6答《就对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷一文的讨论》.doc

答《就<对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷>一文的讨论》

摘要：说明了论文《就<对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷>一文的讨论》错误．

关键词：物理竞赛试题；弹簧振子；动能；势能；机械能守恒

中图分类号：O 313.1  文献标识码：A

《科学网》发表了陈奎孚先生评论我们的论文《对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷》^[1]的稿件《就<对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷>一文的讨论》（简称为陈文）．对于陈文的评论，我们分1，2两大部分回应如下：

1关于和陈文讨论的总体意见

1.1关于我们论文的错误

陈文在其1中⑵里说：【“轻质弹簧抽去其质量属性以后，只是作为传递力的工具”的“传递力的工具”很不恰当．】

【文[1]的最后一段“由于在这个问题中弹簧仅仅是传递弹力，约束力与保守力是同一个力”必然是不正确的．】

力的大小、方向和作用点是力的三要素，但是我们必须本质地看待力的作用点问题，根据牛顿第二定律力必须作用在有质量的点上，因此在研究弹簧振子和单摆问题中必须注意这个问题.在弹簧振子问题中，一般不考虑弹簧质量（如果考虑弹簧质量，在各个惯性系机械能都不守恒，就不是弹簧振子了，这与实验中的弹簧是有区别的，实验中的弹簧由于具有质量同时具有动能和势能.），因此弹力的作用点是振子（或者说小球），而不是弹簧. 有些力学教材给出的弹性势能的定义——由于弹性形变而具有的势能叫弹性势能，此时必须考虑弹性体的动能，否则会造成矛盾.例如把一个弹簧压缩后放入真空中，它的势能不断变化，如果不考虑动能，显然不满足能量守恒定律.这样动能定理就不成立了，外力做功了，动能却没有变化.弹弓和弯曲的树枝等发生弹性形变的物体具有势能，在变化的过程中也具有动能，实践中可以忽略动能，是近似处理.如果把弹性势能定义为由于质点受到弹力作用而具有的势能叫做弹性势能就比较完整了，不但包括弹簧振子中的弹性势能，也包括具有质量的弹簧、弹弓、弓箭等弹性势能，甚至包括斜面上的滑块受到的弹力——支持力等具有的弹性势能.

既然力的作用点是小球，所以没有质量的弹簧可以认为是传递力的媒介.我们可以把牛顿第二定律和欧姆定律进行类比，合外力相当于电压，质量相当于电阻，加速度相当于电流.这是理想化模型，类似于导线抽取电阻、电感等属性后用电器的电压等于电源两端的电压一样.弹簧振子不是弹簧+质点，而是质点受到线性回复力.下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力，劲度系数依然按照k计算的错误——假设墙壁的作用力单独改变振子的机械能，与振子的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当振子运动到最大位移处，振子对于弹簧的拉力F=kA.对于小车系，测量的力也是F=kA，墙壁的拉力是F₁=-kA，如果此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量，显然是错误的.

1.2关于我们论文的原则

1)在科学的研究中，要证明一个命题是否正确，必须以科学理论中的定义、公理、定理、原理、定律、公式等作为正确的标准来推理．这是科学理论中起码的常识，也是我们论文里基本的原则．

2)在力学的研究中，因为物体具有体积，所以当力作用到物体上的不同位置时，就会产生不同的效果，这就对力学的研究带来极大的不便．为了方便起见，人们就抽掉物体的体积，只留下物体的质量，并把只有质量而无体积的物体叫做质点，研究质点的力学叫做质点力学．因为抽掉物体的体积在实践中不能做到，所以质点是个理想模型，研究理想模型得出的结论叫做理论．

3)在研究弹簧振子的振动时，因为弹簧不仅具有体积，而且还可变形，所以弹簧的运动要比一般物体、刚体的运动更为复杂，与质点的运动也很不同，这就给弹簧振子的研究带来不便．为了方便起见，人们就抽掉弹簧的体积和质量，只留下弹簧产生弹力的性质，并把只有产生弹力的性质而无体积和质量的弹簧叫做轻质弹簧．因为抽掉弹簧的体积和质量在实践中不能做到，所以轻质弹簧是个理想模型，研究理想模型得出的结论叫做理论．

