最早接触分形，无疑是当年曼德博那个著名的问题“英国的海岸线有多长？”

毫无疑问，这是一个很酷很棒的注意，不是么？其最大的妙处在于利用1）非常简洁的表述（递归或者迭代的形式）2）展现了有限空间的无限测度。

lix文章中的“(5) 所以,不要为表面的表述误导. 分形曲线中, 我们丈量出来的无穷大,并不是说分形曲线长度真的无限地长,而仅仅表明我们采用的丈量的方法的无效. 这才是真正的无穷长度的含义.”

我表述赞同。究其原因应该不是真实测量长度的无穷大，而应该是测量维度的无穷可能性。

但是，就测量本身而言，其目的和结果是不能接受无穷大这样一个结果的。

希尔伯特，这位最伟大的数学家曾断言：“我们必须知道；我们必将知道”

但是，哥德尔很快就否定了这位伟大导师，否定了了数学的完备性和一致性。

第一，他证明了，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么这个系统不可能同时是完备的和一致的。也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，那么要么这个系统是自相矛盾的，要么有那么一些结论，它们是真的，我们却无法证明。

第二，他证明了，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们不能在这个系统内部证明它的一致性。这就是希尔伯特第二问题答案的一部分。

那么回到分形的测量上面来

测量必然是依赖于最基础的数学表达系统的，那么这个系统必然也不能是完备和一致的。所以，测量的结果最为算术的结果，在这个系统中就可能是自相矛盾的。这或许是一个可能的解释，当我们试图运用微积分来进行总体积分求和的时候，其结果就不再是无限了。因为，这跳出了原有的算术系统。

不同的系统这里举个例子来说明，测量一张书桌的高度，用cm可以算出一个结果（3050px）；用米尺可以得到一个结果(1 m)；用一把刻度抹掉了的500px的尺子，可以测量出6*20=3000px的结果。但在每一个系统里面，我们不能得出哪个更精确的表述。

那么是否可能对其统一呢？

我觉得是可能的。就像我之前所表述的“我们需要知道的测量结果是在一定程度或者尺度上的准确，而是符合我们一个大致预期的观测目的”。

从概念的角度来说，分形在实际应用中体现为“伪分形”，即有限范围尺度内的分形。从数学的角度，点线都是抽象的结果，而从实际的角度上来说，无线分形是不可能从技术角度实现的。也就意味着，我们需要解决的对象的尺度已经从无限缩小到了有限。理论上说，这是一个本质的飞跃。当然，我们不能否认分形在于有限空间里制造出潜在“无限”空间的能力（参考手机，以及汽车电容的设计）。

既然是有限范围，就意味着结果是可用测量表述的。那么在不同测度上或不同尺度上的，测量结果是存在的（可能相同，也可能不同）。因此，在有限尺度上，越小尺度的测量结果理论上应该比大尺度的测量要更精确。

但是注意，这只是理论上，即不考虑误差的情况下。实际情况下需要考虑到测量误差，而在小尺度上的出现误差的可能性是高于大尺度上的。即，小尺度上的测量的不稳定性高。还是桌子的例子，cm测量可能会多了25px，少了25px（随机误差）；多了250px少了250px（人为的系统误差），但是不太可能用m测量的时候会出现0m或者2m的可能性。换到土地分类的应用上的，1m象元被错分的可能性，也较1km象元来的大（这里不考虑混合象元分解的情况）。这种情况在实际工作中，尤其是在平衡整体分类精度中，非常常见。

从测量目的的目的的角度说（“大致的预期”），这里是从实用主义和功利的角度去进行描述的。即并不要求达到理论上的100%精确，而是达到一个可接受的精确程度。这是一个折中的办法，但是往往很有效，比如最小二乘法。

这里的大致预期的意思指的是我们对于测量的结果有一个大概的预判。比如，我们估计桌子的高度会在1m-1.3m之间，但是>2m的可能性是微乎其微的。同样，全国的耕地面积是在15-25亿之间的，超过或者小于都是不太可能的。

另外一个需要思考的问题是，有限范围的分形里，需要考虑最小尺度（或者精确度）的存在。测量一个桌子的高度用到cm一般而言就足够了，测量分子间的距离纳米可能都不一定足够准确。这都依赖于被测对象和观测目的的变换而变化。对于分形变化中log(N)/log(r)，N=被测物的长度（面积），r的分形尺度，我觉得也不可能一直是直线增长的，而应该以某种渐近线的形式存在。比如其一阶倒数在x趋近无穷的时候，应该趋向0.

回到海岸线的问题上来，海岸线究竟有多长？

我们并不知道

但是我们必须知道，我们必将知道，在某个尺度下，海岸线的长度。