Zmn-0972 李鸿仪: 为了不认错，只好混淆概念、否定事实，这是学术讨论吗？评薛问天的Zmn0971

【编者按。下面是李鴻仪先生的文章，是对薛问天先生《Zmn-0971》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

为了不认错，只好混淆概念、否定事实，这是学术讨论吗？评薛问天的Zmn0971

李鸿仪   leehyb@139.com

我的Zmn0970（补充修改稿见

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1384820）的推导一清二楚，揭露了集合论无限部分的种种错误，并强烈呼吁教育部改革错误的教学内容，不要再误人子弟了。这当然会引起像薛问天那样盲目崇拜康托的人的反对。

由于他的文章篇幅较长，而且错误都很类似，因时间关系，我只就其中一些最关键，最典型的问题来分析一下。

他说我“一方面说A={1，2，3....}同A1={2,4,6.....}一一对应元素数目相同。另一方面又不敢承认A1这个偶数集是所有自然数集A的真子集。要知道这是尽人皆知的事实。硬坚持说无穷集合同它的真子集元素数目不同。这本身就是解不开的矛盾。”

这段话有三个错误

1 ) 我定义的A只是包含了无限多自然数1,2,3……的一个集合，并没有说是包含了所有自然数的集合。

事实上，自然数是可以通过加1不断增加的，这个过程永远不会结束，而所谓全体自然数，只有当这个过程完全结束以后才可能形成，也就是说，只要这个过程还没有结束，自然数就会不断出现，当然永远不可能形成全体自然数。

因此，所谓全体自然数，不过是一种想象中的、不可能存在的概念，其隐含的假设是:自然数加1增加的过程是可以终止的。 

没有，也不可能有人能够证明这个隐含的假设。

严格的推导要一步一步来，不能跳跃，更不能有隐含的假设。

在推导中隐含未加证的假设，是思维的严格性不够的一种表现。

科学必须严格尊重事实，不能把不可能存在的概念当成事实，更不能随意篡改事实，以符合自己的愿望。

随意篡改事实，并不是思维的力量，而是思维的不开化. 

事实上，假如存在一个包含了所有自然数的集合，就会出现很多矛盾的事情，我以前已经举过很多例子。我的zmn0970还严格证明了不可能存在一个包含全体自然数的集合。

薛先生却认为“否定无穷公理就是否定无穷集合的存在。否定无穷集合的存在，就是只承认集合是有限集合不承认有无限集合。”

这个就很奇怪了，容易证明：无限集合的部分元素仍然可以是无限集合，例如，A的真子集也可以是无限集合，难道也包含了所有的自然数？比如，集合{2，3，4……}并没有包括所有的自然数，难道是有限集合？

所以研究无限集合并非一定要无穷公理。

无论是思考问题还是说话，都要经得起推敲，要足够严格。

 2）薛说我  ”另一方面又不敢承认这个偶数集是...A的真子集” , 这个很就更奇怪了，我为什么要”承认” 偶数集是A的真子集？我根本就是反对,不但反对，我还严格证明了A1不是A的真子集:如果A1是A的真子集，它的元素数目就必须比A少，但是实际上A1和A的元素数目是精确相等的，所以A1不可能是A的真子集。所有认为A1是A的真子集的说法或“证明”都必然是错的。

以上推理，就像1+1=2一样，简单，正确到”令人发指”，毫无瑕疵，任何人都不可能驳倒，

可惜，咖利略，希尔伯特和康托，都误以为A1是A的真子集，从而带领数学界走入了几百年的荒唐路

薛先生则步其后尘，偏要证明A1是A的真子集.本来我都懒得看他必错的证明，因为据我的经验，即使我指出他的错误之处，他也会花岗岩头脑死不承认的，或者顾左右而言他，我当然就没有兴趣与他交流了。 但既然他这次一再要求，一定要我指出他具体错在哪里，我也就分析一下吧，希望他从此能够提高学术水平，免得再在一些无谓的问题上反复纠缠不清，浪费大家的时间。

先给出薛先生的证明：

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按照真子集的定义，只要证明①A1⊆A，A1是A的子集。② 存在有元素x∈A，但x∉A1，就可证明A1是A的真子集。

