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对一道困扰中国力学教学界40多年习题的思考  

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摘要：以弹簧振子为例从矢量力学、分析力学的角度分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略变换的不变性，解决了这个问题的争论．机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力，不是质点加弹簧，只需研究质点即可.文章分析了造成这个习题争论40多年五个方面的原因：功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对轻质弹簧做功；弹簧振子的机械能是质点的弹性势能+质点的动能，不是弹簧的弹性势能加质点的动能，轻质弹簧在忽略质量的同时也忽略了弹簧的动能和势能，E_p =kx²不是弹性势能的一般公式，仅仅适用于特殊情形，建议从教材中删除或者指明其适用范围；正确理解惯性系、功的定义和保守力.地面系作为惯性系的同时忽略地球能量、动量、角动量等物理量的变化.

关键词：轻质弹簧；伽利略不变性；弹性势能；力学相对性原理；机械能守恒

中图分类号：O313.1文献标识码：A

一.问题的提出

参考文献[1～29]都有这样一个题目：

一质量为m的小球与一劲度系数为k的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动．试问在一沿此弹簧长度方向以速度u相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由（忽略空气阻力）.

解：假设地球质量为充分大，忽略地球能量的变化，按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.

方法1（矢量力学角度）：在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线ox为x轴，建立直线坐标系如图1所示.

当t=0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为：

x=Acos(ωt)，其中ω²=k/m，k=mω².

设小球的速度为v，加速度为a，受到的力为f，动能为E_k(t)，势能为E_p(t)，机械能为E(t)．则有：

v== -ωAsin(ωt)，a== -ω²Acos(ωt)，f=ma=-mω²Acos(ωt)=-kx.

E_k(t)=mv²=m[-ωAsin(ωt)]²=mω²A²sin²(ωt)=kA²sin²(ωt).                    （1）

dE_p(t)=-fdx=kxdx=d，E_p(t)=kx²+C.

将初始条件t=0时，x=A，E_p(0)=kA²，

代入上式得：kA²=E_p(0)=k×A²+C，C=0，E_p(t)=kx²+C=kx²+0=kA²cos²(ωt).（2）

E(t)=E_p(t)+E_k(t)=kA²cos²(ωt)+kA²sin²(ωt)=kA²=常数.                            （3）

设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系（设为小车，见图1）刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当t=0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.

设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为x₁，v₁，a₁，f₁，E_1k(t)，E_1p(t)，E₁(t)．则有：

x₁=x-ut=Acos(ωt)-ut，v₁==-ωAsin(ωt)-u，a₁== -ω²Acos(ωt)=a，

f₁=ma₁=ma=-mω²Acos(ωt)=-kx．（说明：f₁≠-kx₁，如果把胡克定律表示为弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变的方向相反，那么胡克定律适用于所有惯性系，但此时形变大小不是位移）.

E_1k(t)=m=m[-ωAsin(ωt)-u]²=m[ω²A²sin²(ωt)+2ωuAsin(ωt)+u²]=

kA²sin²(ωt)+mωuAsin(ωt)+mu².                                        （4）

文献[30]证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，因此在小车系质点受到的弹力也是一个保守力.

所以dE_1p(t)=-f₁dx₁=kxd(x-ut)=kxdx-kuAcos(ωt)dt=d，

E_1p(t)=kx²-mωuAsin(ωt)+C．将初始条件t=0时x₁=x=A，E_1p(0)=E_p(0)=kA²，

代入上式得：kA²=E_1p(0)=kA²-mωuAsin(ω×0)+C，C=0，E_1p(t)=kx²-mωuAsin(ωt)+C

=kx²-mωuAsin(ωt)+0=kx²-mωuAsin(ωt) =-mωuAsin(ωt)．          （5）

因此势能是时间t的一元函数，不能认为此时势能显含时间.势能显含时间是指势能是时间和坐标的二元函数，势能对于时间的偏导数不等于0，这里是势能与时间有关——势能对于时间的导数不等于0.文献[28]是完全错误的.

E₁(t)=E_1p(t)+E_1k(t)=kx²-mωuAsin(ωt)+kA²sin²(ωt)+mωuAsin(ωt)+mu²=

kA²cos²(ωt)+kA²sin²(ωt)+mu²=kA²+mu²=常数.                            （6）

所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系的机械能仍然守恒，守恒值为kA²+mu².

当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等.从上述推导可以看出两点：当u≠0，只有ωt=nπ，nÎN时才有：E_p(t)=E_p1(t)；当u=0时，二者显然相等，这也符合玻尔的对应原理.

