026-06-13 19:40，[图片，科普，数学] 素数（93）：2018年 Bristol大学“黎曼假设”研讨会的 21个研讨问题

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[2] 2026-06-12 00:12，[小结，科普，数学]“素数、黎曼假设”博文 100篇

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[3] 2026-06-11 16:52，[图片，科普，数学] 素数（92）：Nick Katz (普林斯顿大学)，2018，黎曼假设与素数的展望

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[4] 2026-06-10 15:59，[图片，科普，数学] 素数（91）：黎曼 1859年论文，英文打字版

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[5] 2026-06-09 20:03，[图片，科普，数学] 素数（90）：黎曼 1859年论文，德文打字版

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[6] 2026-06-08 15:46，[图片，科普，数学] 素数（89）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （2）

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[7] 2026-06-07 16:59，[图片，科普，数学] 素数（88）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （1）

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[8] 2026-06-06 17:12，[图片，科普，数学] 素数（87）：黎曼在意大利的墓碑 Grave of Bernhard Riemann

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[9] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537749.html

[10] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537747.html

[11] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[12] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

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[13] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

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