很容易证，任何y∈A1，都有y=2x，x∈A，它是自然数x乘2，当然乘积仍是自然数。显然y∈A。②更容易证。知存在有奇数1∈A但它不是偶数，于是显然1∉A1。证毕。

………………………………

这个证明虽然看上去似乎没什么问题，但薛先生有没有想过，既然A与A1的元素数目精确一致，A中既有奇数，又有偶数，而A1中全是偶数，小学生也应该能够立即算出:A1中的偶数比A中的偶数多，即A1必然有A中没有的偶数，A1怎么可能是A的子集？

所以他的证明必然是错的。

那么薛先生的证明具体究竟错在什么地方呢？

任何严格的证明首先必须保证前提高度可靠，薛先生证明的前提是A是所有自然数的集合，即无穷公理成立，但是公理本身无法证明，其可靠性本来就有问题，而且无穷公理还存在很多反例，就更不可靠了，把不可靠的命题当做前提，这个证明结果的可靠性怎么保证？

事实上，当A并没有包括所有自然数，而只包含部分自然数时，就无法保证A的元素乘以2后得到的自然数仍然在A内！这就是薛先生证明的具体错误所在：当A不是全体自然数集合的时候（如前所述，我并没有定义A是全体自然数的集合），不能保证y∈A。

其实，薛先生的推导倒是可以作为反证法的:假定A是包含了所有自然数的集合，则可证明A1是A的真子集，由此此可得，A1的元素数目比A少，与事实矛盾，所以A并不是包含所有自然数的集合。

推导除了不能跳跃，还要多方位考虑，不能只考虑一方面，对任何话都要反复推敲，不要过于自信，要反复怀疑包括自己在内的一切。不要过于迷信未必严格的推导，比如在这个例子中，所谓的推导甚至还不如小学生的直观分折可靠。

还有，薛先生所谓A1*=A1的”证明”，其实只证明了两个集合的元素都是偶数，但这本来就不需要证明，关键的问题在于，A1*的元素是直接从A中每两个相邻元素当中挑一个出来的，所以A1*的元素数目比A少(精确地说，只有A的一半)，而A1是将A的每一个元素都乘以2得到的，所以A1的元素数目与A精确相同的。也就是说A1*的元素数目比A1少(只有A1的一半)，这我在Zmn0970当中已经讲得一清二楚了，薛先生居然视而不见，还要证明什么A1*=A1？元素数目都不相同的两个集合，可能是同一个集合吗？

元素数目相同，不过是两个集合相同的必要条件之一，薛先生连必要条件都不考虑，就以为自己的证明是严格的？滑天下之大稽！

退1万步来说，即使真能证明A1*=A1，也不能推出偶数集只有一个这个结论:无法排斥存在第三个、第四个...偶数集的可能性。

我也要”严厉地”说:这才是严格思维，薛先生看懂了没有！？

从这里也可以看出，任何真子集都可以看做是原集合当中挑选部分元素组成的，它的元素数目怎么可能与原集合是相同的？

从这里还能够看出，由于缺失了元素数目这个基本概念，现在的数学界的概念变得多么混乱！

从而再次说明，仔细研究无限集合元素数目这一概念的极端必要性！

     3）可能我把薛先生逼到墙角了，他再也无话可说，于是一不做二不休，干脆否认任何无限集合的元素数目是必然比其真子集多的这一简单得不能再简单的事实了。 这是因为，只要该事实成立，那么我的证明必然成立，他的面子就保不住。

于是他就说“【任何无限集合的元素数目都一定是比其真子集多的】早已被发現不是事实。而被严格证明的〖存在着无限集合，能同它的某真子集一一对应〗才是事实”，说我“ 硬坚持说无穷集合同它的真子集元素数目不同”

