研学小记 (1):

                                数学建模                                      

                                                                                    邹谋炎

 

用数学的描述方法来表达人对研究对象的认识，称为数学建模；而所生产出的描述，即称为数学模型。

1、数学描述的形式，即数学模型的形式是各种各样的。典型的有

   数学方程式（代数方程式，微积分表达式，算子表达式，等式及不等式组）；

   确定型、概率型、泛函约束型；

   拓扑图（Graph）、状态转移图或状态关系表、信号流图；

   可运算程序。

由此可见，教科书上表达物理定律的数学公式是数学模型。许多研究者在做的事就是寻找他（她）们认为能够正确描述研究对象的数学模型。因此，建立数学模型首先应该从物理事实上去探索研究对象所遵循的规律。

2、工程中常用代数方程组作为数学模型。

为了建立这种数学模型，可以（1）列出描述研究对象的所有可能的状态变量；（2）列出所有可能的环境（外作用输入和输出）变量；（3）对每个状态变量，写出它与其他状态变量及环境变量的（局部）关系式。

3、对时间序列建模常常是为了将时间序列分解成两部分：确定性部分和噪声部分。确定性部分反映时间序列的主导性质，如频谱分布，线性复杂性（模型的阶，或所需要的参数个数）。但应用上有时却要关心“噪声”部分。如预测误差滤波器，它输出的“误差”序列可能是对解的估计。

4、对图像及多维数据建模常常根据人对数据性质的某种假定来进行。例如（1）任何一个数据和它邻近数据的相关性质；（2）数据集合的总体性质（如平滑性、稀疏性、总变差量）；（3）与某已知数据集合在各种测度下的相似性；（4）数据的其他特定性质。如何依据这些假定推导出描述图像性质的数学模型需要一点技巧，并且具有多样性。虽然人为假定不一定真实，如果模型是参数化的，对各个图像使用同样的模型可以获得区分不同图像的不同参数组。这已经成为图像处理和多维数据处理的常用技术（识别、分割、配准，等等）。

5、含隐层的数学模型可以用来描述复杂系统和现象的性质。首先，需要分析和区分研究对象的“表象”和最深层的“内因”。“表象”应该是可观测的物理量组或过程。“内因”不一定能够被观测，但可以从物理机制上找到合理性的解释和猜测。“表象”和“内因”常常缺乏直接联系的关系表达。于是可以引入一层或多层“隐变量组”来建立联系。隐层状态参数和状态转移参数需要通过许多观测样本来进行迭代估计（学习或训练）。当训练达到模型参数趋于稳定，就获得了希望的含隐层数学模型。

6、数学模型的品质

   （1）确实性（Validity）（可验证性）和模型精度（Precision）。确实性这个指标通常用来评价“纯”确定性模型。确实性意味着可观测、可直接验证和重复。不过，称为“定律”的数学模型还是很多，它们都满足确实性这个条件。但在物理世界的更多情况下，用“纯”确定性模型不能准确描述存在非确定性扰动的情况，只用确实性就不够了。相应地，模型精度这个指标要在统计意义上来检验。

   （2）复杂性（Complexity）。在通常情况下，复杂性可以用参数化模型中需要的参数个数来表示。原则上说，更复杂的模型可能更准确。因此必须在模型误差和模型复杂性之间进行折中。Occam氏简化论（Occam’s Razor）主张，在有多种解释的情况下，最简单的解释最接近真实。这也是数据建模遵循的原则。这个问题直接联系着系统降维、压缩编码等深入问题。

   （3）数值稳定性（Numerical Stability）。这是应用中非常值得注意的问题。例如用多项式进行数据拟合建模，当阶高于4时可能会出现数值不稳定（小的参数误差可以引起大的模型误差）。有理函数模型、DFT内插模型或许更好些，但要分析和检验。某些特定的函数模型可能具有良好的数值稳定性，这需要结合物理事实来猜测和检验。泛函约束型模型常常将问题的解归结于一个最优化问题，并且内在地等价于稳健估计，因而可保证结果的数值稳定性。

如果你做数学建模，别忘了对模型品质进行检验和分析。

 

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