上次讲到本科阶段之于概率论学习的一些课程准备。其要义是两个，一是要培养对概念的直观理解，二是要多动手进行具体的演算。

今天简单聊聊研究生的基础课程学习。跟本科一样，我们不仅要学概率方向的专业课，也要学习一些数学基础课。关于数学基础课，我也说不好要学到什么份上，因为基础当然是打得越宽越好，但是人的精力和能力有限，不可能什么课都百分百投入去钻。个人意见，如果要挑一门最重要的，我的意见是《泛函分析》。本科我们也学泛函分析，研究生会更深入地学。特别是算子半群理论，它同样是现代概率论的基本语言。

下面重点讨论概率专业课程。专业课程里面，最基础的课程大致上有高等概率论，随机过程论，随机分析学以及高等统计学。其中，学概率的同学往往容易忽视高等统计学的学习，认为那对于以后的研究没有用处。我的个人意见，一定不要忽视统计学的训练，原因我在后面再讲。先还是一门门课来看：

高等概率论：可以理解成“基于测度论语言的概率论”。在很多学校，学习高等概率论的过程就是学习测度论的过程，也就是说，对于测度论的基本训练是在这门课当中穿插完成的。今天我想尝试从概率论的需求角度，谈谈测度论大致要学些什么？大家知道，概率论本质上是对随机事件的发生可能性赋以一种合理的度量。那么，在数学上我们要将“事件”这个概念抽象化，这就是为什么我们要从“集合论”讲起，利用集合论的语言，我们把事件表示成某个集合中的子集而已。进一步，对于事件我们总免不了要进行一些运算，这时就有必要考虑由这些事件组成的集合，即集合的集合，在测度论中叫做集合类。随后，就是要对事件进行度量，也就是赋以相应的概率测度。这当中有很多技术细节，主要是围绕如何在一个空间中构造测度来进行的。总之，测度论的第一步就是要把测度空间建立起来。后面的故事，我们可以这样理解：因为概率论中多半是考虑随机变量，所以引入可测函数的概念；由于要考虑期望，所以引入测度积分的概念；由于要考虑条件期望，所以要学符号测度和R-N导数的概念；由于要考虑多维随机变量、联合分布以及独立性等问题，所以要引入乘积空间。所以，测度论的知识要点都是跟概率论的需求对应着的。 

测度论的部分结束之后，高等概率论还有一大块内容，统称为极限定理。更具体的说，就是研究独立随机变量和的极限定理，大致上分为大数定律和中心极限定理。当然，学这两部分，会衍生地学一些其它知识，这里就不多提了。

总之，高等概率论的最重要任务，是用严格的测度论语言把在本科学的初等概率论的知识重写一遍，由此迈入现代概率论的门槛。

 

随机过程论：当然你也可以说这门课是用测度论的语言把本科学的随机过程的内容重写一遍。这门课的主要内容还是学习马氏过程，虽然会有个别例外（比如鞅）。首先，离散时间离散状态马氏链，这是最简单的，也是本科就大致能学懂的部分；然后，连续时间离散状态马氏链，国内也叫Q过程；接着，要学习连续时间连续轨道马氏过程的一个基本模型——布朗运动。也就是说，这三种模型组成了随机过程论的基本内容，基本上每一本教材都会涉及。至于其它部分，那不同的教材就有不同的倾向。总结起来会有这么一些：鞅论，遍历论，马氏半群理论，随机积分等等。我想，这几部分都需要概率专业的同学掌握。考虑到《随机分析学》和上述部分重叠，所以对于它们的学习可以采取渐进的策略。

 

随机分析学：很多高校并不开设这门课，虽然这是概率专业必须要掌握的内容。随机分析这门课，主要是学习随机积分，进而学习随机微分方程。这部分也可以理解成布朗运动的推广，因为这部分都是在讨论连续时间连续状态的过程。这部分也是概率论当中理论发展最成熟，应用最广泛的分支，其重要性不言而喻。

 

应该说，这三门课奠定了研究生概率论课程的基石。回到高等统计学，它的学习是对测度论以及概率论知识的一次检阅，也是对其概念更深的一次体会，统计不仅仅是概率论最直接的应用，是直接跟随机现象打交道的先锋，所以更是推动概率论发展的主要动力。

另外，研究生的概率训练还会有一些别的课程。但是，概率论的学习更多的是在处理具体模型，那种抽象的理论不多。比如，Levy过程（分枝过程），点过程，随机图论，排队论，粒子系统等等。从这个就能看出，概率论和随机过程是非常联系物理背景的，它更多的是针对某类具体模型而展开的研究。这为我们带来的学习便利是，能比较快的完成基础课程的学习，不利的一面是针对不同的问题，就还得不断充电。

总的说来，今天主要再跟大家讨论研究生的课程学习。大致上最核心的就是4-5门课。市面上的教材也很多，从使用的面来看，还是Rick Durrett教授的Probability: Theory and Examples概率论和随机过程论的基本教材，随机分析的教材最流行的是Bernt Oksendal的Stochastic Differential Equations。如果大家想把理论基础打得更深，WIsconsin的Kurtz教授有本Markov Process: Characterization and Convergence很著名，这本书比较理论，啃下来是不容易的，读之前要慎重，根据自己的需求来读。

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