在研究一端固定在墙壁上的弹簧振子的振动时，必须把弹簧视为轻质弹簧．

4)在物理学的研究中，往往使用数学理论中的坐标系，把带有坐标系的参考物体或参照物体叫做参考系或参照系．在数学、物理学理论中：每一个坐标系或参照系只能有一个原点．这是数理理论中起码的常识，也是我们论文里基本的原则．

2关于和陈文讨论的具体意见

2.1对于陈文的1的意见

1)陈文在其1中说：【文[1]认为参考答案是错误的，论证的手段是数学演绎，然而该演绎有一个关键失误，即文[1]式(4)下方的（本段随后叙述根据文[1]）=- (1),式中：，，分别是匀速运动参考系中观察到弹簧势能，小球位移和位移的微分；为弹簧势能的微元；f=kx为小球所受到的力．

如果动参考系的速度u=0，那么就回到了x(见图1),(1)式无疑是正确的，但是如果的坐标原点也在运动，那么再使用式(1)就不合适了．】

陈文要说明式(1)【失误】、【不合适】，必须用定义、公理、定理、原理、定律、公式等作为正确的标准来推理.

2)陈文在上述1)中那一段里还有4个小错误如下：

①陈文说的【匀速运动参考系】或【动参考系】错误，把其改成小车参考系才正确．因为小车系和地面系的运动是相对的，在小车上观察时，小车就成了静止系，地面就成了运动系．

②在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型，实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题.陈文说的【弹簧势能】错误，把其改成“振子势能”或“小球势能”才正确．理由为：从上述1.2中的3)里知，在研究一端固定在墙壁上的弹簧振子的振动时，必须把弹簧视为轻质弹簧．轻质弹簧是没有质量的．据力学中力的定义知，力是物体间的相互作用，物体被视为质点后，力就是质点间的相互作用．所以力不是物体或质点和几何点间的相互作用．所以物体或质点施与的力不能作用在已成为几何点的轻质弹簧上，所以轻质弹簧不能受到任何力的作用而做功，所以轻质弹簧就没有由功转化来的势能了．因为弹簧振子体系质点受到线性回复力，所以弹簧振子体系的势能就全部归于振子或小球了．所以把【弹簧势能】改为“振子势能”或“小球势能”才正确．

再说陈文的文献[10]在第164页上定义弹簧振子的势能时说：“这个质点在弹力作用下相对于平衡位置具有转换成其他运动形态的一定‘能力’，称为质点在弹力作用下相对于平衡位置的弹性势能”．这就是说，文献[10]早已明确声明：弹性势能是属于质点的，即是属于振子或小球的，当然就不能属于弹簧了．所以把【弹簧势能】改为“振子势能”或“小球势能”才正确．

E(t)= kx²=mω²x²，如果这样表达弹性势能，就可以看出弹性势能属于小球，而不是属于弹簧.

③陈文说的【f=kx】错误，把其改为f=-kx才正确．因为据力学中的胡克定律知：f=-kx．

④陈文说的【的坐标原点也在运动】是错误的．因为坐标原点不属于而属于参照系，且相对于系并不运动．

3)陈文虽然没有用上述正确的标准来推理论证，但是也企图用类比的方法来说明我们的式(1)【失误】、【不合适】．例如陈文说：【比如图2的两个自由度系统，第二个弹簧k₂的势能E_p2(t)按照式(1)的逻辑究竟应该为 dE_p2(t)=-fdx₁ (此处f=k₂(x₂-x₁)) 还是dE_p2(t)=-f dx₂ 呢？显然二者都不对．E_p2(t)应该是x₁和x₂的二元函数 (其实势能应该写成 E_p2(x₁，x₂)，但是为了与文[1]的符号一致，还是用了E_p2(t))，它的全微分应该为

dE_p2=dx₁+dx₂         (2)】．

对陈文的这个类比法，我谈4条意见如下：

①我们的论文讨论的是一个弹簧振子系统．陈文的类比法中举得例子是两个弹簧振子系统，而且这两个弹簧振子系统还串联在一起，这就使得每个振子的受力情况比一个弹簧振子系统中振子的受力情况不同．这种结构及受力情况的不类同，导致了陈文的类比法中举得例子和我们论文中的弹簧振子系统没有类比性．

