哥德尔定理证明中的标号（11）-（16）——哥德尔读后之26

读哥德尔又遇到理解的困难，这个阅读受困的时段，正是因老桂大寿建立的几个科哲微信群讨论东方思维西方思维，还有辩证逻辑非辩证逻辑等等观念的时段。对科哲所知有限，但对思维与逻辑应该还有点感觉。东方和西方思维的分划，我感觉是一个伪分划。思维如果有地缘之分，那其实不是因地缘在划分思维，而是因地缘在划分语言。东西方人因地缘之故，有各种不同的自然语言，而显得思维似乎是各不相同。逻辑分为辩证和非辩证也是一个奇怪的分划，其实是一个非学术性，带有点实用意义的分划。这类分划所产生的命题，其实和伪分化类似，是一些学术之外，至少是科学之外的伪命题。

我感觉，这个世界如果思维有分划，分划的不应该是地缘，而是你在思维时所使用的语言。如果你是用自然语言来表达思维的形象、观念和理论，那么这个语言之中包括的思维客体，或者说你使用自然语言来进行思维活动，这样的思维就可以简单概括为人文思维。所幸的是，这个世界的各种语言虽然不同，但成熟的语言大体同构，总可以从一种语言翻译为另一种语言。由此，不同语言的人群才有可能交流互通，协商谈判。

自然语言图

十七世纪之前大概还没有现代意义上的科学，科学是自17世纪之后的现代，由科学家群体形成的思维客体。似乎可以说，当不同的科学有了自己的人工语言之后，人们使用带有专业人工符号来进行的思维活动，它创建了许多新符号，从而创建了今天各种门类的科学。由此，在使用自然语言的同时，也使用人工语言来进行思维活动，这样的思维就不同于人文思维，它正好与人文思维相对应。如果人工语言可称作科学语言的话，那这类思维可以简单概括为：科学思维。所幸的是，这种幸运和自然语言的互译之幸好像有点不同，科学思维所使用的的人工语言似乎不分地域也不分国界，它有点在标示莱布尼兹所设想的那种普遍语言。全世界各个地区的专业人士，大概因这样的语言而自成一个专业群体。从这个意义上讲，人工语言因专业的不同，而不是地域国界的不同，把这个世界的语言又做了一次划分，不同专业有不同专业自身的人工语言。例如，在计算机领域内就有很多的计算机语言，这些语言无地域国界之分，只有专业领域的划分。

科学语言

科学思维

这只是个闪现出来的想法而已，点到此为止。之所以有这个想法，除了科哲朋友的启示，还缘起于阅读哥德尔文本和相应的参考读物。阅读哥德尔文本常让你很是困惑，阅读那些解读哥德尔的读物同样给人困惑。困惑似乎大都不在对于自然语言的理解，几乎全在对于专业符号的理解。哥德尔的文本包括众多的参考读物，常常是那些莫名其妙的符号设置，生生地把你卡在文本的某个位置，让你无法前行。

于是你带着疑惑，遍翻各种读物，不同译本，反复地回看在前出现的那些符号可能对你有些什么提示。似乎是在遵照古谚所云，：‘’读书百遍，其义自见‘’去反复琢磨。但这个古谚好像也是一个伪命题，只有激励性质，并非普遍有效有真。也许对于很多人而言，一本学术专著，你就是看无穷多遍，你依然找不到它的意义。

但是，这个古谚，对于一个一定专业背景的人来说，乃是一个不错的激励。书虽难懂，抱着一个决心去反复琢磨它，也许晦涩难解之后，会有云破天开之时。于是，在哥德尔第一不完全性定理的标号（9）标号（10）的理解受困之际，还是抱着一个咬文嚼字，然后再留下点自己文字的念头，硬着头皮去感受那些艰涩的字符。

一、标号（9）与（10）解读回顾

上篇讨论到标号（9）和标号（10）的成立背景，即对应定理。这两个标号加上标号（8.1）都是对应定理的导出结果。标号（9）与（10）则是在标号（8.1）单变元基础上，再增加一个变元形成的字符串。但标号（9）与（10）不是定义，而是蕴涵式。在解读标号（11）和标号（12）之前，先来回顾一下这两个标号。