方法2（分析力学角度）：设弹簧振子处于平衡位置时振子的位置为坐标原点o，沿横轴x方向以v运动的惯性参考系中的动能为，势能为，则x=Acos(ωt)，k=mω²，==-ωAsin(ωt)，a==-ω²Acos(ωt)，=x-vt=Acos(ωt)-vt，==-ωAsin(ωt)-v，

==-ω²Acos(ωt)=a，=m=ma=-mω²Acos(ωt)=-kx．

(t)=-=kxd(x-vt)=kxdx-kvAcos(ωt)dt．(t) -(0)==xdx-ω²vAcos(ωt)dt=kx²-k×0²-[mωvAsin(ωt)-mωvAsin(ω×0)].

(t)=kA²cos²(ωt)-mωvAsin(ωt)，(0)=0．

(t)=m=m[-ωAsin(ωt)-v]²=m[ω²A²sin²(ωt)+2vωAsin(ωt)+]=kA²sin²(ωt)+mvωAsin(ωt)+m.=(t)+(t)=kA²sin²(ωt)+mvωAsin(ωt)+m+kA²cos²(ωt)-mωvAsin(ωt)=kA²+m=const.所以变换后系统的机械能守恒，守恒值为kA²+m.所以==0.

文献[6，14～18]的解法与答案与本文相同.

由于忽略质量，轻质弹簧不具有动能和势能^[18][30]，与质点的自由落体运动类似，只需研究质点就行了，如果考虑质量，把质量按照比例加在质点上就行.或者考虑为若干个受弹力作用的质点，不考虑弹簧质量时是单质点，考虑弹簧质量时是若干个受弹力作用的质点，但是根据动能定理和势能定理每一个质点在弹力作用下动能的变化量和势能的变化量互为相反数，机械能不变^[31].假设轻质弹簧具有势能不具有动能，把一个轻质弹簧在弹性限度内产生弹性形变后，放入真空中，长度不断变化，势能不断改变，动能始终为0，不满足能量守恒定律.

二.四十多年争论的根源

2.1弹性势能公式分析

小车系测量的质点的弹性势能为

E_p(t)=-mωuAsin(ωt)=kx²-mωuAsin(ωt)=mω²x²-mωuAsin(ωt)，可以发现质点的弹性势能与质量成正比，符合质能方程的要求，势能不是伽利略变换的不变量.

E_p(t)=-mωuAsin(ωt)=kx²-mωuAsin(ωt)=mω²x²-mωuAsin(ωt)没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例——观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0（相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上运动），不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性.单独的场具有不变的物理意义，而单独的势不具有不变的物理意义，势的客观性是通过其整体性来体现的（表现为只有相对值）.

2.2经典弹性势能公式的局限性分析

在经典力学中，动能、动量和角动量都与质量成正比，符合质能方程的要求.根据爱因斯坦质能方程E=mc²,能量一定与质量成正比，E_p=kx²无法体现.E=kx²与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性.笔者建议把公式E_p=kx²教材中删除，或者指明其适用范围，它不是弹性势能的一般公式，dE_p=-fdx是势能的一般公式.

E_p=kx²=mω²x²适用于弹簧振子中质点的弹性势能，但是不适用于所有的惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，而且势能零点必须选在平衡位置，其他情况不成立.考虑弹簧质量时，E_p=kx²是弹簧的机械能公式，弹簧静止时是弹簧的弹性势能，也不适用于任何惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，而且势能零点必须选在平衡位置、弹簧必须在弹性限度内.质点受到非弹簧的弹力时势能也不能利用E_p=kx²计算，对于其它弹力产生的弹性势能就更不成立了.

如果坚持E_p =kx²适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了小车系机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理但不具有单独协变性等错误的理论^{[25，27～29]}.在经典力学中机械能守恒定律可以认为是牛顿运动定律的推论，牛顿运动定律满足力学相对性原理，机械能守恒定律不满足力学相对性原理，就等于推翻了牛顿力学.

2.3正确理解功的定义

文献[32]分析了功的三种定义方式是一致的，本质上在于如何认识力的作用点的问题，功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对没有质量的弹簧做功.根据牛顿第二定律，力必须作用在有质量的点上，因此在本题中力的作用点为质点，而不是弹簧.

由于质点的势能是蕴藏在场中的能量，因此质点的势能无法直接对外界做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功.我们默认地面系为惯性系的同时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化.

文献[31]给出了弹性势能的概念，只要质点受到保守力弹力就具有弹性势能，因此弹簧振子问题中是质点的弹性势能，而不是弹簧的弹性势能^[15～16].在弹簧振子问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理.场概念的提出，不仅仅是电磁学，而是整个物理学甚至是包括数学在内的全部科学理论的一次质的飞跃.

2.4保守力的认识

现在大部分教材指出保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力^[33]（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力^[34]、匀速圆周运动的约束力、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）、弹性碰撞中的弹力以及浮力^[31]等，文献[35]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换，当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献[36]提出了约束力是保守力，文献[37～38]验证了约束力是保守力.即使考虑弹簧的质量，由于约束力是保守力，也不改变系统的机械能，小车系测量质点的机械能依然守恒.