②利用类比法举例时，举得例子应该与被比的事物类同或更简单．而陈文举得例子与被比的事物要复杂得多，这就大大增加了用类比法说明问题的难度，从而失去了使用类比法的意义．

③利用类比法举例时，举得例子必须正确．而陈文在自己的类比法中说的【E_p2(t)应该是x₁和x₂的二元函数(其实势能应该写成E_p2(x₁，x₂)，…)，它的全微分应该为

dE_p2=dx₁+dx₂         (2)】

没有说明理由，故无法保证式(2)正确．事实上，【E_p2(t)应该是x₁和x₂的二元函数】和式(2)都是错误的．因为二元函数的两个自变量必须互相独立，而x₁和x₂却同时变化．这说明陈文对二元函数的定义理解错误．

④如果纠正了陈文在上述①，②，③中的错误，那么就使陈文的类比法中的例子成为一个弹簧振子系统，故按照式(1)的逻辑有dE_p(t)=-fdx．而陈文通过【如果动参考系的速度u=0，那么就回到了x（见图1），式(1)无疑是正确的】承认了dE_p(t)=-fdx正

确，因此也就承认了我们的式(1)=-正确．

4)其实，我们的式(1)是正确的，是不失误的，是合适的．理由为：我们的式(1)是根据公认正确的势能定理推导出的．势能定理为：保守力对质点做的功等于该质点的势能的减少量．陈文说【如果动参考系的速度u=0，…，式(1)无疑是正确的】，这就说明陈文也承认在地面系的势能定理dE_p(t)=-fdx正确．但因为小车系是惯性系，所以据力学相对性原理知，在小车系势能定理也有相同的形式，即= -= -正确．所以我们论文中的式(1)的来历是有根据、有理由的，因此是正确的．

5)陈文在其1中说：【回到图1的模型，在动参考系里观察，弹簧的左端O不再保持不动，如图3所示模型．在图3中，弹簧左右两个端点各有一个参考原点，这两个原点随动参考系一起匀速运动．左右两个端点相对动参考系的位移分别为和．如

同图 2，在动参考系中观察到的弹簧势能(t)是和的函数，即(t)=k(-)²/2，所以

=+         (3)……

式(1)失误在于把式(3)右边的第二项丢掉了，它正是墙壁作

用力对系统所做的元功.第二项的存在，动参考系中机械能不守恒的数学表现．高炳坤先生早就论证过这个问题了^[9]．】

对于陈文上述的这段话，我谈4条意见如下：

①陈文在上述这段话中说到：【弹簧左右两个端点各有一个参考原点，这两个原点随动参考系一起匀速运动．】

只有坐标系或参照系才有原点，【两个端点】不会【各有一个参考原点】；在每一个坐标系或参照系中只有一个原点，不会有【两个原点】．这是数理知识中起码的常识，也是我们论文里基本的原则．

②在我们的论文中，在地面系观察：以弹簧未被拉伸和压缩时（弹簧平衡时）的振子或小球即质点m所处地面位置o为坐标原点建立直线坐标系ox（如图1所示），则o点的坐标为= 0．弹簧的左端点O因与墙壁相连故静止，其坐标为．设弹簧的自然长度为 L，则L=-=0-=-.将振子从o开始向右拉动距离x，则弹簧的伸缩量=振子的位移量=x-=x-0=x．此时放手后，据胡克定律知，振子受到的弹簧的弹力为f=-kx，并做简谐振动．故振子做的微分功(即元功)为：dw=f×dx=-kxdx，所以振子从位置0处到位置x处做的总功为：

