张天蓉博士带领你追溯数学物理的源头、从趣味中体会数学之美，带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。

著名物理学家杨振宁在台湾作的一次演讲《二十世纪数学与物理的分与合》中，谈到数学与物理学之间的微妙关系时说，数学和物理如“书画同源”，来自一个源头，曾经一度分家，而到了现代，似乎又产生了密不可分的关系。

考察数学和物理发展的历史，的确可以说是“数理同源”，这两个科学上最重要的分支，它们的关系如同男女之间的恋爱、结合、离婚、结婚，错综又复杂，真实而自然，可谓妙不可言。

在古希腊的时候，所有的科学都没有区别，几乎每个科学家都是全才：既是数学家，又是物理学家，也是哲学家。大概因为那时候科学水平还比较低，完全不同于现在这种“隔行如隔山”的局面。并且，令我们现在搞科学的人妒忌的是：那时候的科学家们，所思考的都是“大”问题：宇宙、天地、星星、月亮，生命的起源，万物的秘密……那个年代可能也只有这种大问题可想，因为人类的知识宝库里还只有简略的几条框框，没有这个定律那个定理、这个技术那个工程的。既没有繁杂无比的公式可推导，也不需要用计算机编程序来进行十天半个月之久的大量数字计算，因此，科学家们动脑袋的时间多，因而他们几乎全都是杰出的思想家。

阿基米德（前287～前212年）便是古希腊这样一位思考“大”事情的伟大人物。他被认为是历史上最伟大的数学家之一，同时又是伟大的物理学家。不过，阿基米德除了思考之外，动手能力也极强，因此，他被冠以的头衔很多：哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家等。

阿基米德距离我们的时代已经有两千二百多年，但他在数学、物理、天文等方面的造诣之深，不得不令我们现代人也惊叹万分，特别是前几年才使用现代科技方法恢复重现的阿基米德的手稿：失落的羊皮书，让我们真正见识了这位伟人的超时代智慧。

阿基米德在数学上成就非凡，他利用所发明的“逼近法”，算出了球面的面积、球体的体积、椭圆和抛物线等所围成的平面图形的面积，他还研究出螺旋形曲线，即现代称之为 “阿基米德螺线” 的性质。直到一千八百多年之后，牛顿和莱布尼茨才依据类似的极限思想，将其发展成了近代的“微积分”概念。

物理上，阿基米德发现浮力定律的故事被广为流传。据说阿基米德为了帮助叙拉古的国王戳穿金匠掺假造皇冠一事，而想办法测量形状复杂的皇冠的体积，为此他绞尽了脑汁未得其法。后来有一天，当阿基米德浸泡在浴盆里洗澡的时候，看见盆中的水面随着自己身体浸下去而升高，突然从中悟出了问题的答案：如果将皇冠浸入水中的话，盆中的水增加的体积应该等于浸在其中的皇冠的体积。这时，激动无比的阿基米德从浴盆里跳了出来，光着身体就跑了出去，还边跑边喊“尤里卡！尤里卡！”，“尤里卡”是希腊语，意思是“我发现了”。阿基米德当时所发现的便是我们现在熟知的“阿基米德浮力定律”。

在天文学方面，阿基米德曾经制作了一座运行精确的天象仪，球面上有太阳、月亮及五大行星，可以展示太阳系的运行，还能预测近期内将发生的月食和日食。阿基米德甚至开始怀疑地心说，脑海中已经产生了距离他一千六百多年之后哥白尼提出的日心说的朦胧猜想。

第1章　无穷小的魔术

1. 从微积分说起

2. 阿基里斯能追上乌龟吗？

3. 谁发明了微积分？

4. 阿基米德羊皮书

5. 阿涅西的女巫

6. “傻博士”相亲

7. 图解微积分

数学物理的趣事很多，本书主要涉及微积分之后与物理相关的数学。

牛顿

阿基米德之后的另一个伟大的数学物理全才是牛顿。牛顿为了建立他的物理理论而发明了微积分，并用微积分的语言写下了牛顿三大定律和万有引力定律。微积分无疑是数学观念上的一场革命，它将无穷小量、极限、变量、函数等概念带进了科学世界。让各个科学技术领域如虎添翼，得以蓬勃发展，造福人类。

微积分的精髓实际上是基于阿基米德时代就已经萌芽的极限概念，中国古代学者也很早就有了物体可以无限可分直到无穷小的思想。但从这个“无穷小量”的原始雏形，发展到微积分这个严密的数学理论体系，以及后来又在微积分的基础上建立了数学物理方程、黎曼几何等数学分支，却不是一件容易的事。这些数学理论，不仅帮助牛顿和麦克斯韦等人建立了宏伟辉煌的经典力学和经典电磁理论，还推动了理论物理中量子力学、相对论、混沌理论等数次革命。回顾其间的漫长历史过程，既耐人寻味，又发人深思。

牛顿的经典物理观念伴随着其精确的现代数学表述统治了科学世界几百年，直到现在也仍然威力不减。现代社会各门科学技术的高速发展少不了经典力学杰出的贡献。

牛顿，这位上帝派来的光明使者，将世界从黑暗中解救出来。诗人蒲柏（Alexander Pope ，1688～1744年）为牛顿写下了著名的墓志铭：

“Nature and nature's laws lay hid in night, God said: "Let Newton be! and all was light.”