质点的势能是弹性势能，没有弹性形变，文献[31]指出质点只要受到弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变.

观察者相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，但是此时需要增加一个惯性力，文献[39]证明了惯性力也是一个保守力，机械能也守恒.保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力，势能不可能显含时间，文献[28]和[40]是完全错误的.爱因斯坦的广义相对性原理是完全正确的：物理规律对于所有的参照系都相同.

2.5惯性系的认识

在经典力学的实验中，我们一般把地面系视为惯性系，此时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化，地球不再是问题的研究对象，地球质量视为无穷大，此时没有惯性力，地面无法对外做功，文献[1～5]是完全错误的.

物理学中没有真正的无穷大，只有相对无穷大.对于大部分力学实验，由于实验设计物体质量相对于地球质量而言极小，因此地面系视为惯性系，地球质量视为无穷大.研究太阳系星体的运动，太阳质量充分大，太阳视为惯性系.^[41]

有人提出在功能原理中去掉外势能，引入外势能没有必要^[42～48].如果去掉外势能，利用内势能计算，地球的具体质量我们不知道，而且地球的质量是一个变量，地震、海啸、山川河流、暴风骤雨以及人类活动等对于地球运动的影响远远超过质点运动对于地球运动的影响，不具有可操作性.其实现在力学教材都是从单质点的势能——外势能定义的，在推导重力、万有引力、弹力是保守力时也是按照一个质点受到的力推导，没有考虑两个质点.

“势能属于系统”仅仅适用于内势能^[49]，此时势能是相对位置的函数，一对保守力的功等于势能的减少量，势能是伽利略变换的不变量；对于外势能，势能是坐标的函数，dEp=（-f）dr，势能不是伽利略变换的不变量.^{[6,15,32,34,35,38]}

惯性系里没有惯性力，文献[1～2]和[28]利用惯性力研究这个问题属于概念不清.

2.6势能零点的选择

在机械能守恒定律中势能的零点可以自由选择，但是这个自由选择必须遵循一定的要求——相对于观察者或者说坐标原点不变，上面的解答中小车系的势能零点是地面系势能零点的伽利略像点，并非地面系的势能零点，所以测量的势能不再是E_p =kx²，文献[27～28]正是由于错误选取势能零点，才导致在小车系机械能不守恒的错误结论.

三.主要结论

笔者查到关于这个习题讨论的最早文献为[50]，此后大中学校教师乃至中国科学院力学所纷纷发表大量文章讨论，始终未能定论，然后编入大学教材^[3，12]_，至今已经延宕40多年了，甚至作为中学生物理竞赛试题考察^[15].弹性势能的机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性^[6]，内势能差是伽利略变换的不变量，外势能差不是伽利略变换不变量.机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力^[51]，不是质点加弹簧，只需研究质点即可.文献[8，52～54]证明了机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，所有力学规律都满足力学相对性原理.^[55～56]

致谢：文章在写作工作过程中，曾经受到广义相对论专家、原河北师范学报（自然科学版）副主编、河北师范大学物理学院刘明成教授，两弹元勋、国家自然科学一等奖获得者、中国科学院三等奖获得者、中国科学院力学研究所吴中祥研究员，中国科学院资深院士、美国杜邦公司中心研究院沈致远院士的多次指导，在此谨致谢忱！！

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Thoughts on An Exercise Problem that Has Troubled China Mechanics Teaching Circles for More than 40 Years

Abstract: With the spring oscillator as an example, the conservation law of mechanical energy of elastic potential energy of external potential energy satisfying the principle of relativity was analyzed from the perspectives of vector mechanics and analytical mechanics, which was found to have independent covariance. The elastic potential energy does not have the invariance of Galilean transformation, which solves the debate on this issue. The conservation law of mechanical energy is the law of particle dynamics. In a spring oscillator, the particle is subject to a linear restoring force but not a particle plus a spring, so the study only needs to be conducted on the particle. The paper analyzes the five reasons for the debate on this issue for more than 40 years: Work is the product of the displacement of a particle and the force it experiences, the wall can’t do work on the lightweight spring; the mechanical energy of the spring oscillator is the elastic potential energy of the particle + the kinetic energy of the particle, not the elastic potential energy of the spring plus the kinetic energy of the particle. The lightweight spring ignores the mass as well as the kinetic energy and potential energy of the spring, E_p =kx² is not a general formula for elastic potential energy, which is only applicable to special situations. It is recommended to delete it from the textbook or indicate its scope of application; correctly understanding the inertial system, the definition of work, and conservative forces. The ground system serves as an inertial system while ignoring changes in physical quantities such as the earth's energy, momentum, and angular momentum.