布里渊区的积分

此文全面总结了布里渊区的积分。对于周期体系的第一定律计算，在SCF的过程中（计算Fermi能，构造密度矩阵）和过程后（DOS，诸多可观测量）都涉及布里渊区（BZ）或约化布里渊区（IBZ）内的积分.由于解析积分要比数值积分快很多（解析方法还有其他一些优点，后面将会涉及），因此人们更希望得到解析解。计算这两类积分的方法，目前有两种，分别是特殊点方法(special points method）和四面体方法（tetrahedron method）。

特殊点法的优点是：所用的k点通常比较少，计算量较小。例如在高对称体系中，通常IBZ内几十个点，即可使总能量达到10¡4 Hartree精度。此外，特殊点法包含的高对称点比
较少，由于高对称点所含的能量、密度等分布信息较少，在能带计算中通常避免使用。虽然特殊点法有很多优点，但是由于它要求被积函数足够平滑，因此在处理能带部分占
据的体系（如金属）时，计算局部积分（如散射率，两种材料的界面）时，以及计算面积分I(E)时，存在困难。有时对有些半导体材料也会出现收敛问题[5]，甚至用上千个k点也不收敛[6]。

四面体方法最早由Gilat和Raubenheimer [9]最早提出，其核心思想借鉴了略早产生的有限元方法。四面体方法通过把被积分区域（IBZ）划分为小四面体（2维为小三角形，1维为线段），将积分变 为对这些小四面体积分后求和。根据在小四面体中所用被积函数的形式不同，又分为线性四面体LT（f为常数或线性函数，"为线性函数）、二次四面体QT（f 和"都为二次函数）、和线性-二次混合HT（f为线性函数，"为二次函数）四面体方法，这些方法总结在文献[10]中。此外，当µ函数或±函数从被积函数 中消失，还有人提出了三次四面体方法[11]。其实，早期使用的分割单元并不是四面体，而是立方体。相应地，有线性立方体[9]和二次立方体方法 [12]。以上提到的四面体和立方体，以及二维情况下的三角形和正方形，一维情况下的线段，统称为单形（simplex）。对大多数IBZ而言，由于立方 体无法完全填充IBZ导致边界问题，误差较大，因此目前很少采用。Chen还提出过另外一种四面体分割方法[13]。他把IBZ划分为一系列顶点位于¡点 的四面体长楔子，进而把三维积分转化为沿着这些长楔子轴向上的一维解析积分。

四面体方法用于二维和三维体系时，一旦考虑了对称性，或多或少都存在权重问题，无法避免。权重问题对体积分计算的影响并不大，但在面积分中比较严 重，权重问题对面积分的影响随着k点数目不断增多而逐渐减弱。对于一维体系，线性四面体方法蜕化为线段上的Simpson积分（参见文献[28] 的4.1节）。除了线段的端点以外，线段上任意一点都在积分中使用了两次，在均匀分割的情况下，权重是2；对于线段的两个端点，虽然它们都使用了一次，但 是两个端点是等价点，端点的总权重仍为2。因此对一维体系，在均匀分割的情况下，四面体方法不存在权重问题。

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