伽罗华 理论的正确理解和修正 解任意n次不可约代数方程

中国科学院力学研究所吴中祥

提           要

任意1次到4次代数方程的公式解，根式解，早已被逐次求得。但大

于4次的，虽经历代数学家近500年的努力，却至今尚未得到[1]。特别是，1830年，伽罗华(Galois, E.)给出代数方程能够根式求解的判据[2][3]之后，学术界就似乎已公认n>4的不可约代数方程没有根式解。

本人2011年的博文[4]已具体分析得到：伽罗华理论所证明的，实际上，只是“在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4”，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

并且，具体给出了任意5次、6次代数方程的根式解法。还推广到m逐次增大的，任意n=2m和2m+1次代数方程的根式解的相应解法。其中，添加的根式都小于4，因而，都具体表明：对伽罗华 理论的如上的理解才是正确的，与实际相符，而不矛盾的。

本人2013年8月8日的博文[5]进而，给出任意n次不可约代数方程的多种公式解和

根式解。所添加的根式，也都小于4，也都更为有力的表明：纠正“通常错误理解伽罗华理论“的正确和必要。

本文将具体分析说明，并修正，伽罗华 理论。更为全面、确切地解决任意n次不可约代数方程求解的问题。

关键词：不可约代数方程 根式解 公式解 伽罗华理论

1.  伽罗华 理论的产生及其正确理解

早在公元前3世纪，就已得出2次不可约代数方程的根式解。但是，只到公元16世纪，才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。它们的解法都引进了含有方程参量系数的2次、3次的根式。

而此后的近4个多世纪，虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功。

进而伽罗华可能正是从解方程的过程中引进根式各方程的群的特点研讨，给出代数方程能够求得根式解的判据之后，阿贝尔(Abel, N.N. 1830) 据此，首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，学术界就似乎已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 。

而对于n>4 的不可约代数方程，就只能在具体分析其各“解”所在数域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数求解。这当然就给许多实际问题和理论工作造成不便。

其实，具体分析伽罗华理论[2][3]，确可证明：方程根式解的可解性是

相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

因此，伽罗华 理论所能证明的，只是：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n*>4时，一般不可约代数方程没有根式解”。

显然，其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，并非所解方程的次数n，按伽罗华理论，完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*等于所解方程的次数n，或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出n>4的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。因而，按伽罗华 理论，迄今似已公认的“n>4的不可约代数方程没有根式解”的结论，只有当n*等于n时，才能得出。

但是，n*并不必须等于n，若能使n*始终保持小于4，例如 [5]文采用的各种解法，就都能与正确理解的伽罗华理论并不矛盾地，求得任意n次不可约代数方程的根式解。

2.  代数方程变换变量、引入根式所形成的群

对于任何代数方程都可采用变换变量使其在复平面上移动、转动，使其各系数作各种有理运算和引进根式，而有不同的形式，这些不同形式的方程，形成相应的群。例如：

对于2次方程：

x^2+a1x+a0=0,                                                 (2.1)

引进含有方程参量系数2次的根式，一般而言，实际上，就是将方程变化到使其根在复平面移动、转动，即：能解得根式解：

x=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),

=-a1/2-((a1/2)^2-a0) ^(1/2),                             (2.2)

一般说，(a1/2)^2-a0，可能是负值，而((a1/2)^2-a0)^(1/2) 就可能是虚数。

实际上，一般而言，任意复数，s，则-s 的j次根式，(-1)^(1/j) s^(1/j), 就产生了以(-1)^(1/j)标志的各自与实数不同的数类。

当j=2，(-1)^(1/,2)就被定义为i，就标志该数是所谓“虚数”。

但是，当j=其它数，如果把它们也都当作是不同类的数，则当j非素数，该类是相应素数的相应次数的自乘积。都可形成不同的彼此正交的数轴。这种数轴可形成多维的复空间。而有许多复杂、麻烦。不能得解。

然而，实际上，它们都是与实数、虚数有各种不同的关系，例如：

(-1)^(1/2)=i,  (-1)^(1/3)=i’,  i^(1/3)=I’^(1/2), i^(2/3)=i’, … 等等。

因而，由此已可仅由实数和虚数的各种运算表达。而不宜采用其它任何新的数类。

这就表明：如果在方程的变换中，出现j大于2的其它数，的(-1)^(1/j)，就不能由这种变换而得解。为了求解就必须避免出现这种情况，否则，就不可能有相应的根式解。

对于3次方程：

y^3+b1y+b0=0,                                            （2.3）

就因可利用x^2+x+1=0,的2个根，w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2,

将y的3个根由w1，w2，及两个参量z1，z2，分别表达为：

y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，而按方程根与系数的关系，引进了含有方程参量系数的3次根式，但根式内的数值，取其绝对值，而不取(-1)^(1/3)的标志，而解得：

z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，             (2.3)

其中，根式内的数值都仅取其绝对值，并不出现(-1)^(1/j)；j大于2的情况。

于是，解得任意的3次y方程的根式解。

实际上，就是由w1，w2(有：w1+w2=-1，w1,w2=1)，及两个参量z1，z2，将方程变化到使其各根在复平面移动、转动，都能由两个参量z1，z2表达，而解得3次的根式解。

又因当时4次不可约方程的解，最高只引进了3次的根式，而认为5次以上的方程会需引进更高根式，而且一直未能得解。

因此，伽罗华 理论[2][3]，确可由此分析得出：方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

在博文“任意n次不可约代数方程的公式解”[5]中给出的任意n次不可约代数方程的多种公式解和根式解，也因所添加的根式，都小于4，而都能符合正确理解的伽罗华理论。

3.  对伽罗华 理论的修正

但是，按上节的分析，应只是在方程的变换中，出现j不=2的其它数的(-1)^(1/j)，就不能由这种变换而得解。

如能类似于解3次方程的方法，虽然，在方程的变换中，引进了大于2的其它数的根式，但是，并不出现j大于2的其它数的(-1)^(1/j)，就仍然能由这种变换而得解。例如:

可以利用：3次方程：y^3+y+1=0, 的解：

v0=(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

v1=w1(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

v2=w2(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w1-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，                  (3.1)

将4次方程：Y^4+b2y^2+b1y+b0=0,的各根分别由v0、v1、v2(有：v0+v1+v2=0;v0(v1+v2)+v1v2=1; v0v1v2=-1)，并引进z0、z1、z2，3个参变量，表达为：

y1=z0+z1+z2，y2=v0z0+v1z1+v2z2，y3=v2z0+v0z1+v1z2，y4=v1z0+v2z1+v0z2，                                    (3.2)

再利用各方程的各根与各系数的关系式，就也可求得有4次根式的4次不可约方程的根式解。

类似地，也可求得有更高次，乃至任意次，根式的更高次，乃至任意次不可约方程的根式解。

因此，应将伽罗华 理论修正为：只要在方程的变换中，避免出现j大于2的(-1)^(1/j)，就能由这种变换而解得可引入相应高次根式的任意次不可约方程的根式解。

4．参考文献：

[1]数学百科全书编委（顾问）苏步青等（主任）王元等科学出版社 1994

[2]Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980

[3] Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springer-Verleg 1955-1959

[4]“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

[5]“任意n次不可约代数方程的公式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-715274.html