排中律——数学迷思之四

早在1908年，数学直觉主义的创始人布劳威尔，就以反证法不直观，反对在无穷集合使用逻辑中的排中律，他主张无穷集合只有一种势，就是可数的无穷。但是抽去了反证法这个支柱，做为现代数学基础的康托无穷集合理论大厦就会轰然崩溃，现代数学的大部分结果都要重新考证^[1]。

在现代逻辑中，A∨┐A（读作：A或非A），是排中律在命题逻辑中的体现；"x（F（x）∨┐F（x））（读作：对任何个体x而言，x有性质F或没有性质F）是排中律在谓词逻辑中的体现。由于构造逻辑不承认现实世界里存在着实无穷，只承认无穷是一个过程，因此，在该逻辑中，涉及无穷对象时排中律不成立；用反证法证明存在命题，也不是一种有效的证明方法^[2]。

布劳威尔的直觉主义与构造逻辑之所以反对在无穷集合中使用排中律，是因为他们担心排中律的使用前提——“同一思维过程中，不能对不能同假的命题（矛盾关系、下反对关系）同时加以否定”在无穷集合中得不到贯彻，在笔者看来，这种担心是有道理的，前文中“无中生有悖论”的出现说明布劳威尔的谨慎是有必要的，在无穷集合中施加集合操作（加括号）的做法会使运算的结果与施加集合操作的方式有关，其后果是运算结果丧失了唯一性，表现出与量子测量时出现的相同问题。在这种情况下使用排中律，当然会得出错误的结论！

现实的情况是：一方面，似乎运用反证法建立起来的康托无穷集合理论，在具体运用中并没有出现“无中生有悖论”问题，而且康托无穷集合理论已经成为了现代数学的基础，成为主流数学接受的理论；另一方面，由康托集合理论推导出的各种悖论一直挑战着我们的直觉，使我们感到不安，自康托无穷集合理论诞生之日，对其质疑之声就从未中断过，何华灿教授所著的《统一无穷理论》一书就是最新的质疑。

自从康托无穷集合理论成为主流数学接受的理论以来，每次对其发起的挑战，都会被主流数学界找出挑战者的阿喀琉斯之踵，而遭到挫折和失败。真理是越辩越明，似乎康托无穷集合理论就要修成正果，成为数学的真理了，情况真的是如此吗？（待续）

参考文献：

[1] 应行仁博客.http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-667230.html

[2] 百度百科