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创建判断素数简法及其应用
中国科学院 力学研究所 吴中祥
提 要
创建判断素数的简便方法,证明:哥德巴赫猜想,孪生素数特性,由素数具体顺序表达各自然数、偶数和奇数,不可能有任意长度的等差素数数列。
关键词:自然数、偶数,奇数,素数,哥德巴赫猜想,孪生素数,等差素数数列,
1.创建判断素数的简便方法
除“1”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”,
采用整数m,以j(m) 顺序表达各“素数”.
按素数的特性,只要小于某整数,n,的所有素数都不能整除它,它就是,也才是,素数,有:
j(m)=n/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数,
而等于j(m)的,应除外,大于j(m)的,必然不能整除它。
这就是判定j(m)是素数的简便方法。
就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,
r(m,1)=j(m+1)-j(m),例如:
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………
j(m) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 ………
r(m,1) 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 ………
由此可见,除j(1)=2,为“偶数”外,所有的j(m);m>1的“素数”,都是“奇数”。
2.统一表达尾数确定的任意整数
以w(x)表达有x位的尾数,I(y) 表达有y位的单位数(例如:I(1)=1,I(2)=10,…),则:
尾数为w(x)的任意整数,N(n)=n I(x+1)+ w(x);n=任意正整数。
所有的偶数可表达为2N(n)=2n I(2)+2q(1);q(1)为个位的奇数,即:1,3,5,7,9。
所有的奇数可表达为2N(n)+1=2n I(2)+2q(1)+1
当尾数为有x位的素数j(m),而且,小于(n I(x+1)+ j(m))的所有素数都不能整除它,它就是,也才是,素数,有: j(M)= (n I(x+1)+ j(m))/j(M-k); k=1,2,…,M-1,都不是整数。M是相应素数的序数。
3.素数与偶数和奇数的关系和哥德巴赫猜想的证明
由于,所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”,所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”,所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”,
对于正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数),就容易地,简单地直接地完全证明:
“除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,或=3个“奇数”相加”,还可以扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,或=奇数个“奇数”相加。
偶数6= j(2)+j(2),而对于大于6的所有偶数,
当偶数2m=j(m-s)+j(m-s);s’,s’=1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k);k=1,2,…,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:
2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k‘);k=1,2,…,或m-1。
如此逐次,增大 m,就证明了,大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们
奇数7= j(1) +j(1)+j(2),而对于大于7的所有奇数,
当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s“);s,s’,s“=1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k);k=1,2,…,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:
2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k“) ;k,k’,k“=1,2,…,或m-1。
如此逐次,增大 m,就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们。
因而,对于,正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数),就已简单、直接地完全证明了:大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”。完全无需引进复数的“圆法”、“筛法”的复杂运算,而至今尚不能完全证明。
复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2) =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)。
只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),都是整数,成为N=N1+iN2,才是整数,N。
只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都是整数,M=M1+iM2,才是偶数,以2M表达。
只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都不是整数,M=M1+iM2,才是奇数,2M+1表达。
只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2;k=1,2,…,m-1,的实部与虚部,
J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) 与
J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2),都不是整数,才是“复数”素数,以J(m)=J(m)1+iJ(m)2,表达。
因而,对于复数,要证明除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,或=3个“奇数”相加,或扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,或=奇数个“奇数”相加”,以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,大于7的所有偶奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”,就都必需,也仅需,要求相应的各“复数”都满足以上的各个条件。否则,就不能证明。
特别是,分别给出了偶数,2m,和奇数,2m+1,随着m改变到m+1,由素数,j(m),、j(m-k); k=1,2,…,k-1,表达的变化规律,对研究素数特性,乃至发展数论、解析数论,都有重要作用。
4.由素数具体顺序表达各自然数、偶数和奇数
有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法,就能:由素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k), 其中,k从1,2,…,s,s从2,3,…,任意大整数,指数,a(1),a(2) ,…, a(k)依次单独从1,2,…, s,=1,而其它指数均=0,直到往返重复s-1次,则,k=s从2,3,…,任意大整数,就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n。
或级数,J(s)
= j(1)^s, j(2)乘j(1)^(s-1);j(1)^s+1, j(2)乘j(1)^(s-1)+1、
j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)( j(2)乘j(1)^(s- j(1))+1)、
j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)( j(2)乘j(1)^(s- j(1))+1)+1、
j(1)^ j(1)( j(1)^(s- j(1))+1), j(1)^ j(1)( j(2)乘j(1)^(s- j(2))+1)
j(1)^ j(1)( j(1)^(s- j(1))+1)+1, j(1)^ j(1) j(2) (乘j(1)^(s- j(2))+1)+1、
… … …
j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)、
j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)+1; s=1,2,…, (任意大的整数)。
就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n。
类似地,
可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k)) 表达,除2外的全部偶数,2n。
可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))+1表达,除1和3外的全部奇数,2n+1。
r(m,s)=j(m+s)-j(m),除m=1;s=1时,r(1,1)=1,是奇数,而外,其他所有m大于1的r(m,s),都是偶数。而有:
r(m,1)=j(m+1)-j(m),
r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1),
r(m+1,1) + r(m,1) =j(m+2)- j(m),
r(m,s)=j(m+s)-j(m),
r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s),
r(m+s,1) =j(m+s+1)- j(m) - r(m,s),
j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m),
5.孪生素数
孪生素数是指差为2的素数对,即p和p+2同为素数。
前几个孪生素数分别是:
(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)等。
100以内有8个孪生素数对;501到600间只有两对。随着数的变大,可以观察到的孪生素数越来越少。
2013年5月《自然》在“突破性新闻”栏目里,宣布,《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章,证明了存在无数多个孪生素数对(p,q),其中每一对素数之距离,不超过七千万。
存在无数多个素数对,其中每一对相邻素数对之差值,如何估算?
