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创建判断素数简法及其应用

已有 1838 次阅读 2015-4-19 11:27 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

创建判断素数简法及其应用

 

中国科学院  力学研究所  吴中祥

 

                                   

创建判断素数的简便方法,证明:哥德巴赫猜想,孪生素数特性,由素数具体顺序表达各自然数、偶数和奇数,不可能有任意长度的等差素数数列。

 

关键词:自然数、偶数,奇数,素数,哥德巴赫猜想,孪生素数,等差素数数列,

 

1.创建判断素数的简便方法

除“1”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”,

采用整数m,以j(m) 顺序表达各“素数”.

按素数的特性,只要小于某整数,n,的所有素数都不能整除它,它就是,也才是,素数,有:

j(m)=n/j(m-k); k=1,2,,m-1,都不是整数,

等于j(m)的,应除外,大于j(m)的,必然不能整除它。

这就是判定j(m)是素数的简便方法。

 

就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,

r(m,1)=j(m+1)-j(m),例如:

 

m     1  2  3  4   5   6  7   8  9   10  11 12 13 14 15

j(m)   2  3  5  7  11  13  17 19  23  29  31 37 41 43 47

r(m,1) 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6  4  2  4 

 

由此可见,除j(1)=2,为“偶数”外,所有的j(m)m>1的“素数”,都是“奇数”。

 

2.统一表达尾数确定的任意整数

  w(x)表达有x位的尾数,I(y) 表达有y位的单位数(例如:I(1)=1I(2)=10,…),则:

  尾数为w(x)的任意整数,N(n)=n I(x+1)+ w(x)n=任意正整数。

 

  所有的偶数可表达为2N(n)=2n I(2)+2q(1)q(1)为个位的奇数,即:1,3,5,7,9

  所有的奇数可表达为2N(n)+1=2n I(2)+2q(1)+1

 

  当尾数为有x位的素数j(m),而且,小于(n I(x+1)+ j(m))的所有素数都不能整除它,它就是,也才是,素数,有: j(M)= (n I(x+1)+ j(m))/j(M-k); k=1,2,,M-1,都不是整数。M是相应素数的序数。

 

3.素数与偶数和奇数的关系和哥德巴赫猜想的证明

由于,所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”,所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”,所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”,

 

对于整数(也适用于实整数或正负虚整数),就容易地,简单地直接地完全证明:

“除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加”,还可以扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加。

 

偶数6= j(2)+j(2),而对于大于6的所有偶数,

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s)s’,s=1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k)k=1,2,,m-1

 

如此逐次,增大 m,就证明了,大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们

 

奇数7= j(1) +j(1)+j(2),而对于大于7的所有奇数,

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s)+j(m-s)s,s’,s=1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k)=j(m+1-k) k,k’,k=1,2,,m-1

 

如此逐次,增大 m,就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们。

 

因而,对于,正整数(适用于实整数或正负虚整数),就已简单、直接地完全证明了:大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”。完全无需引进复数的“圆法”、“筛法”的复杂运算,而至今尚不能完全证明。

 

复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2) =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),都是整数,成为N=N1+iN2,才是整数,N

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都是整数,M=M1+iM2,才是偶数,2M表达。

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都不是整数,M=M1+iM2,才是奇数,2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2k=1,2,,m-1,的实部与虚部,

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)

J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2),都不是整数,才是“复数”素数,以J(m)=J(m)1+iJ(m)2,表达。

 

因而,对于复数,要证明除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加,或扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加”,以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,大于7的所有偶奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”,就都必需,也仅需,要求相应的各“复数”都满足以上的各个条件。否则,就不能证明。

 

特别是,分别给出了偶数,2m,和奇数,2m+1,随着m改变到m+1,由素数,j(m),j(m-k) k=1,2,,k-1,表达的变化规律,对研究素数特性,乃至发展数论、解析数论,都有重要作用。

 

4.由素数具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和从mm+1的变化规律的如上方法,就能:由素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k),  其中,k1,2,,ss2,3,,任意大整数,指数,a(1),a(2) ,, a(k)依次单独从1,2,, s=1,而其它指数均=0,直到往返重复s-1次,则,k=s2,3,,任意大整数,就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n

 

   或级数,J(s)

= j(1)^s, j(2)j(1)^(s-1)j(1)^s+1, j(2)j(1)^(s-1)+1

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)( j(2)j(1)^(s- j(1))+1)

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)( j(2)j(1)^(s- j(1))+1)+1

j(1)^ j(1)( j(1)^(s- j(1))+1), j(1)^ j(1)( j(2)j(1)^(s- j(2))+1)

j(1)^ j(1)( j(1)^(s- j(1))+1)+1, j(1)^ j(1) j(2) (j(1)^(s- j(2))+1)+1

… …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)+1 s=1,2,, (任意大的整数)

 

就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n

   类似地,

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k)) 表达,除2外的全部偶数,2n

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))+1表达,除13外的全部奇数,2n+1

 

r(m,s)=j(m+s)-j(m),除m=1s=1时,r(1,1)=1,是奇数,而外,其他所有m大于1r(m,s),都是偶数。而有:

r(m,1)=j(m+1)-j(m)

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)

r(m+1,1) + r(m,1) =j(m+2)- j(m)

r(m,s)=j(m+s)-j(m)

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)

r(m+s,1) =j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)

j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)

 

5.孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对,即pp+2同为素数。

前几个孪生素数分别是:

35)、(57)、(1113)、(1719)等。

100以内有8个孪生素数对;501600间只有两对。随着数的变大,可以观察到的孪生素数越来越少。

20135月《自然》在“突破性新闻”栏目里,宣布,《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章,证明了存在无数多个孪生素数对(p,q),其中每一对素数之距离,不超过七千万。

 

存在无数多个素数对,其中每一对相邻素数对之差值,如何估算?

