在Edward Kasner的Mathematics and the Imagination里看到两条曲线，一条是“简单”的8-字圈儿：

另一曲线卷出一个妖精：

直观看来，第二条曲线复杂得多，然而它才数学的“简单”曲线，与圆圈是一样的；而8字不简单——因为它自相交了。

平面的简单曲线有一个简单的性质：将平面分成两个不想交的区域（内与外）。然而，这个简单而且直观的性质却不是自然而然的，它需要证明（所谓的Jordan定理，Jordan1887年提出它时，以为它是很显然的，却并没能正确地证明）——后来发现，证明它一点儿也不简单，需要同调论（有的初等拓扑书也给出过不用同调群的证明，如M.A. Amstrong, Basic Topology）。

Jordan定理还有更强的性质：简单曲线分隔的内外区域分别同胚于圆周分隔的内外区域。直观说来，这个性质似乎当然可以推广到高维情形：球面把三维空间分成两部分。可是，就在三维情形，出问题了。

    J.W. Alexander（普林斯顿高等研究院的第一批成员之一）在1924年不知怎么想出一个真不简单的东西——Alexander牛角球——说那怪物是“球”，因为它与球同胚（homeomorphic to a sphere）。问题就在，虽然这个“角”（连同它的内部）是一个“球”，但它的外面却不等于普通球的外面——因为球面的外部空间是但连通的（一个圈儿可以缩成一点），但这个“角球”的“外面”显然不是但连通的：例如，可以给角带一个圈儿。但这个圈儿显然不能缩成一点。亚历山大构想的这个东西，就证明了Jordan定理在3维情形不成立！

              从这个图可见那牛角是怎么生长的——竟然是一个分形！（想想Cantor集）

                                漫画家让那角长在Conway的头上

   可见，简单的并不简单，直观的却不直接。证明直观的东西，往往需要不直观的概念和方法——也就是要远离那个问题本身。