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群体智慧与中心极限定理
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英国科学家Galton曾记叙过这么一件事情。在1907年的时候，曾经在英国的一个集市上举行过一场“猜重量”的比赛。比赛的规则是猜一头牛的重量，谁猜得靠近真实的重量，谁就获胜，共有787人参加了比赛。可以想见，对于个人猜测，有些人猜得过高，有些人猜得低了，大部分人猜测的结果在离真实重量的正负几十磅内，少部分人的结果差得很离谱。可令人惊奇的是，如果把所有的答案平均起来，我把这个答案称之为“群体猜测”，其结果竟然只比牛的真实重量1197磅，相信吗？仅仅少了1磅（450克）。看来，“群体猜测”的结果要远远好于个人猜测。
在这儿需要说明一下，数学家一般用一个叫做分布函数的东西来描述人们猜测的结果。借用上面的例子，对于个人的猜测来说，比如猜1220磅附近的人有8个，占总人数的1％，猜1160磅附近的人数共有5个，占到0.6％。分布函数所描述的是猜测的结果以及猜到这个结果（附近）的人所占的比例。分布函数是一个应用非常广泛的概念，在日常生活中我们也常常遇到，也许没用到这个漂亮的名词。比如说，为了调查城市的交通状况，我们需要了解在马路上经常行驶的拖拉机的数量，小轿车的数量，大巴士的数量等等，然后算出各种车所占的比例。这个分布函数可以作为继续调查城市交通问题的一个基本数据。
对于上面“猜体重”这个例子，可以用数学上非常有名的中心极限定理来理解为什么“群体猜测”的结果好于个人猜测。为了理解这个“群体猜测”，请大家想象有很多场同样的比赛都在进行，因而可以产生很多个“群体猜测”。我们先做两个合理假定：1，这787个人都是独立进行的猜测，2，假定这些人的智商相差不大，或者说这些人的猜测结果遵循着相同的分布函数，比如说高斯分布。
高斯分布是数学中分布函数的重要一种，其特点是围绕着平均值左右对称，并且从平均值两边逐渐减小，到离开平均值一定距离后（这个一定的距离术语称为标准差），分布函数变得很小了。借用这个例子，平均值是牛的真实重量，猜测数值有些人过高，同样多的人过低，两者围绕着平均值是对称的。大部分人的猜测的重量都在离开真实重量的正负30磅内（标准差），如下左图。有了这两个假定，我们根据中心极限定理可以知道，“群体猜测”的分布是一个高斯分布，其平均值与个体猜测的平均值相同（在这儿即是牛的真实重量），但分布的标准差大大减小，是
个人猜测 群体猜测
图例：两图的纵轴都是概率，横轴都是所猜的重量，其单位是“磅”，图中的曲线都是高斯分布曲线。其中，左图是“个人猜测”，其平均值是1197，标准差是30；右图是“群体猜测”，其平均值也是1197，但标准差是1（注意比较两图的横坐标）。
在2004年，美国生物学家 Andrew M. Simons把这个原理用到了动物群体迁徙时的方向选择上[1]。对于单个的动物来说，可能因为记忆不够准确，或是感觉器官的偏差，不可能100％正确的选择运动的方向，会有比较大的偏差。可是，如果动物群体采用上文中“猜体重”比赛用到的“群体猜测”的方法而确定群体运动的方向，会大大的减少这种偏差，从而提高群体迁徙的效率。
这是一个很漂亮的比喻，但是再仔细一想，这种理解有很大的困难。比如说这个理论的前提是个体都做出独立的选择，也就是说没有相互作用，但这样的个体首先会难以形成一个群体。而且，即使形成了群体，对整体运动方向的获得需要能够即时的掌握全局的信息，这对于动物个体来说也是太高的要求。
对群体智慧的理解还刚刚起步，但每到黄昏的时候，当成百上千只的鸟在空中进行盛大的空中表演的时候，这个来自亘古的疑问会成为科学家新的动力。
2010最后一天 悉尼大学生物学院
[1] Many wrongs: the advantage of group navigation Andrew M. Simons Trends in Ecology and Evolution 19 453 (2004).
1，网友dailiangren认为我上篇文章《概率这个东西》中酒鬼散步的模型最终得到的高斯分布，可以由中心极限定理推导出来，确实如此（但这并非我上篇文章的主要内容），谢谢指出。
酒鬼的每一步的选择+1（向右）或 -1（向左）都是独立的、相同的随机分布，因而可以用到中心极限定理。值得指出的是，酒鬼的最终位置是每一步位置的和（并非平均值），因而可以解释为什么酒鬼最终位置的高斯分布的标准差是随着时间
2，在上篇文章中贴过关于以前学习中心极限定理时的两个计算机实验，为方便网友，再贴一遍（上个版本有网友说有格式问题，这个略微修改了一下，不知好了没有）。
通过计算机数值计算结果学习中心极限定理
https://blog.sciencenet.cn/blog-43547-399528.html
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