特邀嘉宾：白兰淑 （5分30秒处演唱原创歌曲）

第四期：音频请点击此链接.mp3 或关注微信公众号：方程之声

双摆的音色

在1978年，湖北随县出土了一套稀世珍宝“曾侯乙编钟”。这是一套双音编钟，敲击不同位置的音高是不同的，正鼓音和侧鼓音差三度音程。2017年的今天，我在物理课本中“出土”了一件双摆，和2400年前的编钟很相似。因为它竟然也是一件双音乐器。令我感到惊讶的是，这件乐器还特别适合演奏爵士乐。

把双摆做成乐器其实很简单。第一期就介绍过单摆的音色。双摆就是单摆的下方再悬挂一个小球。如果计算出这两个小球的摆动方式，然后就可以将下面的小球的位移转化为声音的波形，就可以做成乐器了。

在开始之前会有一个很长的铺垫。

什么是摆动？【铺垫】

摆动是一种往复的运动。其随处可见:

摆是侠士穿梭竹林之上的倩影......

摆是那翘首顾盼的双眸......

摆或是抚琴歌者身旁的婀娜舞姿.....

摆亦是那不舍昼夜流逝的光阴......

单摆【再铺垫】

当用一根绳子把一个小球悬挂起来，稍加外力小球就摆动起来了。

单摆是一个理想的物理模型，它包含摆线的长度远大于摆球的直径，摆线非常柔软且质量可以忽略。

当摆角很小的情况下，单摆的摆动是简谐运动，可以写成正弦函数或者余弦函数的形式。

当摆角很小的情况下，摆动的周期是恒定的。

l 为摆长，g重力加速度9.8m/s。比如，摆长l=1m，单摆的周期为2.01s，周期不随摆幅大小变化，也不因小球的质量大小变化，这也是为什么可以用单摆来计时。

小摆幅单摆的动力学方程【又铺垫】

动力学方程离不开牛顿第二定律：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比。

由牛顿第二定律可知，单摆的水平方向满足：

其中当摆幅很小的情况下，，绳子的拉力约等于小球的重力，T≈mg。带入上式得到：

最后得到方程的解为：

小摆幅双摆的动力学方程【进入正题】

假设有一个双摆，位于上方的小球质量为m1，位置为x1，绳长为L1，摆角为th1；位于下方的小球质量为m2，位置为x2，绳长为L2，摆角为th2。对于大摆角的情况下，它的运动是非常复杂的，我们这一期先讨论小摆角的情况。

同样由牛顿第二定律：

当摆幅很小，绳子L1的张力T1≈m1 g+m2 g，绳子L2的张力T2≈m2 g，且

，，带入上式得：

假设这两个小球的质量相等m1=m2。这个偏微分方程组的解有两个本征频率：

我用数值计算的方法求解出双摆运动曲线。

不同摆长的双摆

敲击不同的小球，小球的运动曲线是不一样的。假设我们敲击第2个小球，然后把第2个小球的运动曲线做成声音。理论上，同时可以听到两个频率为f1和f2的声音。

（1）考虑一个m1=m2, l1=l2的双摆，它是由频率为f1，f2两个信号叠加起来。

这两个信号的比值是一个无理数，波形是永远不会重复的非周期波形。

如果我们用耳朵去听，这会是怎么样的音响效果呢？

这需要将f1调到261.2Hz，即中央C。那么f2对于630.6，就是那么巧，对应于小字2组的降e。这是一个八度+小三度的音程。

这件乐器的魅力在天然的爵士和声。如果我们弹一个三和弦：135，它会自动出来九弦1 3 5 b7 b3的效果。

据说曾侯乙编钟正鼓音和侧鼓应差了三度。我想即使你敲击正鼓音，侧鼓音也是会出声的，只是声音很小。如果同时敲击三个编钟，相当于有6个音出来，会不会也有类似的和声效果？不会他们也在演奏爵士乐吧？

（2）考虑一个m1=m2, l1:l2=1:2的双摆，它的运动如下图所示。

f1调到261.2Hz，即中央C。那么f2等于683.8，在钢琴的键盘上没有这个音，它介于小字2组的e和f之间。

虽然f2这个音不再键盘上，但它的和声也毫无违和感。

当双摆遇到李清照

这一期思绪有点穿越，从编钟到双摆。不如再穿越一下，用双摆的音色演绎一下李清照的词《如梦令·昨夜雨疏风骤》。特别荣幸能邀请到白兰淑为大家演唱这首原创歌曲。（音频从5:30开始，可以听这首歌）

如梦令·昨夜雨疏风骤

词：李清照

曲：woody

演唱：白兰淑

昨夜雨疏风骤，

浓睡不消残酒。

试问卷帘人，

却道海棠依旧。

知否，知否？

应是绿肥红瘦。

摆亦是那不舍昼夜流逝的光阴....

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