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《逻辑哲学论》（二）——逻辑常项与公理
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罗素与维特根斯坦（二）——逻辑常项与公理
罗素的逻辑构想可以从《数学原则》一书的标题开始加以考察，该书有5个标题，它们分别是：不可定义项或逻辑常项；逻辑的终极普遍性；存在域；内涵与外延；集合论与悖论。在罗素看来，不可定义项或逻辑常项是逻辑的最重要的部分，也是最复杂的部分。按他的说法，有8到9个这样的不可定义项。它们是：不含有变项的命题间的蕴含、从属关系、“如此这般（such that）”的概念、关系、真、命题函数、类、指谓（denoting）、任一或每一个项。我们知道，在形式化的逻辑语言之中，有两种常项，一是逻辑常项，在命题逻辑中就是命题的逻辑形式的联结词，包括～（并非）、∧（并且）、∨（或者）、（蕴含：如果……那么……）、≡（等值：当且仅当）等。在谓词逻辑中还有量词：（存在或有的）、（所有）等。还有就是非逻辑常项：比如命题常项P、Q、R等，个体常项a、b、c等。我在这些符号后用括号里的文字加以说明，是想表明这些符号和自然语言的一种联系，当然在完全形式化的语言中，这一做法是错误的，因为一个形式体系的构想应该独立于经验，独立于我们日常的推论，我们不能使这些符号在形式的意义之外带上任何日常的意义，这样才能保证其推导过程的完全的确定性。不过与经验的脱离总会使我们产生理解的困难，总会使我们想到这样一个问题，一个完全形式化的系统怎样能揭示日常语言的所谓语法并解决语言的错误使用的问题呢？基于这一点，摩尔在《伦理学原理》中把“善”“美”等概念作为伦理常项，并阐述其所谓公理的做法就更不可取了。
在谈到“指谓”问题时，罗素又列出了如下6个量词：所有（all）、每一个（every）、任何一个（any）、一个（a）、一些（some）、这个（the）。依据以上不可定义项和量词的限定，罗素就列出了一个自足的公理系统所需要的那些项。这不过表明，他列出的不可定义项对于他的系统是足够的，并不表明这些项就是一切系统所必需的初始概念。我们可以把罗素的不可定义项分为三类：第一类是关于真值函数和量词的；第二类涉及的是命题函数和集合或者是“类”和从属关系之间的对应关系；第三类是关于真的语义学概念和指谓的。
同样，罗素在他与怀特海合著的《数学原理》（Principia Mathematica）一书中，也列出了一些不定义的概念，它们是：基本命题的概念，命题函数的概念，肯定一个基本命题的真，一个命题的否定，以及两个命题的析取。虽然，他们对这些概念也作了解释，但是他们认为这并不属于逻辑的内容，因而不是逻辑的形式的展开。实际上，一切公理化的理论，总有一些不可定义的概念和不用证明的自明性公理。《数学原理》中也包含这样的基本公理：
（a）一个真的基本命题所蕴含的命题是真的。
（b）(p∨p) p
（c）q（p∨q）
（d）（p∨q）（q∨p）
（e）[p∨(q∨r)] [q∨(p∨r)]
（f）由p的肯定和p q的肯定可得q的肯定。
这些公理的不矛盾性和独立性是无法证明的，因为没有证明它们的方法。但是，可以从这些公理出发推导出逻辑的定理，罗素是以此来导出算术和分析。维特根斯坦在《逻辑哲学论》中也试图以此方法导出命题分析和演算，他对罗素给出的基本公理似乎并没有异议，不过他对逻辑常项的理解却不同于罗素。
罗素认为，基本命题是达到命题函数的一个步骤，命题函数是用性质来论述集合。基于此，维特根斯坦也认为“一切真值函数都是对基本命题做有限数目的真值运算的结果。（5.32）” 所谓真值运算就是如何由基本命题形成真值函数的方法。“按照真值运算的本质，正如由基本命题形成真值函数一样，也可以以相同的方法由一些真值函数形成一个新的真值函数。每个真值运算都从基本命题的一些真值函数再造出基本命题的又一个真值函数，即一个命题。对以基本命题做真值运算的结果所做的一切真值运算，其结果又是对基本命题的一个真值运算的结果。每个命题都是对基本命题做真值运算的结果。（5.3）”那么，“因为对之做真值运算的真值函数若是基本命题的同一个真值函数，运算的一切结果就是等同的。（5.41）”这样，我们就可以“明显看到，不存在（弗雷格和罗素所说的）‘逻辑对象’或‘逻辑常项’。（5.4）”据此，维特根斯坦得出结论，“显然，∨、等等不是右和左等等那种意义上的关系。弗雷格和罗素的逻辑‘初始指号’可交互定义就已表明，这些指号不是初始指号，更不标示任何关系。而且很明显，我们用‘～’和‘∨’来定义的‘’与我们用来同‘～’一起来定义的‘∨’的那个‘’是同一的，而且这个‘∨’和前一个‘∨’也是同一的，如此等等。（5.42）”同样，对于量词，“如果‘～（ x）.～fx’与‘（x）.fx’所说相同，或者‘（ x）.fx .x＝a’与‘fa’所说相同，也会出现逻辑常项的这种消失。（5.441）” “逻辑的运算符是标点符号。（5.4611）”它们标示的“诸如∨和之类的逻辑上伪似关系与真实的关系不同，它们需要加上括号。