w==dx=-k×(-)=-．

因为振子在f的作用下做的功仅与位置x有关，所以f是保守力．

据2.2中4)里说到的势能定理得：w=E_P(0)-E_P(x)，所以

-=0-E_P(x)，E_P(x)==(ωt)=E_P(t)．

这说明势能符号E_P(t)是正确的，不是【应该写成 E_p2(x₁，x₂)，但

是为了与文[1]的符号一致，还是用了E_p2(t)】的．

我们的论文已经声明，小车系刚开始运动时与地面系完全重合，即小车系的坐标原点，弹簧的左端点分别与地面系的坐标原点o，弹簧的左端点O完全重合（如图1）．所以，的坐标差等于o，O的坐标差等于L，即-=-=L．又因为是小车系的坐标原点的坐标，所以= 0，所以

                      0-=0-=L，-=-=L．

陈文说的【在动参考系（应为小车系）里观察，弹簧的左

端O不再保持不动】正确，但点O的运动方向是向左而不是向右．

陈文说【这两个原点随动参考系一起匀速运动．左右两个端点相对动参考系的位移分别为和．】

随动参考系(小车系)一起匀速运动的两个原点应分别是小车系的坐标原点和小车系中弹簧的左端点．因为和一起匀速运动，所以始终有-=L，0-=L，-=L．

当在地面系观察、振子从o点开始向右运动到坐标为x处时，在小车系观察、振子便从开始向右运动到坐标为处，所以弹簧的伸缩量=振子的位移量=(-)=(-0) ==x-ut．

相对动参考系(小车系)的位移分别为和的左右两个端点应分别是地面系中的弹簧的左端点O和振子（不是o）．所以有：

               =-ut，= x-ut；

(-)=[(x-ut)-(-ut)]=(x-)=x+L．

③按照上述②中的分析，可得陈文的错误如下：

陈文的(3)式错误．因为和通过ut互为函数而不相互独

立，所以陈文的(t)=k(-)²/2不是和的二元函数．这

说明陈文对二元函数的定义理解错误．

按照陈文的势能公式=(t)=k(-)²/2的逻辑，在分

析地面系的势能时就应该有：

E_P=E_P(t)=k(x -)²/2=k(x+L )²/2=(x+L )²≠．

陈文的势能公式E_P(t)=k(x-)²/2与任何文献任何人（包括陈奎

孚本人）都公认正确的势能公式E_P(t)=E_P(x)=不同，故陈文

的势能公式E_P(t)=k(x-)²/2错误，错在把弹簧的自然长度L也

当成弹簧的伸缩量的一部分了．因此，与E_P(t)=k(x-)²/2有着

相同逻辑的陈文的势能公式(t)=k(-)²/2也就错误了．

陈文在其0中说：【文[2]和[4]的讨论已经很到位了】．故陈文

文[2]说的【=k(-)²=k[(x-ut)-(-ut)]²=】和陈文文[4]说的【=E_p=】就很到位了，所以陈文的势能公式=k(-)²/2=(x+L )²就很不到位了，即就错了．

陈文的势能公式(t)=k(-)²/2之所以错误，是因为陈

文没有用力学中的定义、公理、定理、原理、定律、公式等作为正确的标准来推理．陈文也确实未说明自己的势能公式(t)=k(-)²/2正确的理由．

事实上，按照势能定理= -来推理，便得到势能

公式=kA²cos² (ωt)-mωuAsin (ωt)，这也说明陈文的公式(t)=k(-)²/2=(x+L )²错误，同时也说明陈文的文[2](朱文)和[4](孟文)的=E_p=错误．