标号（9）：

(Ø(proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))→

(provable_c(subst(q,(17,19,number(x),number(y)))   标号（9）

这个公式为标号（9），它告诉读者，在Q(x,y)关系下，原始递归谓词”x不是相关条件下的证明公式”。

由此，这个标号（9）的后件就可以解读为：

当我们用number(x)来代入变元17，用number(y)来代入变元19的时候，关系符号q实际上做了以下的变换。那就是，在x中出现的所有17中的自由变元，都代入为number(x)。在y中出现的所有19中的自由变元，都代入为number(y)。在这种情形下的二元关系q，其实就被标号（8.1）揭示的非证明公式序列关系所蕴涵。而这个前件中的二元关系再依据哥德尔定义17和31，是原始递归的。从而再依据哥德尔定理2，Q(x,y)也是原始递归的。

这样，我们就用得着那个可表达性定理4中的标号（3）了，标号（3）的公式前件是肯定的，当其中的变元数字n=2的时候，正好表达的就是标号（9）的前件，也就是二元关系字符串Q(x,y)。这个Q(x,y)，即x并非是y(y) 证明序列这样的二元关系，自然就依据定理4中的标号（3），蕴涵着某种二元关系q，一个带有自由变元17和19的二元关系q，使得在这种Q(x,y)关系下，有标号（9）后件的结果：

provable_c(subst(q,(17,19,number(x),number(y))

这个结果，可以简单地解释为：如果一个证明序列x不是在w一致下的公式y(y)的证明，那么，就有另一个二元关系q，它是以x和y中的自由变元17和19予以代入后获得的公式，这样代入后的关系q则可证。

这个结果，和标号（10）的结果正好对应。

何以对应，且看标号（10）

标号（10）的表达式：

((proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))→

(provable_c(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))   标号（10）

这个公式为标号（10），刚才的标号（9）为否定式的前件，但却以肯定式的二元关系表示为Q(x,y)。现在的标号（10）则为肯定式的前件，依据标号（8.1），标号（9）可以表达为Q(x,y)为前件，标号（10）则可以表达为以ØQ(x,y)为前件。它们似乎是在表明，两类互为否定的证明公式proofFormula和可证概念provable之间的不同蕴涵关系。

因为有标号（9）做铺垫，标号（10）正好可以对照式地予以理解，似乎天然地在体现逻辑与数学中的对应特性是也。如同对应定理4中的标号（3）对应于标号（9）一样，对应定理4中的标号（4）似乎绝配似的对应标号（10）。定理4中的标号（3）和（4）除了自身的对应，它们还分别对应了标号（9）和（10）。标号（4）的公式前件，恰好是否定的，这对应于否定的二元关系ØQ(x,y)，即标号（10）前件。标号（4）的后件，在可证符号provable之后也是否定的，这对应于标号（10）中的后件，标号（10）中的可证符号provable之后，同样是否定的字符串。

由此，我们几乎可以递归地采用标号（9）的方式来解读标号（10）。

当我们用number(x)来代入变元17，用number(y)来代入变元19的时候，关系符号q实际上做了这样的变换。那就是，在x中出现的所有17中的自由变元，都代换为number(x)。在y中出现的所有19中的自由变元，都代换为number(y)。在这种情形下的二元关系q，其实就被标号（8.1）揭示的非证明公式序列关系所蕴涵。而这个前件中的二元关系再依据哥德尔定义17和31，是原始递归的。从而再依据哥德尔定理2，Q(x,y)也是原始递归的。一而再，再而三地依据定理2，Ø Q(x,y)也是原始递归的。

这样，我们就用得着那个可表达性定理4中的标号（4）了，标号（4）的公式前件是否定的，当其中的变元数字n=2的时候，正好表达的就是标号（10）的前件，也就是否定的二元关系字符串ØQ(x,y)。这个否定性的ØQ(x,y)，即x能证明y(y)这样的二元关系，自然就依据定理4中的标号（4），蕴涵着某种二元关系q，一个带有自由变元17和19的二元关系q，使得在这种ØQ(x,y)关系下，有标号（10）后件的结果：

(provable_c(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))

这个结果，也可以简单地解释为：如果一个证明序列x是在w一致下的公式y(y)的证明，那么，就有另一个二元关系q，它是以x和y中的自由变元17和19予以代入后获得的公式，这样代入后的关系q则不可证。