给这些表面上的初始指号加上括号确已表明，它们实际上不是初始指号。（5.461）”维特根斯坦认为，“对一切命题的形式，凡是从一开始就可以说的东西，我们一定能够一下子同时都说出来。基本命题确已包含了一切逻辑运算。因为‘fa’与‘（ x）.fx .x＝a’所说的是相同的。有组合之处，便有主目和函数，而有主目和函数之处，便已有一切逻辑常项。我们可以说，唯一的逻辑常项是一切命题按其本性彼此共有的东西。而这就是普遍的命题形式。（5.47）”从《逻辑哲学论》的这些命题中我们可以看出，维特根斯坦认为逻辑常项就是普遍的命题形式，而并不存在罗素所说的作为逻辑联结词的也就是所谓初始指号的那种逻辑常项或逻辑对象。普遍的命题形式就是命题的本质所在，那么对最普遍的命题形式的描述也就是对逻辑的一个唯一的普遍初始指号的描述了。
所以，罗素所说的作为逻辑联结词和命题的量词在维特根斯坦那里并没有被当作逻辑常项，这与维特根斯坦对基本命题的看法是相一致的。“如果一些对象被给出了，那么所有的对象从而也就被给出了。如果一些基本命题被给出了，那么所有的基本命题从而也就被给出了。（5.524）”只有基本命题通过名称的结合所显示的结构才是根本的，而作为通过真值运算把基本命题连接成命题从而赋予命题的逻辑结构是表面的，因为“一个运算可能取消另一个运算的结果。诸运算可能互相抵消。（5.2523）” “一个运算可以消失（例如，‘～～p’中的否定：～～p＝p）。（5.254）”那么，作为命题的普遍形式也就是真值运算的普遍形式，“这不过是说，每个命题都是对基本命题连续做N(`ξ)运算的结果。（6.001）”“如果给出了如何构成一个命题的普遍形式，那么从而也就给出了如何通过一个运算由一个命题产生另一个命题的普遍形式。（6.002）”这里所说的N(`ξ)运算就是对所有的基本命题进行同时否定。如果ξ只有一个值，那么N(`ξ)＝～p；如果有两个值，那么N(`ξ)＝～p∧～q；如果ξ的值是一个函数fx对于x的所有值而具有的全部的值，那么N(`ξ)＝～( x).fx 。维特根斯坦用一个逻辑常项“否定”就取代了上面所说的所有的逻辑联结词。舍弗（H.M.Sheffer）竖就是这样的逻辑常项。
上面我们说到有5个逻辑联结词，其中可以用～和∧或者～和∨来定义，就是 ( p q）≡～(p∧～q)与（p q）≡(～p∨q),因此就可以省略这一联结词；根据德摩根（De Morgan）律, ～(p∧q) ≡～p∨～q，～（p∨q) ≡～p∧～q，于是我们又可以省略∧或∨中的一个；而（p≡q）≡［( p q）∧（q p）］,所以，≡也可以省略。这样一来，我们就可以用2个逻辑联结词（～和∨，或者，～和∧）来构造一个逻辑系统。所有真值函数都可以改写为只含有这2个联结词的式子。逻辑学家舍弗发明了只用一个逻辑联结词构造的逻辑系统，这个联结词就是“↓” （joint denial合舍，指合取否定）或“∣” （alternativedenial析舍，指析取否定）。我们先看“↓”合舍运算，“p↓q”意为“既非p，又非q”，其真值与“～p∧～q”或“～（p∨q）”相同。我们可以用合舍来定义上面所说到的逻辑联结词：
（a）def. ～p＝(p↓p)
（b）def. p∧q＝[(p↓p)↓(q↓q)]
（c）def. p∨q＝[(p↓q)↓(p↓q)]
（d）def. p q＝{[(p↓p)↓q]↓[(p↓p)↓q]}
（e）def. p≡q＝{[(p↓p)↓q]↓[(q↓q)↓p]}
同样道理，我们可以用析舍运算来定义这些逻辑联结词，我在这里就不作赘述了。这样，5个逻辑联结词就可以用一个联结词来代替。维特根斯坦所说的对基本命题作N(`ξ)运算就是指这样的舍弗运算。这样一来，就只有一个逻辑常项了，而作为这样的命题的普遍形式也是指一种逻辑运算方式而已，对命题的普遍形式的描述也就是对逻辑唯一的普遍初始指号的描述，这一逻辑常项也就是一切命题其本质上所共有的东西，就这一点来讲普遍的命题形式是命题的本质，指出这一点也就指出了命题描述世界的其形式上的本质，从而也指出了世界的逻辑本质，这一本质不是实质上的或内容上的，而是逻辑对世界的一种映照关系，其确定性也在于其形式的唯一性和简单性，虽然它只是一种运算方式。“逻辑问题的解决一定是简单的，因为简单性是它们树立的标准。人们总有一种预感，觉得必有一个领域，对这个领域的问题的解答是先天对称地联结着，而形成一个独立自足的有规则的结构。这是simplex sigilum veri(简单性是真理的标志)这条定理对其适用的一个领域。（5.4541）”如果我们正确地引进了逻辑指号，那么我们由此也就将其一切结合的意义引进了，罗素所列出的逻辑公理也可以用新的符号加以改造。但是从实质内容上来讲，这种运算不会对命题的意义有什么影响，命题的意义仍然是由基本命题的意义来决定。逻辑常项不代表什么东西（4.0312）,运算也并不陈述什么，只有运算的结果才作陈述，而这是要取决于运算的基础，也就是基本命题的意义。
伯特兰 罗素
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