无限集合与其真子集的一一对应，先不讨论其对错，就算是对的，也只说明两者的基数相同，并不能说明元素数目是一样多的，这是因为，基数并不是元素数目。

    无限集合的元素数目比其真子集多，不过是一个再简单不过的事实:无论是有限集合还是无限集合，元素数目都不过是指元素的个数，互不相同的元素个数当然具有加和性，所以A与B均非空且A与B的交集为空时，C=AUB的元素数目必定是比其真子集A或B多的(由于这个命题描述的是一个最简单的事实，所以以下将其简称为事实命题)。基数并不一定具有加和性，但基数并不是元素数目，所以基数不具有加和性并不意味着元素数目不具有加和性。

    所以，薛先生在这里犯了一个很基本性的错误，就是混淆了元素数目和基数的区别。

    薛先生之所以会犯这个错误，并不一定是他脑子糊涂造成的，很可能是有意的。这是因为，他很清楚，一旦承认无限集合的元素数目是比其真子集多的，不但我的证明再也无法推翻，康托的整个理论都要崩塌，集合论无限部分的所有的理论都会变成一片混乱。作为康迷，不管他是否愿意，事实上就等于向我认错了。

    也就是说，他很清楚，现在的集合论与事实命题是完全不能相容的，所以，为了维护现在的集合论，同时为了维护他自己的面子，只能否定事实。

    然而，事实是能否定得了的吗？

    如前所述，一旦承认事实命题，康托所有的”逻辑”都变成一团糟，这个一团糟当然是由于集合论不能与事实命题相容造成的，他不愿意也不敢承认这一点，所以只好把这一团糟归因于揭露这种不相容的我的身上。颠倒黑白到如此登峰造极的程度，倒也十分罕见。

    定理1证明了无限集合的外延是无法固定的，所以传统集合论中关于无限集合的部分全都错了，或者说传统集合论中的无限集合是一个不存在的。讨论一个不存在的东西，比如说在欧氐空间中讨论正十面体，是完全无意义的，所以只能引入并讨论外延可变的无限集合。

然而，由于薛先生连定理1及其证明都没搞清楚，当然不会自觉地接受可变集合这个概念，并老是想用错误的传统集合来解释可变集合，从而就陷入了一片混乱之中。殊不知，如果传统集合论能够解决问题，我为什么要引入可变集合的概念？例如，建立在全体自然数基础上的UNn是一个外延固定的无限集合，实际上根本就不存在，怎么可以与外延永远扩大的的无限弹性集合相混淆？

很多问题只有用弹性集合的概念才能解释清楚。例如zmn0970极其简单证明了无限集合不可能与其真子集一一对应，且证明了只要有一个单射不是双射，所有的单射都不是双射。

但薛问天认为；

“由N经y=x-1操作得到的无穷集合N1={y丨y=x-1，x∈N}。显然N到N1的单射y=x-1是双射。但N到N1的单射y=x就不是双射，因为N1中的元素0沒有原象，不是满射。“

这是错的，用弹性集合的概念可以看得一清二楚：设N={1,2,3,...n}则N1={y丨y=x-1，x∈N}={0，1，2，3，...,n-1}，N1的元素数目与N精确相同，所以任何一种单射都是双射：N到N1的单射y=x-1是双射。但从弹性集合的角度来看，N到N1的y=x并不是单射，这是因为，任何N→N1的单射，每一个N中的元素都必须在N1中有象，但N中的n在N1却没有象，故只能将N1中的0作为象，才能形成单射，显然，这个单射也是滿射。

需要注意的是对于任意大的n，以上结果永远存在，即对于无限集合，也存在上述结果。

所以，对无限集合，元素数目相同时，任何单射都是双射，也就是说，只要找到一个单射不是双射，就说明元素数目不相同。

这里还要注意，设N={1,2,3,...n}则N1={y丨y=x-1，x∈N}={0，1，2，3，...,n-1}，这里的N1即{0，1，2，3，...,n-1}并不是我在zmn970中所说的N1={0}UN，后者={0，1，2，3，...,n}、

因为时间关系，不做更多的分析，而且，连事实都不承认的讨论，也未必有必要进行下去。薛先生如果想进一步讨论，首先必须端正态度，实事求是：对的可以坚持，错的就要承认，这样才会进步，我也会愿意分析更多的东西。否则的话，老是原地踏步，我有那么多时间吗？

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