这个结果，和标号（9）的结果正好对应。也恰当地反应了哥德尔的对应定理，由标号（3）和标号（4）表达的对应定理。

一个肯定的二元关系Q(x,y)前件，蕴涵肯定的后件：二元关系q可证。

一个否定的二元关系ØQ(x,y)前件，蕴涵否定的后件：二元关系q不可证。

这个交错对应的不同结果，正在逐渐导向哥德尔不完全性定理最后的证明。

让我们继续前行，开始标号（11）和（12）的解读。

二、哥德尔设定的p和r——标号（11）和（12）

跨过标号（10），我们来到了标号（11）。在前的标号多为定义与蕴涵式，标号（11）既不是定义，也不是蕴涵式，而是哥德尔设定的符号p，哥德尔称之为是一个类符号，哥德尔文本译为CLASSSIGN，即一元谓词符号的字符串。这个类符号在斯穆里安文本中称之为类名，英文为CLASSNAME。

我们先给出原著中的标号（11）。

哥德尔设：

p =forall(17,q)          标号为（11）

这样一个标号（11）所提到的类符号，哥德尔原著英译本中早有交代，原著文本用园括弧内文字简单说明这个小写字母p。

（p是一个带有自由变元19的类符号（CLASS SIGN））

哥德尔原著1962译本，仅有哥德尔自己的一个注释。但2000年英译本，在这个注释中，另添了英译者的一个注释，这里摘录下来以方便解读。

这个注释中的注释是这样说的：

【这个类符号p直观上意味着19(19)，也就是y(y)是不可证的。】

为巩固有关类符号的观念，此处稍作停留，再来回顾一下哥德尔原著中有关类符号的说明。

哥德尔的类符号概念，在其原著第二章界定数字符号number sign的那一段。该段落的最后一组文字，在界定n元关系符号n-place relation的同时，也界定了类符号。

一个带有n个自由变元（且没有其它自由变元）的公式，我们称之为n元关系符号，而当n=1的时候，这个n元关系符号，也称之为类符号（CLASS SIGN）。

由此我们看到，这个p所表示的公式，是一个一元关系符号，这就是我们在前早就提及到的，用来表达性质的那一类公式。按照我们对于类的常规理解，性质决定一个类。所以，一个类符号其实就是由同一个性质所规定的一个类。例如偶数概念，所谓偶数类，无非就是由“能够被2整除”这个性质来决定的类。

还是回到正题，先简单解释标号（11）。

等式左边的p是一个类符号，即只有一个自由变元的符号，但等式右边的全称句，依据哥德尔对全称量词的定义15，forall(x,y)，表明了这个标号（11）中的右式forall(17,q)是一个自由变元为17，但其代入的不是一元关系或者性质，而是一个二元关系q的符号串。这里的q是个什么变元，我们稍后再做解释。此处只说p，哥德尔设定的这个作为类符号的p，由标号（11）的右式表示为：

自由变元17中的每一个客体对象全都具有q关系。

那么，问题就出来了，哥德尔为什么要在注释中解释这个类符号p，它不是带有自由变元17，而是带有自由变元19呢？哥德尔原著的两个英译本，都是这样来注释这个标号（11）中的设定p的。这一点疑惑，我们暂且搁置，希望在解读标号（12）之后，能够有一个合适的答案。因为随后的标号（12），也会产生同样的疑惑。

让我们前行到标号（12），标号（11）是一个一元关系公式p，标号（12）哥德尔设定的依然是一个一元关系的类符号，但加上了原始递归的性质，哥德尔设定为r。

标号（12）：

r = subst(q, 19, number(p))              （12）

同样有一个哥德尔注释，随后又有一个译者为注释所做的注释。

先看哥德尔用圆括号给出的注释：

（r是一个原始递归的类符号，带有自由变元17）

随后，有原著译者为注释所做的注释，用方括号给出。

【它在直观地意味着17，也就是x并未证明p(p)，这个p(p)意味着p(p)不可证】

可以简单解释标号（12）了。我们以等号为界，分为左式右式。

等式左边的r是一个类符号，即只有一个自由变元的符号，哥德尔约定这个类符号是原始递归的。但等式右边的代入句，依据哥德尔对subst的定义27，30与31，表明这个标号（12）中的右式是一个自由变元为17，但代入的客体不是一元关系，而是一元关系p的数字表示。按照哥德尔原著1962英译本的注释47，这个r实际上是推导出来的。

这个r实际上是被导出的，它从递归关系符号q，用一个确定的数字number(p)代入一个变元而形成一个导出的公式。（哥德尔原著1962译本注释47）

那么，和标号17同样的问题就出来了，在标号（11）中哥德尔为什么要在注释中解释这个类符号p，它不是带有自由变元17，而是带有自由变元19呢？而在标号（12）中，哥德尔又为什么要在注释中解释这个类符号r，它不是带有自由变元19，而是带有自由变元17呢？这好像到现在还是一个疑惑，依然只能是留待观察思考。我们还是继续前行，对这个标号（12）做一些解释说明。