有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法,这问题即:
当j(m+s)= j(m)+r,j(m+s+1)=j(m+s)+2,r=?
并有:j(m+s)/j(m+s-k); k=1,2,…,m+s-1,都不是整数,j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=1,2,…,m+s,都不是整数。
因此,即有:r(m,s) =j(m+s)-j(m),也就是,对于任何确定的m和s,就完全能确定r(m,s),例如:
m=2,s=5, j(m)=3,j(m+1)=5,j(m+s)=11,j(m+s+1)=13,r(m,s)=8=j(m+s)-j(m),
m=2,s=7, j(m)=3,j(m+1)=5,j(m+s)=17,j(m+s+1)=19,r(m,s)=15=j(m+s)-j(m),
m=7,s=26,j(m)=17,j(m+1)=9,j(m+s)=101,j(m+s+1)=103,r(m,s)=86=j(m+s)-j(m),
m=7,s=28 ,j(m)=17,j(m+1)=9,j(m+s)=107,j(m+s+1)=109,r(m,s)=92=j(m+s)-j(m),等等。
显然,只要按表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法,确定了:j(m),j(m+1),j(m+s),j(m+s+1)都是素数,而且,j(m+1)-j(m)=2,j(m+s+1)-j(m+s)=2,就可以由j(m+s)、j(m)或j(m+1+s)、j(m+1)的数值完全确定: r(m,s)=j(m+s)-j(m),或r(m,s)=j(m+1+s)-j(m+1)。
就不仅能,估计r(m,s)<某数的范围,而是能,完全确定r(m,s)的具体数值。而j(m+s)、j(m)、j(m+1+s)、j(m+1),都是有限的数值,当然,r(m,s)就只是小于j(m+s) 或j(m+1+s)的有限数值。
6.证明不可能“存在任意长度的素数等差数列”。
“素数等差数列”是由素数构成的等差数列。
2004年4月18日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”,但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页。也没有提出任何任意长度的素数等差数列的实例。
对于任意值K,存在K个素数组成的等差级数。例如:
K=3,(每两个差2)
有素数序列3, 5, 7
K=3,(每两个差2)
有素数序列197,199,211,
K=3,(每两个差6)
有素数序列31,37,43
K=3,(每两个差6)
有素数序列151,157,163
K=4,(每两个差6)
有素数序列251,257,263,269
………
如下两种简单证明,就可具体表明:k只能是有限的数值,不可能有任意的长度,不可能“存在任意长度的素数等差数列”。
创建了两种素数等差数列的普遍表达式,即:
素数等差数列1:
Sdcs=nt+j(m) ;且(nt+j(m))/( j(M,t)-k)不是整数,k=m+1,m+2,…. (M,t) -1
j(M,t) 稍<或= nt+j(m),有:
nt*’+j(m)=j((M,t*’) -1),j(M,t*’) 稍<或= nt*’+j(m),即:
t*’ = (j((M,t*’) -1)-j(m))/ n,
(j(M,t*’) -j(m))/ n稍<或= t*,j(M,t*’) 与j(m)都是有限值,t*不可能任意大。
例如:
n m j(m) t nt+ j(m) (M,t) j(M,t)
2 2 3 0 3 2 3
1 5 3 5
2 7 4 7
3 5 0 5 3 5
1 7 4 7
2 43 197 0 197 43 197
1 199 44 199
2 211 45 211
6 11 31 0 31 11 31
1 37 12 37
2 43 13 43
6 34 151 0 151 34 151
1 157 35 157
2 163 36 163
6 52 251 0 251 52 251
1 257 53 257
2 263 54 263
3 269 55 269
素数等差数列2:
SdcS= n I(x+1)t+ w(x);t=0,1,2,…,t*
w(x)=j(m)是数列的初项,是位数为x,顺序为m,的素数。
n是不=(w(x)=j(m))的整数倍,的任意正整数。
I(x+1)是位数为x+1的单位数。
t是数列的序数,t*是数列最后项的序数,t*+1是数列的项数。
由SdcS可见,只要n t不= (w(x)=j(m))的j(m),则除掉尾数w(x)=j(m)的前各位数即使能被某整数整除,则该整数必然不能整除j(m),因而,只要t不= (w(x)=j(m)),而且SdcS的各项,必有,小于它的所有素数,j(M),都不能被整除,SdcS就是,也才是,素数等差数列。
而当SdcS的某项,n (t*+1)+ j(m) ,能被小于相应的j*(M)某素数整除,该项就不是素数了,t*就是数列最后项的序数。
而且,即使SdcS的各项,都不能被小于相应的j*(M)某素数整除,当t*’= (w(x)=j(m)) ,SdcS就必能被j(m) 整除,就必然不是素数,而t*’= j(m)-1就是末项。
因而,SdcS是:初项(t=0)= j(m),等差值= n I(x+1),项数最多只能= j(m)。
因此,素数等差数列,SdcS,的项数只能是小于有限数 j(m),不可能有任意的长度。
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