与微积分一样，数学中很多思想的源泉都来自于对物理的研究。因为数学和物理都是起源于人们对于世界的观察和认识，物理规律往往需要依靠数学的方法来进行定量描述。微积分的发现是科学界的重大历史事件，从此之后科学家有了一套得心应手的理论工具，微积分学方法的精确描述使得生物、化学、力学、电子、工程等学科和技术得以长足发展，而数学作为“科学的皇后”，其价值观也逐渐独立。因此，自从牛顿之后，数学和物理也开始奔向不同的目标，逐渐走向了各自不同的发展道路。

不过，数学与理论物理的关系始终密切，理论物理的目的是解释自然现象、总结普遍的规律。理论物理学家爱美，热衷于揭露大自然的“数学之美”，而自然现象中本来就隐藏着奇妙的数学结构。因此，继牛顿之后，又有了欧拉、拉格朗日、傅立叶、麦克斯韦、庞加莱、高斯、希尔伯特……这一个个的著名人物，既是数学大师，也对理论物理做出了杰出的贡献。

牛顿像是个上帝派来的魔法师，他右手点亮经典力学之火，左手握着微积分，数学和物理的殿堂从此有了光明。笔者在介绍微积分发展的历史之后，紧接着重点介绍了另一个数学物理的交叉领域：变分法和最小作用量原理。就在牛顿发表他的《自然哲学的数学原理》之后一百年，拉格朗日出版了他的《分析力学》。拉格朗日将变分法和最小作用量原理用于牛顿力学，完全用分析的方法进行推导，建立起一套完整和谐的力学体系，显示了分析学的巨大威力，也展示了数学和物理的成功结合。

变分法和最小作用量原理中涉及的“求极大极小、最优化”等一类问题，与我们的日常生活紧密相关，牵涉到不少历史上著名的数学难题。因而，笔者在本书中并不是叙述枯燥而高深的数学公式，而是通过有趣的故事、生动的图解、通俗的语言、出神入化的描述，为你介绍故事中隐藏着的深刻的数学物理原理。

第2章　微积分到变分法

1. 哪条滑梯最快？

2. 安全抛物线

3. 数学家的绝招

4. 弦振动问题

5. 狄多女王的智慧

6. 上帝也懂经济学吗？

7. 美丽的对称

8. 自发对称破缺

9. 费曼的故事

10. 沿着历史的路径积分

对称性和物理的关系是笔者在本书第2章中叙述的另一个重点。对物理现象对称性的研究，充分体现了数学和物理的互推互进、相辅相长。对称性很早就是物理学研究的指导性原则，从有限对称到连续对称，美丽的大自然处处有对称。对称本来是数学概念，守恒是物理定律，著名的女数学家诺特所证明的诺特定理却揭示了两者间存在紧密而奇妙的联系。有一段时间，物理学家痴迷于对称之美，认为对称性可能是许多物理现象的本质所在，以至于量子力学的创始人之一海森堡发表过一个奇怪的观点，认为物理学家不用去详细研究夸克等基本粒子，只需要代之相应的对称性到理论中就行了。

对称中又暗藏着不对称。五彩缤纷的大自然是如此，物理学也是如此。物理规律的对称性表现在真实世界中的具体现象时，却貌似不是对称的，因为它们是“自发对称破缺”的结果。笔者借此理论简略介绍了与2013年诺贝尔物理学奖的相关发现：“上帝粒子”——希格斯粒子之事。

在微积分基础上发展出来的、最有效的科学技术工具莫过于微分方程。微分方程已经成为科技工程领域中最基本的数学模型。如今，不仅仅在物理学中，科研的各个领域都少不了它。它的结果和方法甚至被应用到人文学科中。特别是当计算技术发展到能够求出微分方程的数值解之后，它更是在各项研究中大展身手。因此，笔者在第3章中提及了几个重要的微分方程以及它们的应用，包括弦振动方程、薛定谔方程、麦克斯韦方程等。

第3章　微分方程拾趣

1. 数学的诗篇

2. 微分方程展宏图

3. 三体问题

4. 奇妙无比的混沌

5. 不可思议的分形

7. 无穷小量碰到“量子”

8. 电磁波的颂歌

微分方程不仅作为科学技术的工具而存在，对非线性微分方程的深入研究打开了整个非线性科学的大门。其中的混沌和分形以其奇特美妙的图形尤为引人注目。笔者也对这两个领域给予了简略的介绍。