有了表达并确定各素数的序数、数值和从mm+1的变化规律的如上方法,这问题即:

j(m+s)= j(m)+rj(m+s+1)=j(m+s)+2r=

并有:j(m+s)/j(m+s-k); k=1,2,,m+s-1,都不是整数,j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=1,2,,m+s,都不是整数。

因此,即有:r(m,s) =j(m+s)-j(m)也就是,对于任何确定的ms,就完全能确定r(m,s)例如:

m=2s=5 j(m)=3j(m+1)=5j(m+s)=11j(m+s+1)=13r(m,s)=8=j(m+s)-j(m)

m=2s=7 j(m)=3j(m+1)=5j(m+s)=17j(m+s+1)=19r(m,s)=15=j(m+s)-j(m)

m=7s=26j(m)=17j(m+1)=9j(m+s)=101j(m+s+1)=103r(m,s)=86=j(m+s)-j(m)

m=7s=28 j(m)=17j(m+1)=9j(m+s)=107j(m+s+1)=109r(m,s)=92=j(m+s)-j(m),等等。

 

显然,只要按表达并确定各素数的序数、数值和从mm+1的变化规律的如上方法,确定了:j(m)j(m+1)j(m+s)j(m+s+1)都是素数,而且,j(m+1)-j(m)=2j(m+s+1)-j(m+s)=2,就可以由j(m+s)j(m)j(m+1+s)j(m+1)的数值完全确定: r(m,s)=j(m+s)-j(m),或r(m,s)=j(m+1+s)-j(m+1)

就不仅能,估计r(m,s)<某数的范围,而是能,完全确定r(m,s)的具体数值。而j(m+s)j(m)j(m+1+s)j(m+1),都是有限的数值,当然,r(m,s)就只是小j(m+s) j(m+1+s)的有限数值。

 

6.证明不可能“存在任意长度的素数等差数列”。

“素数等差数列”是由素数构成的等差数列。

2004418日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”,但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页。也没有提出任何任意长度的素数等差数列的实例。

 

对于任意值K,存在K个素数组成的等差级数。例如

K=3,(每两个差2

有素数序列3, 5, 7

K=3,(每两个差2

有素数序列197199211

K=3,(每两个差6

有素数序列313743

K=3,(每两个差6

有素数序列151157163

K=4,(每两个差6

有素数序列251257263269

 

   如下两种简单证明,就可具体表明:k只能是有限的数值,不可能有任意的长度,不可能“存在任意长度的素数等差数列”。

 

创建了两种素数等差数列的普遍表达式,即:

 

素数等差数列1

Sdcs=nt+j(m) ;且(nt+j(m))/( j(M,t)-k)不是整数,k=m+1,m+2,. (M,t) -1

    j(M,t) <= nt+j(m),有:

 

nt*+j(m)=j((M,t*) -1)j(M,t*) <= nt*+j(m),即:

t*’ = (j((M,t*’) -1)-j(m))/ n,

(j(M,t*) -j(m))/ n<= t*j(M,t*) j(m)都是有限值,t*不可能任意大。

例如:

 

n   m   j(m)   t   nt+ j(m)   (M,t)   j(M,t)  

2   2    3    0     3       2       3

             1     5       3       5

             2     7       4       7

   3    5    0     5       3       5

             1     7       4       7

 

2  43   197   0    197     43     197

             1    199     44     199

             2    211     45     211

 

6  11   31    0    31       11     31

             1    37       12     37

             2    43       13     43

 

6  34   151   0    151      34     151

             1    157      35     157

             2    163      36     163

 

6  52   251   0    251      52     251

             1    257      53     257

             2    263      54     263

             3    269      55     269

 

素数等差数列2

SdcS= n I(x+1)t+ w(x)t=0,1,2,,t*

w(x)=j(m)是数列的初项,是位数为x,顺序为m,的素数。

n是不=(w(x)=j(m))的整数倍,的任意正整数。

I(x+1)是位数为x+1的单位数。

t是数列的序数,t*是数列最后项的序数,t*+1是数列的项数。

 

SdcS可见,只要n t= (w(x)=j(m))j(m),则除掉尾数w(x)=j(m)的前各位数即使能被某整数整除,则该整数必然不能整除j(m),因而,只要t=  (w(x)=j(m)),而且SdcS的各项,必有,小于它的所有素数,j(M)都不能被整除,SdcS就是,也才是,素数等差数列。

而当SdcS的某项,n (t*+1)+ j(m) ,能被小于相应的j*(M)某素数整除,该项就不是素数了,t*就是数列最后项的序数。

而且,即使SdcS的各项,都不能被小于相应的j*(M)某素数整除,当t*’= (w(x)=j(m)) SdcS就必能被j(m) 整除,就必然不是素数,而t*’= j(m)-1就是末项。

因而,SdcS是:初项(t=0)= j(m),等差值= n I(x+1),项数最多只能= j(m)

因此,素数等差数列,SdcS,的项数只能是小于有限数 j(m),不可能有任意的长度。

 



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