为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计 

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

黎曼猜想： Riemann Hypothesis

   对于正数 n，π(n) 表示“小于或等于 less than or equal to ” n 的素数的个数。

一、两个不需要“假定黎曼猜想正确”的“素数计数函数”估计

图1  π without Riemann hypothesis 23

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/PrimeNumberTheorem/Inline46.svg

图2  π without Riemann hypothesis 24

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/PrimeNumberTheorem/Inline49.svg

   上面，Li(x)，或者写为 li(x)，是高斯的估计，即对数积分 Logarithmic Integral =

二、打听：这两个估计的效果

   （1）已经证明了它们是正确性了吗？

   （2）哪里有它们误差的数值仿真结果？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

   素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。关于素数分布性质，通过数值观察、计算和初步研究发现，素数分布是以黎曼公式为中心，高斯公式为上限的正态分布，这在现在来说是经验公式，待数学家给出严格证明之后才能成为数学定理。

[2] 科普中国，2021-12-31，黎曼假设

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289304

   1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。

[3] bilibili，2022-03-14 14:11，黎曼猜想

https://www.bilibili.com/read/cv15653584/?opus_fallback=1

   大素数间隙猜想

   另一个猜想是大素数间隙猜想。哈拉尔德·克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，素数 p 与其后继者之间的间隙将会为。平均来说，该间隙的阶仅为O(ln(p))，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。 作者：Swicochev 

[4] 图灵编辑部，遇见数学，2025-06-25，牛津大学数学教授索托伊 ：为什么说黎曼猜想是“危险的”？

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAxNzg3MTE3Ng==&mid=2247524648&idx=1&sn=6be1904df336dd5c8ac43c606d5c60d1&chksm=9ab4c6a5052ea7950f70b90e2147d2b98909da49d91dbf64dd3935e4f9a0c312e8e57cbdbb73&scene=27

   如果RH被证实，我们对素数分布的精细结构（如相邻素数的间隔、素数在各种序列中的出现规律等）的理解将达到一个前所未有的高度；如果RH被证伪，意味着素数分布可能比基于RH预测的更加“无序”或遵循不同的深层规律，这将迫使数学家寻找新的理论框架来描述素数。

[5] 科普中国，2021-09-22，最高楼·孪生素数猜想

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=77321

   孪生素数猜想是一个关于素数分布的著名数学猜想，提出存在无穷多对相差为2的素数（即孪生素数）。尽管数值计算表明这类素数对不断出现，但至今没有严格的数学证明。它是希尔伯特第八问题的一部分，与黎曼猜想并列为数论中的核心难题之一。该猜想反映了人们对素数随机性与结构性的深层探索。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html  

[2] 2026-03-08 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（4）：素数定理，黎曼两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524948.html

[3] 2026-03-07 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（3）：素数定理，高斯两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524859.html

[4] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[5] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[6] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[7] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[8] 2024-11-02 22:49，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458252.html

[9] 2013-07-23 11:51，孪生素数：相关介绍和链接

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-710546.html

[10] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[11] 2024-05-19 22:49，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[12] 2026-01-21 20:45，[往日（22）] 外国 Science 文献给出“人类最高成就”者的部分统计原因（相关性）：宽基础、重积累

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1519414.html

[13] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

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