Zmn-1101 数 森 : 关于实无穷和潜无穷的一点看法。兼评 林益《Zmn-1083》

【编者按。下面是数森先生的文章，是对林益先生《Zmn-1083》的兼评。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于实无穷和潜无穷的一点看法

兼评 林益《Zmn-1083》

数 森

最近本论坛讨论无穷的观点较多，在此我也想谈一谈关于实无穷和潜无穷的一点看法，并对林益《我对无穷的看法（Zmn-1083）》中的观点提出我的意见。

1. 实无穷不分析集合构造过程只考虑最后结果。

实无穷观念中，对任一无穷集合X只要满足以下两点就认为X是已完成（确定不变）的：1）满足集合X的每一元素都在X中。2）除了满足集合X的元素外，其它任何元素都不在X中。至于满足集合X的元素怎么会在X中，是一个一个先后进入，还是无序多个进入，实无穷没有定义规定。你可以想象任一方法，只要最后满足上面两点就行了。通俗解释是：假如一个可以装集合元素（可以将集合元素看成体积为0的小球）的瓶子，一开始瓶是空的，通过某种途径将一些集合元素装入瓶中，如果装完元素后，满足集合X的每一元素都在瓶中且其它任何元素都不在此瓶中。则认为集合X是已完成（确定不变）的。

2. 潜无穷只注重集合构造过程不考虑最后结果。

潜无穷观念中，看似分析无穷集合具体构造过程，但除了可数集合（比如自然数集），潜无穷没能给出一个不可数无穷集合的具体构造过程。比如，0至1范围内的实数集R[0，1]。现代数学只能证明，在假定选择公理成立下，R[0，1]中所有元素理论上可以排成一个良序（所有元素与某个序数的所有元素之间存在一一对应关系）。但到目前为止，还没有人能具体给出R[0，1]中元素怎么排列成一个良序方法。

所以说，潜无穷虽然注重集合构造过程，但实际上是模糊不清的。这种观点与数学最基本要求是背道而驰的，由此得出的结论也可能是模棱两可不确定的。

3. 举例说明实无穷在有限时间内构造无穷集合的过程

以下是两个数学构造过程，其不是物理构造过程（不能用物理上不能完成来反对此合理的数学构造过程）。

A)  自然数集合N（N={0,1,2,3,…,n,…}）

取一个可以装自然数的空瓶子，规定：在0时刻将自然数0放进瓶子，在1/2分钟时将自然数1放入瓶子，在2/3分钟时将自然数2放入瓶子，在3/4分钟时将自然数3放入瓶子，…，在n/(n+1)分钟时将自然数n放入瓶子，…，整个过程从0时刻开始到1分钟结束。没有其它任何操作。（注：在1分钟时，没有进行任何操作）

1分钟后，瓶子中元素满足上述实无穷集合的2点要求（所有自然数都在瓶中且瓶中无其它元素），故自然数集合N是已完成（确定不变）的。

B)  0至1范围内的实数集R[0，1] （R[0，1] ={x是实数| x≥0且x≤1}）

取一个可以装实数的空瓶子，规定：对任一R[0，1]中的实数r，在r分钟时将实数r放入瓶子。例如，在0时刻将实数0放进瓶子，在0.2分钟时将实数0.2放入瓶子，在1/√2分钟时将无理数实数1/√2放入瓶子，…，整个过程从0时刻开始到1分钟结束。没有其它任何操作。（注：在1分钟时，是将实数1放入瓶子）

1分钟后，瓶子中元素满足上述实无穷集合的2点要求（所有R[0，1]中元素都在瓶中且瓶中无其它元素），故0至1范围内的实数集R[0，1]是已完成（确定不变）的。

4. 林先生的无穷观点是想象得出的结论，并没有实质依据

林先生认为（详见Zmn-1083）：无穷，只是有限按照一定发展变化规律的不断延伸，有始无终，不能完成，也不能结束，一直处于动态延伸过程。一直处于动态延伸过程就是无穷的本质和特征。

对于可数无穷集合，如果假定要认可其中每个元素需确定时间（比如1秒钟），则林先生的想法有一定道理。但对于不可数集合，林先生的这个观点就有问题了，比如0至1范围内的实数集R[0，1]，你能具体说明是从哪些有限（集合）开始按照什么发展变化规律的不断延伸，最终趋于R[0，1]吗？ 我认为，R[0，1]中任何元素都确确实实在实数轴上是固定不变存在（任一元素的存在和其它元素是否存在无必然关系），不存在其中有的元素在实数轴上较早存在，而有的元素在实数轴上需要很晚才能存在的情况。

最后补充说一下：由于本人较忙，对于不能正确理解我上述观点的评论，我不会给予答复。

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