标号（12）

r = subst(q, 19, number(p))              （12）

类符号r中的subst已有简单解释，number(n)也有过解释，这里再对number(p)强化一下理解。这里的number(p)是一元谓词符号p作为数字的数字符号表达，符号p作为一个一元谓词符号，自然有其对应的哥德尔数。当用这个数字符号p的哥德尔数，依据哥德尔定义31和P系统的概括公理，代入到自由变元19中的时候，这就构成了另一个一元谓词符号r。

我们把这两个一元谓词符号p和r做一个对照。

p =forall(17,q)          标号为（11）

r = subst(q, 19, number(p))              标号为（12）

两个标号都有符号q嵌入其中，依据对应定理和标号（8.1），也按照哥德尔原著文本的解释，这个q是一个带有两个自由变元的二元关系，应该正好是大写二元关系Q的一个抽象实例。这个q在标号（11）中只用q来标示，其实就是标号（9）与（10）中的x公式序列和y公式组合而成的二元关系，q不过是这个二元关系的代名罢了。在q中的x和y各有一个自由变元，可以把这两个自由变元分别设为u和v。依据哥德尔数的配置规则，x中的自由变元u自然就是17。而y中的自由变元v，自然就是19。哥德尔省去了u和v的设定，直接把数字17和19放在标号（9）和标号（10）中，代替了q中的自由变元。这个表达当然是恰当而且精准，很自然地就可以导入标号（11）和标号（12）。这样一种表达，还让我们看到字符串中暗含着的某种特殊意味公式。如解读标号（8.1），（9）与（10）时，我们就提及到的符号组合y(y)，19(19)，还有标号（11）中提及到的p(p)。

何以标号（8.1），从直觉看就是：Q(x,y)不能证明y(y)呢？

标号（8.1）定义了二元关系Q，在这个二元关系中，x是其中一个元，表示的是一个公式序列，一串用来给公式y以证明的公式组合。在这个二元关系中，y则是另一个元。我们用subst指令把y中自由变元19（或者v），使用表示y名的数字符号number(y)在y中做代入，就构成了右式公式subst(y,19,number(y))。这大概可以解释为，y是这样的一个公式，它的自由变元v用哥德尔数19表示，公式y也有对应的哥德尔数这个公式，是不是就是所谓的y(y)呢？我们暂且搁置，前行到标号（13）和标号（14）吧。

三、标号（13）到标号（16）

连续的两个等式，标号（11）和（12），立刻让哥德尔的证明进入到更多等式的标号（13），这个标号（13），给出了等值推演出的连续三个等式：

标号（13）：

subst(p,19,number(p))=subst(forall(17,q),19,number(p))  标号为（13-1）

=forall(17,subst(q,19,number(p)))  标号为（13-2）

=forall(17,r)                      标号为（13-3）

这个连续等式标号（13），素数17和19分别表示第1类符号，即类符号的哥德尔数。我们先看等式的左式：

subst(p,19,number(p))    标号（13左式）

按哥德尔的符号约定，将标号（11）所界定的类符号p的数字表示number(p)代入到变元19，也就是y中，这就形成了类如p(p)的公式。这个类如p(p)公式的第一个等式是：

subst(forall(17,q),19,number(p))  标号为（13-1）

这个等式是显然的，因为有标号（11）p =forall(17,q)  等量代入即可。

按哥德尔的符号约定，标号（13）这个首位等式可以解读为：

将标号（11）所界定的类符号p的数字表示number(p)代入到变元19，也就是自由变元y中，这和在前的forall(17,q)形成了二元关系。而forall(17,q)，则表示标号（11）假设的类符号p。

由标号（13-1）自然导出第二个等式（13-2），因为17作为变元x的哥德尔数，借助全称量词的概括化，使得其后用number(p)代入19形成的公式q中的自由变元x变域客体也概括化了。用哥德尔注释48的解释，全称量词和代入，无论它们在什么地方涉及到不同的变元，它们总是可以互为交换的，适用于算术加乘运算的交换律，标号（13-2）的等式也可以因此而得到。

forall(17,subst(q,19,number(p))) 标号为（13-2）

而第三个等式（13-3）也属显然，因为有标号（12）

r = subst(q, 19, number(p))，

我们等值代入（13-2），自然地获得（13-3）

forall(17,r)                      标号为（13-3）

依据标号（11）和（12），我们继续前行，进入到了标号（14）和（15）。

subst(q,17 19,number(x)number(p))=subst(r,17,number(x))        标号为（14）

这个等式的左式，是把number(x)代入到q中自由变元17，即x中；把number(p)代入到19，q中自由变元y中，由此而形成一个二元关系表达式。这个表达式与标号（14）中的右式是相等的，因为标号（12）中的r = subst(q, 19, number(p))，自然就有标号（14）的成立。

