数有量纲吗——数学迷思之三

一、数有量纲吗

数学（mathematics;希腊语ηματικά）希腊语意思是“学问的基础”，的确，数学是一切科学的基础，是打开科学大门的钥匙。数学既是科学的语言，又是思维的工具。数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。

数学最大特点就是其抽象性，正是由于数学的高度抽象性，使得数学在各个学科和工程技术上得到了广泛的应用。

一般来说，描述一个物理实在的物理属性，我们需要两个东西：数和量。只有在量纲相同的情况下比较数才是有意义的。比如说：1秒钟和1千克就没法比较；而1英寸和1光年相比，虽然数都是1，但实际量纲单位的差异，却使二者之间的差距相差了天文数字。

在物理世界中，所有的物理量都是有数有量的，即“数量”不分家。现代量子力学理论与物理实验有一个高度一致的结论：物理世界不是无限可分的，物理世界的本质如同古代希腊人所猜测的那样，是由不可分的基本粒子——量子（古代希腊人称之为原子）构成的。

由于数学是对现实物理世界在可操作性角度上（因为还有哲学和宗教）的最高抽象，所以物理世界不可分的“数量”，到了数学世界就只剩下了数，而看不到量的踪迹了。君不见，在数学核心的PA系统和集合论中，无论是算术运算，还是集合运算，都看不到量纲的影子。难道数学真的不需要量纲吗？

别急，让我们先回顾两个现代数学概念：线性空间和测度。

(一)、线性空间（或称向量空间）的概念

1、线性空间定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．

l       V对加法成Abel群，即满足：

（1）（交换律）x+y=y+x；

（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）

（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；

（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；

l        数量乘法满足：

（5）1x=x；

（6）k(lx)=(kl)x；

l        数量乘法和加法满足：

（7）（k+l）x=kx+lx；

（8）k（x+y）=kx+ky．

其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。

数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。

当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。　

2、简单性质

（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。

（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。

（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。

（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

3、例子

(1)     域F上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。

(2)     复数域C是实数域R上的线性空间。

(3)     域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。

(4)      连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。

（二）、测度的概念：

1、测度的定义

定义1：构造一个集合函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数mE。我们将此集函数称为E的测度。

定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ：Γ→R∪{ +∞ }是一集合函数，且ρ满足：

（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性）对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。

2、常见的测度有

（1）计数测度

（2）勒贝格测度

（3）哈尔测度

（4）所有的概率，都是概率测度

复习完这两个概念，再想想物理世界中不能分家的“数量”，是否有一些启发呢？线性空间中的单位向量与量纲的作用相似吗？测度与量纲相似吗？

曾经兴盛一时的布尔巴基学派认为全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构、和拓扑结构。所谓结构就是“表示各种各样的概念的共同特征仅在于他们可以应用到各种元素的集合上。而这些元素的性质并没有专门指定，定义一个结构就是给出这些元素之间的一个或几个关系，人们从给定的关系所满足的条件（他们是结构的公理）建立起某种给定结构的公理理论就等于只从结构的公理出发来推演这些公理的逻辑推论。”于是一个数学学科可能由几种结构混合而成，同时每一类型结构中又有着不同的层次。比如实数集就具有三种结构：一种由算术运算定义的代数结构；一种顺序结构；最后一种就是根据极限概念的拓扑结构，三种结构有机结合在一起。又比如李群是特殊的拓扑群，是拓扑结构和群结构相互结合而成。因此，数学的分类不再象过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是依据结构的相同与否来分类。比如线性代数和初等几何研究的是同样一种结构，也就说它们“同构”，可以一起处理。这样，他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序，以全新的观点来统一整个数学。由此，开创了以结构的视角研究数学的新时代。

随着现代数学的发展，人们在三个结构的基础上，又加上了“测度结构”，形成了四种基本结构。为什么要加上“测度结构”呢？在笔者看来，测度结构的出现，正是为了解决纯数学中量纲缺失后产生的种种问题！

笔者认为：（1）线性空间一般理解为满足上述8个条件的具有可分性和可加性的集合（豪斯多夫空间或 T2 空间），但是一个隐含的根本前提——“这个集合的测度必须是一致的（唯一的）”往往被忽略，而正是这个被忽略的测度，恰恰扮演着量纲的角色；（2）测度是区间长度概念的扩展，是有意义数学表达（能够表达物理世界）的基石，通俗地说，测度可以理解为集合的最小度量单位（量子），是纯数的量纲。