④陈文在上述这段话中说到：【式(1)失误在于把式(3)右边的第二项丢掉了，它正是墙壁作用力对系统所做的元功.…．高炳坤先生早就论证过这个问题了^[9]．】

陈文在上述这段话中的错误与高炳坤先生论证中的错误完全相同．

2.3对于陈文的2的意见

1)陈文在其2中⑴里说：【“力只能作用在有质量的物体上”无法从牛顿第二定律得出来．对质点F=ma中的F是合外力．如果不是质点，质量m=0只意味着所有外力的矢量和为零，即当弹簧质量忽略后，墙壁对弹簧的作用力矢量与小球对弹簧的作用力矢量合起来等于零(注意是矢量和为零，不是合力为零，见下面的⑷).另外文[3]也坚持：“力不能对没有质量的物体做功”；“朱文就不能计算两个外力……对弹簧所做的总功（若硬要计算则应把弹簧视为质点，但是，因此产生的把弹簧视为质点与忽略弹簧质量的矛盾应由朱文负责）、而只能计算小球或振子这个质点的总功了”等说辞当然也不恰当．力是否只能对有质量的物体做功能？答案是否．因为力矢量F元功为F×dr，其中dr是受力物体上与力作用点相重合那点位移的微元．F×dr与受力物体是否有质量无关．至于“被作用对象的质量为0时，加速度可能会无穷大”的担心根本没必要，因为被作用对象上还可能有其他力的作用．再者，被作用对象也可把力的功转换成其他形式的能量，比如弹簧把能功储藏为弹性势能．】

对于陈文上述的这段话，我谈4条意见如下：

①我们的论文中说的“力只能作用在有质量的物体上”是正确的．理由为：任何一部力学著作中关于力的定义都是物体间的相互作用，物体被视为质点后，力就是质点间的相互作用．如果忽略了物体、弹簧的体积和质量及质点的质量，那么物体、弹簧和质点就成了几何点．因为力是物体间的相互作用或质点间的相互作用，而不是物体或质点和几何点间的相互作用，所以物体或质点施与的力只能作用在有质量的物体或质点上，而不能作用在无质量的几何点上．所以，如果陈文认为我们的“力只能作用在有质量的物体上”不正确，那么就是陈文把力的定义理解错了．

根据上述的力学中的力的定义，陈文说的【当弹簧质量忽略后，墙壁对弹簧的作用力矢量与小球对弹簧的作用力矢量合起来等于零(注意是矢量和为零，不是合力为零，……)】就错了．因为此时的弹簧已经成了几何点，不能再受任何力了．

另外，【矢量和为零】是个小错误，正确的说法是：“矢量和为0”．因为矢量必须用粗体字母或数字表示（在力的方向与坐标轴平行的特殊情况下，矢量可以用非粗体字母或数字表示，但是矢量的方向应改用正负号表示）．【是矢量和为零，不是合力为零】也是个小错误，正确的说法是：“力的矢量和为0”与“合力为0”都正确．理由为：据力的定义知，力本身就是矢量，它包括大小和方向两方面的内容．故一提到力，就一定是包括大小和方向的矢量；一提到合力，就一定是力的矢量和．陈文说的【不是合力为零】一定是把“力”错误地理解成“力的大小”了．

②我的论文（陈文中的文[3]）中说的“力不能对没有质量的物体做功”；“朱文就不能计算两个外力……对弹簧所做的总功（若硬要计算则应把弹簧视为质点，但是，因此产生的把弹簧视为质点与忽略弹簧质量的矛盾应由朱文负责）、而只能计算小球或振子这个质点的总功了”等说辞是恰当的，是正确的．理由我已经在上述的①中说清楚了，即因为弹簧已被视为没有体积和质量的几何点，因此弹簧振子的总质量就是振子或小球这一个质点的质量了．所以，计算弹力移动弹簧振子做功时，就只能计算小球或振子这一个质点的功了．势能是用保守力的功定义的，是对于质点而言的，对于没有质量的弹簧显然没有势能而言.