如果我们现在把后件肯定的标号（9）中的y代入p，并把标号（13）和（14）也结合在一起考虑，那就得到标号（15）。

标号（15），它显然来自于标号（9）。

标号（9）：

(Ø(proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))→

(provable_c(subst(q,(17,19,number(x),number(y)))   标号（9）

把标号（9）中y代入p，结合标号（13）的等式，标号（15）蕴涵式就成为：

(Ø(proofFormula_c(x,forall(17,r))→(provable_c(subst(r,17,number(x)))   标号（15）

这个标号（15）符号串表明：在w一致条件下，如果x不是p的同构公式forall(17,r)的证明公式序列，那么r中的自由变元x的数字表示代入其自身变元形成的公式是可证的。

而标号（16）似乎和这个标号（15）形成了一个对应，我们来看标号（16）。

标号（16）：它显然来自于标号（10）。

如果我们现在把否定后件代入式的标号（10）中的y代入p，并把标号（13）和（14）也结合在一起考虑，那就得到标号（16）。

先看标号（10），

((proofFormula_c(x,subst(y,19,number(y)))→

(provable_c(not(subst(q,(17,19,number(x),number(y))))   标号（10）

把标号（10）中y代入p，结合标号（14）的等式，标号（16）蕴涵式就成为：

((proofFormula_c(x,forall(17,r))→(provable_c(not(subst(r,17,number(x)))))   标号（16）

这个公式为标号（16）符号串表明：在w一致条件下，如果x是p的同构公式forall(17,r)的证明公式序列，那么r中的自由变元x的数字表示代入其自身变元形成的公式，它的否定式就是可证的。

这两个看似对立的结果，已经接近证明的尾声，我们很快就能够看到哥德尔第一不完全性定理的最后结论了。

四、哥德尔第一不完全性定理得证

由上述标号，出现以下两种结论：

（一）forall(17,r)不是c可证，

因为，如果它可证，依据标号（6.1），就存在一个n使得

proofFormula_c(n,forall(17,r))。

但依据标号（16），又有以下结果：

(provable_c(not(subst(r,17,number(n)))

与此同时，另一个方面，从forall(17,r)是c可证，则会导致((subst(r,17,number(n))也是可证，这样c将会是不一致的（特别是w不一致）。

（二）not(forall(17,r))不是c可证，

以上（一）已经证明，forall(17,r)不是c可证，那就是说，依据标号（7），以下公式成立：

"nØ(proofFormula_c(n,forall(17,r))

在（一）中出现的不可证结果，再加上标号（15），我们又获得以下公式的成立

"n(provable_c(subst(r,17,number(n)))

这个公式的成立和以下公式的成立，合在一起，自然违反了c的w一致，

provable_c(not(forall(17,r)))

因此，(forall(17,r))在c中是不可判定的，命题6得到证明。

五、知之为知之 不知为不知

终于把哥德尔第一不完全性定理证明的全过程，做了一次步履艰难的旅行，一路受卡受阻地走到今天，深感求学求知之不易。为弄懂哥德尔而草做的那些学习博客，似乎到处都是你似懂非懂的印记。这让我想到康先生翻译的《哥德尔》一书，他在文尾写的译后散记，最后一段谈他的哥德尔翻译与研究的感叹：

对于我，翻译哥德尔或讲哥德尔的作品实在是一项新而且难的工作，必须从头摸索。让这个译本只作个开端吧。（王浩著《哥德尔》弟449页）

以康先生的学识，他都认为弄哥德尔，实在是一个件新而且难的工作，我辈半路出家之客读哥德尔，到处都是似懂非懂印记，看来也属正常。

王浩先生和康先生都在《哥德尔》一书中，屡屡提到中国唯一的哥德尔学生，北京大学的王宪钧先生。特别感慨王宪钧先生做学问的实诚，真正做到了古训：知之为知之，不知为不知。王先生的这个不知为不知的风范，似乎在今天到处都在受到挑战。不过，这个承继哥德尔拒绝任时朝戏弄的王先生，包括康先生的品性，并没有因时潮而消失。这些高雅品性，依然还是屹立在求知路途中，为学人士子仰望的一座灯塔。