二、纯数的量纲

基于以上认识，笔者认为纯数也是有量纲的，测度就是数的量纲。只是由于对数学高度抽象性的追求，人们有意识地忽略了量纲的存在，而在实际数学演算和推理中，又显式或隐式地在使用着量纲。

为了防止出现名词之争，这里给出纯数的量纲定义，纯数的量纲单位定义为：对论域集合中，实现有意义表达的最小集合，用符号ε表示。在现有数学概念中，与之最近似的概念是测度，所以本系列博文中把纯数的量纲单位ε也称之为一种测度。需要指出的是，定义中“有意义表达（狭义上，可以理解为除了0和∞之外的数值表达）”是一个主观的判断，所以ε是一个动态变化的概念，它随着论域集合的变化而变化！

按照这个认识，笔者在这里梳理一下数集的量纲：

（1）空集的量纲（测度）

空集的量纲就是他自身：{}ßà{}；所以说空集的ε=0={}，正是由于空集的数与量是一个统一体，所以才误导出纯数没有量纲的认识！

（2）自然数集的量纲（测度）

0ßà{}

1ßà{{}}

2ßà{{},{{}}}

……

Nßà{{},{……{}}…}  有N+1层嵌套的括号。

……

∞ßà{{},{……{}}…}有∞+1层嵌套的括号。

自然数集的量纲（测度）就是{}的嵌套层数；其量纲单位ε=1={{}}。

这里特别说明一下，笔者支持实无穷，定义实无穷为符号∞；笔者认为，对于推理和演算而言，的确只有潜无穷，无穷只是一种过程，而对于意识思维而言，实无穷是可以通过直接定义来把握和操作的，所以笔者支持实无穷，实际上，我们一直在这么做，自然数用符号N表示，整数用符号Z表示，实数用R符号表示。∞与ε在数学上有双重性：潜无穷和实无穷。

（3）整数集的量纲（测度）与自然数集相同，ε=1。

（4）有理数集的量纲（测度）。

先看一个例子：有理数1/3= 1/{{},{{},{{}}}}，有理数1/3的理解如下：把3当做一个整体，其每个嵌套层在整体中所占的份额就是1/3。注意到有理数的定义——两个自然数之比，所以有理数的特性就是其分子或分母的括号嵌套层数是有限的！

由于自然数集有实无穷∞，所以有理数的量纲单位（测度）ε= 1/∞。

（5）实数集的量纲（测度）。

实数集的量纲（测度）与有理数集相同，ε= 1/∞。

三、数集的维度

维度，又称维数，是数学中独立参数的数目。在物理学领域内，指独立的时空坐标的数目。0维是一点，没有长度。1维是线，只有长度。2维是一个平面，是由长度和寛度(或曲线)形成面积。3维是2维加上高度形成体积。19世纪，数学家们发现了分形，由此创立了一种新的维度，“分数维”，人们由此意识到，维度不只是整数，还有可能是分数，甚至可能是无理数。

维度与测度是紧密相关的概念，测度可以理解为测量集合的基本单位（量纲），维度是这种测量有意义的前提：即被测量集合与量纲ε的维度必需相同，否则测量结果只有两种可能的值：0或者∞。

在本博文系列中，维度定义为测度结构的特征值。

（1）空集的维度

空集的独立参数的数目为0，所以其维度S0=0。所以空集的测量值是一个不确定值：0/0;

（2）自然数集的维度

自然数集的独立参数的数目为1，所以其维度S1=1。

（3）整数集的维度与自然数集维度相同。

（4）从连分数的角度看，一个有限连分数表示一个有理数，一个无限连分数表示一个无理数。所以有理数集的维度是有限维的，无理数的维度是无限维的。

（5）实数集的维度

实数集包括了有理数集和无理数集，考虑到分数维，如果不加论域的限定条件，实数集的维度可以是0~∞维（实数集维度可以是有理数，也可以是无理数），而习惯上，不管具体论域中实数的维度确定为何值，实数集的量纲单位都用ε（其值为1/∞）一个符号表示，这是历史上许多悖论产生的根源！

（6）复数集的维度

复数集可以看做两个实数集的直积集，无穷与无穷的乘积还是无穷，所以复数集的维度也是0~∞维，从潜无穷的角度看，二者无法区分，但从实无穷的角度看，两种数集的维度有本质的不同。

（待续）