③陈文说：【力是否只能对有质量的物体做功能？】【把能功储藏为弹性势能．】

我所学过的知识中没有【功能】、【能功】的概念．我所学过的【功】和【能】是两个完全不同的概念，力只能对有质量的物体做功而不能做能，更不能做功能或能功．所以，陈文说到的【功能】、【能功】的概念是忘记了力学理论中起码的常识，违背了我们论文里基本的原则．

④陈文说：【力是否只能对有质量的物体做功能？答案是否．因为…F×dr与受力物体是否有质量无关．至于“被作用对象的质量为0时，加速度可能会无穷大”的担心根本没必要，因为被作用对象上还可能有其他力的作用.再者，被作用对象也可把力的功转换成其他形式的能量，比如弹簧把能功储藏为弹性势能．】

我认为，陈文说得【力是否只能对有质量的物体做功能？答案是否】和【F×dr与受力物体是否有质量无关】都是错误的．因为我在上述的①中已经说明：力不能作用在没有质量的几何点上．

质量m=0的被作用对象不能接受力，故其速度就不能改变，故a就变不成无穷大了.如果考虑到内部作用力抵消，那么每一点必须运动状态不变，显然不符合客观实际.

2)陈文在其2中⑵里说：【“轻质弹簧抽去其质量属性以后，只是作为传递力的工具”的“传递力的工具”很不恰当．当弹簧质量不计时，墙壁对弹簧的作用力F_墙对簧与弹簧对小球的作用力F_簧对球的大小确实相等，方向也确实相同(见图4)．但是二者的作用点不同（施力物体和受力物体也当然不同）．在本题中，二者的作用点位移更不同（振子的振动必然导致这个不同），所以它们无法等效，因而不能把墙壁作用在弹簧上的力直接作用到小球上．力有可传性，但这种“传”只能在同一刚体内部传递，然而这里弹簧是变形体（也正是利用了弹簧的变形性质，才发生了振动现象），所以不能简单地把力传过弹簧．当然，若小球处于平衡状态，那么根据刚化原理可把弹簧当成刚体模型处理，小球的平衡状态不变．此时，操作上可把墙壁对弹簧的力传递到小球（这个“传递”与弹簧是否有质量也无关），但刚化原理的前提是小球要处于平衡状态，然而本题的小球在振动．综上，文[1]的最后一段“由于在这个问题中弹簧仅仅是传递弹力，约束力与保守力是同一个力”必然是不正确的．】

陈文说的我们不正确的理由是错误的．陈文错误的理由为：在研究一端固定在墙壁上的弹簧振子的振动时，必须把弹簧视为只有产生弹力的性质而无体积和质量的轻质弹簧．这是力学理论中起码的常识，也是我们论文里基本的原则．所以，如果把【弹簧当成刚体模型】或者【变形体】去分析研究，那么就忘记了力学理论中起码的常识，违背了我们论文里基本的原则．陈文恰恰是用【弹簧是变形体】、【把弹簧当成刚体模型】来分析的，所以陈文就错了．

3)陈文在其2中⑶里说：【“小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能”也不恰当．小球只有动能，振子的势能储存在弹簧中．在重力场中，“小球的势能”指的是小球的重力势能，即小球在地球重力场中的势能．在不引起误解的语境下，我们使用“小球的势能”——但这绝不是说小球自己就有势能．故而文[3]中“因此，研究弹簧振子系统的机械能只能研究质点小球或振子的动能和势能而不能再研究弹簧的势能了.事实上，弹簧振子系统的弹性势能也就是质点小球或振子的势能”表述不恰当．文[3]所引用的文[10]陈述“质点在弹力作用下相对于平衡位置的弹性势能”中的“在弹力作用下相对于平衡位置的”的修饰语是很准确的，丢了这个修饰语就不合适了．】

对于陈文上述的这段话，我谈4条意见如下：

①我们的论文中说的“小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能”是正确的．理由为：弹簧振子体系由轻质弹簧和振子或小球组成．轻质弹簧是没有质量的几何点．因为轻质弹簧没有质量，所以没有动能；因为轻质弹簧是几何点，所以不能受到任何力的作用而做功．所以就没有由功转化来的势能，所以轻质弹簧就没有机械能了．所以，由轻质弹簧和振子或小球组成的弹簧振子体系的机械能就全部归于振子或小球了．所以，陈文说【“小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能”也不恰当】就错了．