在最后一章中，笔者首先重点介绍了3维空间中曲线和曲面微分几何的基本概念。通过直观易懂的图像、趣味生动的实例，让读者了解微分几何中的一些基础性专业术语，诸如曲率、挠率、活动标架、可展面、不可展面、最小面、高斯曲率等。然后，简要地介绍了黎曼几何、张量分析以及它们对爱因斯坦创建广义相对论的重要性。

第4章　几何上的无穷小

1. 既古老又现代的几何学

2. 弯路上加速运动的汽车

3. 平方反比率

4. 曲面的微分几何

5. 肥皂膜上的几何

6. 内蕴几何

7. 黎曼几何

8. 张量场上的微积分

9. 2维曲面上平行移动和曲率

爱因斯坦当年在瑞士联邦工学院做学生时，数学系和物理系还不分家，算是同一系。当时的爱因斯坦重物理而轻数学，他认为数学搞的是小问题，物理则是研究大问题。不过后来他研究的“大问题”被“小问题”困住了。可以说，没有数学家们的帮助，爱因斯坦研究的相对论大问题不可能成功。

狭义相对论的数学是简单的，但仍然需要洛伦兹变换和闵可夫斯基空间来赋予它简洁优美的表达形式。爱因斯坦最得意的是他的广义相对论，他曾经说过，如果他没有发现狭义相对论，5年之内会被人发现，但是如果他没有发现广义相对论，50年之内也不会有人发现。还传说爱因斯坦在几个星期之内建立了狭义相对论，并且从1908年开始，就产生了将它推广到引力场中建立广义相对论的想法。但是，爱因斯坦却花了整整7年的时间思考这个问题最后仍然未得其果。是什么原因呢？爱因斯坦正是被他所忽视的数学问题难住了。后来碰巧他的一位数学界朋友格罗斯曼告诉他，他的引力理论想寻找的那种数学在半个世纪之前就已经被黎曼做出来了。这才解决了爱因斯坦的困惑，使他顺利地完成了广义相对论。这段经历令爱因斯坦由衷地感叹：“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学形式的支配。”

爱因斯坦

其实，当年的黎曼在提出他的几何思想时，也考虑了这个理论在物理学中的应用问题。黎曼想象了一个有限无界的球形空间，并且猜测它或许是宇宙形状的正确描述。我们永远无法知道，如果黎曼不是39岁便英年早逝的话，他的思想是否会朝着与50年后爱因斯坦类似的方向发展？

再后来，到了20世纪，固体物理中群论的应用、量子力学及量子场论的建立、规范理论及弦论的研究，更使得数学物理这一领域高潮迭起、异常活跃，物理与数学的关系变得十分微妙，理论物理已经离不开数学，特别是当人们困惑于量子现象的奇特玄乎以及相对论对时空观念和因果律深层次探索而导致的一些诸如“双生子佯谬”之类的迷惑时，人们开始对物理产生了一些错觉，似乎物理已经不是原来的依赖于实验和观察结果的科学，而变成了从数学逻辑推导出来的一大堆“奇思妙想”。

事实并非如此，再高深的物理理论仍然需要实验和观测的验证。此外，数学的发展也不能仅仅依靠逻辑推理。尽管逻辑推理可以建立起整套准确无误的数学体系，但正确不等于有用，不等于能很快地发展壮大。如果没有在其他科技领域的实用价值，逻辑推理也可能难以持久。并且，数学在现代理论物理中扮演的角色已经不仅仅如过去那样，只是作为研究和计算的工具了。数学已经在很多方面、在非常深刻的背景下与物理融合在一起。因为如今人类对物理事件的探索已经踏进了与我们的常识完全不符合的微观世界和宏观世界，这两个世界中的时空观已经超越了我们原来认知中的简单经典图像。其深层的哲学含义，恐怕必须要物理和数学的密切结合才有希望得以破解。

总之，理论物理和数学本来就是同宗同源的兄弟，他们时分时合、源远流长、交叉渗透、互相影响。从伽利略和牛顿开始，到近代的许多理论物理学家，都既懂物理，又通数学。更有趣的是，物理学界称他们为物理学家，数学界则称他们为数学家。因此，自古以来数理同源，数学为物理学家提供解决问题、实现理论的漂亮手段，物理则在一定程度上成为数学家灵感和直觉的重要源泉。

物理数学、数学物理，“数蕴哲学待追忆、物含妙理总堪寻”。本书带领你追溯数学物理的源头，从趣味中体会数学之美，同时带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。

本文由刘四旦摘编自张天蓉著《数学物理趣谈——从无穷小开始》一书。《数学物理趣谈——从无穷小开始》重点介绍了现代物理中常用的一些数学方法，包括微积分、变分法、微分方程、微分几何等领域的基础知识。作者以深入浅出的解释、直观明白的图像、生动有趣的语言，使你初步了解这些起码的数学概念，以及与它们相关的物理应用实例。带领你追溯数学物理的源头、从趣味中体会数学之美，带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。

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