对我来说，概率不是那么抽象的东西。如果一个漂亮的女孩子对我说“我今晚75％可能会和你去看电影”，那么，我会花费比她说60％更多的时间去精心筹划事情的进展。当然，我也准备好了这个女孩子没有出现的情况，这是概率。

关于概率，数学中有一个有名的大数定理。它表明，如果我有无数次的上述的约会经历，最后才能精确的有75％的成功机会。对于大数定理的最简单的验证是抛硬币的游戏，如果这是一枚没有做过假的完好的硬币，那么理论上，每一个面朝上的概率都相同，都是1/2。可当你真的决定去做这个实验，或者编写程序让计算机模拟抛硬币（此即所谓的计算机模拟）时，就会发现，在相当长的时间内，掷出正面朝上的比例并非严格的1/2，而是围绕其上下波动，数学家称为涨落。而对于下一次掷骰子的结果，你不可能预测到。只有当你抛了无数次（严格的说，这需要你的儿子继续抛），结果才会由趋近到等于1/2。

为了让我的学生加深对概率的理解，我曾经在课堂上讲述了一个“酒鬼散步”的例子。假设有一个酒鬼，他从0时刻起，每秒钟走一步，以相等的概率向左或者向右行走，那么，t时刻他在哪儿？可以想见，这个酒鬼最终可能躺在很多地方，实际上在-t步到t步之间的任何一个位置都有可能，但在某些地方的可能性大一些，在某些地方的可能性会小一些。

根据概率理论计算，我会得意的宣布t时刻酒鬼的位置分布（所谓的位置分布即确定酒鬼的位置以及在这个位置的概率）。这是一个“高斯分布”——其形状是中间高，两边低，像一口钟，表明酒鬼在t时刻最有可能的位置是又回到出发点，离开出发点越远，可能性越小。可对于一个酒鬼的一次醉酒来说，你最终可能在-t到t间的任一个位置找到他，因此我的计算对这种情况毫无意义。可如果有1000个，或者更多至500,000个的酒鬼，严格按照上述的规则运动，那么，我的计算结果就有了生动的表现。

下面的两幅图的横轴是位置（以“步”为长度单位），纵轴是概率（某个位置酒鬼数目的百分比）。图中的实线是根据概率理论计算出来的酒鬼在200秒的时候的位置几率分布——高斯分布。而红色的点代表计算机模拟计算出来的酒鬼所在的位置及其概率。

      图1: 位置分布图，酒鬼的数量为1,000             图2：位置分布图。酒鬼的数量为500,000 

可以清楚的看到“大数定理”的体现，在酒鬼数量较少，仅仅1,000的时候（图1）， 实验值相对理论值涨落很大。如同你抛硬币，如果只抛了1,000次，正面朝上的几率也不会严格的是1/2。 可是，当酒鬼的数量达到500,000，这些酒鬼最后的位置分布几乎严格的遵循了理论结果。当然，如果你能够邀请更多的酒鬼参与到这个游戏中，你最后的理论与实验的结果将会更加吻合。

值得指出的是，“酒鬼散步”并非仅仅只是一个数学游戏，它帮助解决了物理学史上的一个著名难题。这个发现的背景是在20世纪初的时候，物理学界的主流还没有认同物质是由分子或者原子构成。在当时，科学家发现放到水中的花粉粒子（也称为布朗粒子）会无规则的运动，但并不明白产生这种运动的原因。到了1905年，当时瑞士专利局年轻的小职员爱因斯坦在他的一篇文章中指出，如果假设水是由大量水分子构成，其尺度大概是纳米（10^－9 米），那么大量的水分子会不断的撞击水中的布朗粒子，其尺度大概是微米（10^－6 米）。爱因斯坦假设布朗粒子在大量的水分子的撞击下，如一个酒鬼一般的在水中散步，并且根据酒鬼散步的理论计算出，布朗粒子位移的平方的平均值与时间成正比。这个预测在1921年得到了实验的证实，于是物质的原子分子观念被牢牢的确立了起来。

因为生命短暂，概率的概念与生活中的直觉经验会有矛盾。我的一个朋友不那么喜欢概率。前一段时间，电视台播放天气预报的时候，会报道某地的“降水概率是75％”。对此，我的这个朋友的结论是“可能下雨，也可能不下雨，等于没说。”可不管我们喜欢与否，一旦我们运用自己的理性思维，揭开其神秘的面纱，就会认识到它虽然有些“不近人情”，但在探索未知世界中的作用如此之大。

                                         12/12/2010 胡锋 于悉尼大学生物学院

 

有网友看了文章后，在讨论关于中心极限定理与大数定理的区别，这两个概念有时候容易弄混淆。我以前曾经用计算机数值模拟的方法帮助我理解了中心极限定理，附在文后，有兴趣的请阅读。


通过计算机数值计算结果学习中心极限定理.pdf

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