②陈文说【小球只有动能，振子的势能储存在弹簧中．…我们使用“小球的势能”——但这绝不是说小球自己就有势能．】

陈文说的【小球(振子)只有动能】说明振子没有势能，陈文说的【振子的势能储存在弹簧中(那势能也是振子的，就像人的钱储存在银行中钱也是人的一样)】说明振子有势能．这就矛盾了．

陈文说的【“小球的势能”】说明小球有势能，陈文说的【绝不是说小球自己就有势能】说明小球没有势能．这也就矛盾了．

③我的论文（陈文的文献[3]）中说的“研究弹簧振子系统的机械能只能研究质点小球或振子的动能和势能而不能再研究弹簧的势能了”是正确的，理由为：弹簧振子系统的机械能就是质点小球或振子的机械能，即是质点小球或振子的动能和势能．这个结论得出的理由我在上述的①中已经说清楚了，请参考．

④我的论文(陈文的文献[3])中说的“弹簧振子系统的弹性势能也就是质点小球或振子的势能”是正确的，理由有两条：第一条是：弹簧是没有质量的几何点，不能接受任何外力而做功，故就没有由功转化来的势能，故弹簧振子系统的弹性势能就全归于质点小球或振子了．第二条是：我的论文(陈文的文献[3])中引用的文献(陈文的文献[10])在第164页上说：“这个质点在弹力作用下相对于平衡位置具有转换成其他运动形态的一定‘能力’，称为质点在弹力作用下相对于平衡位置的弹性势能”．这说明该文献明确声明：弹性势能是属于质点的，即是属于小球或振子的，当然就不能属于弹簧了．这与我的观点完全一致．而陈文并没有说文[10]的陈述错误，即陈文也默认了文[10]的陈述正确，从而也就承认了我的观点正确[这两条理由详见2.2中2)里的②]．

我的论文(陈文的文献[3])中引用的文献(陈文的文[10])在第164页上的那段话中，【在弹力作用下相对于平衡位置的】的修饰语赫然写在那里，我根本就没有丢掉．陈文说【丢了这个修饰语就不合适了】又从何说起呢？

4)陈文在其2中⑷里说：【文[3]中“这两个外力的合力为零，即_墙- f =0…[说明：我的文中的公式为_墙-=0，陈文把错写成 f 了]．所以这两个外力在弹簧运动过程中对弹簧在位移=-ut上所做的总功为零”说法是不恰当的．这是因为两个外力能不能“合”是有条件的，即合前和合后的力学效果要相同，而不能说数值相反，它们的合力就为零.对于刚体，两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，可以合成为一个零力系，而本题弹簧为变形体，作用在两端的力是不能合的，它会把弹簧拉长或压短，而零力系没这个效果——就如同两个同学拉油条：在油条两端用相等的力和不用力拉的力学效果是不同的．】

对于陈文上述的这段话，我谈2条意见如下：

①弹簧只能视为没有体积和质量的轻质弹簧而不能看成变形体，把它当做刚体、比喻成油条就更加错误了．请问陈先生整天只吃没有质量的油条不饿吗？其理由我已经在上述的1.2中的2)和3)里说清楚了，请参考．

②我在我的论文(陈文的文献[3])中已经声明：弹簧只能视为只有产生弹力的性质而无体积和质量的轻质弹簧，因此弹簧就成了没有体积和质量的几何点．所以任何力都不能作用到它身上而推动它做功．但是我回应的朱如曾先生的论文非要对弹簧做功不可，这就必须把弹簧看成质点．看成质点后，墙壁力_墙和振子力就可以“合”了，且合成的结果为0．故在位移=-ut上所做的总功为零”，所以陈文说我的【说法是不恰当的】就错了．

