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《分岔问题及其计算方法》学习感想

已有 1113 次阅读 2023-9-28 12:50 |系统分类:科研笔记

武际可,黄克服二位老师曾于几年前出版《分岔问题及其计算方法》一书。当年武际可老师曾写过博文介绍过此书(https://blog.sciencenet.cn/blog-39472-1199085.html)。昨天刚把这本书读完,几点学习感想如下:

1,分岔问题是真正的非线性问题,因为不分岔的非线性问题原则上都可以分段用线性问题来逼近。

2,动力系统的分岔是从其状态空间的轨迹上的某一点开始的,可以用微积分的极限语言进行描述。此时由分岔点分出多条路径,每一条路径都对应着一种等价类。

3,等价类的定义不同,所谓的分岔点也就不同。同一等价类内部元素常可以构成一个群。

4,分岔点的计算与动力系统的矩阵的特征值有关。随着某些参数的变化(比如弹性力学系统的外荷载),矩阵的特征值会发生变化,从而突然出现一个分岔点(即弹性力学系统进入失稳状态)

5,分岔分为静分岔和霍普夫分岔。前者分出多条不同路径,而后者分出的路径构成一个周期性的运动轨迹。

6,霍普夫分岔的意义下,这条周期性的运动轨迹可以被称为极限环,有同宿环和异宿环之分。从一个奇点出发最终回到同一个奇点的是同宿环,回到不同奇点的是异宿环。

7,对分岔问题的分岔点和运动轨迹可以利用数值计算方法进行分析。针对不同问题,需要对计算格式做不同处理,但伪弧长法等比较好的计算方法的基本思想都与向前差分类似。这样的计算至少没有原则性困难(虽然可能计算量会很大)。

8,突变理论和分叉理论的关系,根据《突变理论及其应用》(凌复华,上海交通大学,1987年12月第1版)的正文第5页(“引论”一节)可知:“突变理论研究的,实际上还是静态分叉,即平衡点之间的相互转化问题,这与经典的分叉理论有相似之处,但它的立足点较高,不只是考虑单一参数的变化,而是考虑多个参数变化时平衡点附近分叉情况的全面图像,特别是其中可能出现的突然变化。因此,突变理论在某种意义上包含了静态分叉,而广义的分叉理论又在某种意义上包含了突变理论。”

最后,本书有若干处可能需要勘误。日后作者如有机会再版此书,鄙人可以提供相关信息。



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