5)陈文在其2中⑸里说：【文[3]中“弹性势能的变化也仅仅与弹簧的伸缩量或振子的位移(-0)…有关”有错误．弹簧的伸缩量是弹簧两端的位移差，而不能“或”成振子的位移，即表述中的(-0)应该是(-)．正是这个错误，在数学演绎上导致了文[1]错误的结果．】

陈文说的上述这句话也是错误的，理由为：由2.2中的5)里的②知，在地面系观察：弹簧的伸缩量=振子的位移量=(x-0)=x，-=L．按照陈文说的【……(-0)应该是(-)】的逻辑，在地面系的弹簧的伸缩量(x-0)就应该是(x-)=x+L．这就与正确的值(x-0)=x相矛盾了．所以陈文说的【弹簧的伸缩量是弹簧两端的位移差，而不能“或”成振子的位移，即表述中的(-0)应该是(-)】的逻辑就错了，错在使弹簧的自然长度L也成了弹簧的伸缩量的一部分了．

陈文的这一错误也可以直接用在小车系的运动来说明：例如，由2.2中的5)里的②知，在小车系观察：弹簧的伸缩量=振子的位移量==x-ut．按照陈文说的【弹簧的伸缩量是弹簧两端的位移差，而不能“或”成振子的位移，即表述中的(-0)应该是(-)】的逻辑，小车系的弹簧的伸缩量为：

(-)=x+L≠x-ut =．

这就与正确的值(-0) ==x-ut相矛盾了，因此就错了．

6)陈文在其2中⑹里说：【文[3]中“弹簧（应为质点）做的是匀速运动，所以弹簧（应为质点）在运动方向上受到的合外力为零”的说法是错误的．“合外力为零”的错误前面已经论述过．对弹簧振子，弹簧所起的作用不是质点，而是变形体．变形体各处的位移和速度都不相同，当然不能说弹簧做匀速运动．】

弹簧忽略质量就没有平衡力而言了.

7)陈文在其2中⑺里说：『“朱文的3种证明之二说的【反证法证明】是错误的”和“所以朱文提出【在小车上看这个系统的势能怎么能保持不变呢】的疑问就不是质疑我们了”是不恰当的．朱如曾先生构造的反例很巧妙．但是文[1]的作者没有认真思考这个反例，而是从自己错误(本文式(1))出发进行自圆其说．』

首先力学教材中的势能定理——势能的减少量等于保守力做的功说明了我文中的公式[即陈文中的式(1)] = -是正确的．再据微积分运算算出势能为：=kA²cos² (ωt)-mωuAsin (ωt)．这说明我们也认为在小车上看这个系统的势能是随时间t变化的．所以朱文提出【在小车上看这个系统的势能怎么能保持不变呢】的疑问就不是质疑我们了，因此也就不能说明我们错误了．

8)陈文在其2中⑻里说：『“朱文干吗非要把我们的‘做功负值（应为势能的微分）’强行改成是【小球动能微分()的相反数】不可呢”是不恰当的．朱如曾先生证明3实质是为了理解文[1]错误的原因和所导致不合理结果，并非要“强行改成”．』

我论文中的公式是= -，其左边的是小车

系中的势能的微分．但是朱文却把我们的势能的微分改成了【小球动能微分()的相反数】，然后再对()的相反数去进行批判．这样，朱文就不是批判我们了，所以就不能说我们错误了．另外，如果陈文说的【错误的原因和所导致不合理结果】属实，那么也是由朱文改成的【动能微分()的相反数】所引

起，我的论文里的公式= -中的()是不会引起

错误的．朱文和陈文也没有证明我的()会引起错误．

尤其值得一提的是，陈文得出的地面系不守恒，与现在所有力学教材矛盾.在弹簧振子问题中是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能.

参考文献：

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[8]刘敏，孙皆宜. 再论机械能守恒.牡丹江教育学院学报，2005（5）：26,34.

An Answer to Remarks on “Discussion on the answer of a middle school

student’s contest question”

Abstract：Illustrate that Remarks on “Discussion on the answer of a middle school student’s contest question” is wrong.

Key words：the physics contest question；a spring oscillator；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy